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1、大学物理授课教案 第十二章 机械振动第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 第四篇 振动与波动 第十二章 机械振动 12-1简谐振动 1、弹簧振子运动 如图所取坐标，原点O在m平衡位置。现将m略向右移到A，然后放开，此时，由于弹簧伸长而出现指向平衡位置的弹性力。在弹性 力作用下，物体向左运动，当通过位置O时，作用 在m上弹性力等于0，但是由于惯性作用，m将继续向 O左边运动，使弹簧压缩。此时，由于弹簧被压缩， 而出现了指向平衡位置的弹性力并将阻止物体向左 运动，使m速率减小，直至物体静止于B，之后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。 这样在弹性力作用下物体左右往复运动，即作机械振动。 图1
2、2-1 2、简谐振动运动方程 由上分析知，m位移为x时，它受到弹性力为： F=-kx (12-1) 式中： 当x0即位移沿+x时，F沿-x，即F0当x0 k为弹簧的倔强系数，“”号表示力F与位移x反向。 定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。由定义知，弹簧振子做谐振动。由牛顿第二定律知，m加速度为 a=Fkx=-mm d2xkd2xa=2+x=02mdt dt k=w2k、m均大于0，可令 m 可有： 第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 d2x+w2x=02dt (12-2) 式(12-2)是谐振动物体的微分方程。它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为 x=Asin
3、(wt+j) (12-3) 或 x=Acos(wt+j) (12-4) pj=j-2 式(12-3)(12-4)是简谐振动的运动方程。因此，我们也可以说位移是时间t的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。本书中用余弦形式表示谐振动方程。 3、谐振动的速度和加速度 d2xa=2=-w2Acos(wt+j)=-w2xdt加速度： (12-6) Vmax=wA 可知：2amax=wA x-t 、V-t、a-t曲线如下 物体位移：x=Acos(wt+j) dxV=-wAsin(wt+j)dt速度： (12-5) 图12-2 图12-3 第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 说明：F=-kx是谐振动的动力
4、学特征； 2a=-wx是谐振动的运动学特征； 做谐振动的物体通常称为谐振子。 12-2 谐振动的振幅 角频率 位相 上节我们得出了谐振动的运动方程x=Acos(wt+j)，现在来说明式中各量意义。 1、振幅 做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅，记做A。A反映了振动的强弱。 2、角频率 为了定义角频率。首先定义周期和频率。 物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用T表示； 在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率，用v表示。 11T=T 或 v 由上可知：T为周期，x=Acos(wt+j)=Acosw(t+T)+j v=从t时刻经过1个周期时，物体又首次回到原来t时刻状
5、态，wT=2p 2p=2pv T 可见：w表示在2p秒内物体所做的完全振动次数，w称为角频率 kw=m w=mwk w1kv=2p2pm 对于给定的弹簧振子，m、k都是一定的，所以T、v完全由弹簧振子本身的性质T=2p2p所决定，与其它因素无关。因此，这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。 3、位相 在力学中，物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定，振动中，当A、第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 w给定后，物体的位置和速度取决于(wt+j)，(wt+j)称为位相。 由上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量。j是t=0时的位相，称为初相。 4、A、j的确定 对于给定的系统，
6、w已知，初始条件给定后可求出A、j。 初始条件：t=0时 x=x0 由x、v表达式有 v=v0 xA0=cosjvwAsin 0=-j 即 x0=Acosj -v0w=Asinj tgj=-n0wx即 0j=arctg-v0wx0 A=x2+v200w2 j值所在象限： 1）x00，v00：j在第象限 2）x00，v00：j在第象限 3）x00：j在第象限 4）x00，v00：j在第象限 5、两个谐振动物体在同一时刻位相差 设物体1和2的谐振动方程为 图 12-4 x1=A1cos(w1t+j1) x2=A2cos(w2t+j2) 任意t时刻二者位相差为 Dj=(w2t+j2)-(w1t+j1
7、)=(w2-w1)t+(j2-j1) 0：2的位相比1超前 =0：2、1同位相 0v0=0j=0， x=0.10cos(2t)m x=0.10mv0=-0.20m/s2） 初始条件：t=0时，0， j=arctg=0.12m22 -v-0.20j=arctg0=arctg-=arctg1wx020.10 pj=x0v000 j=-p3 方法二用旋转矢量法求j 根据题意，有如左图所示结果 3 图12-9 px=0.12cospt-m3 px=0.12cospt-m3 j=-p第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 由上可见，方法二简单 方法一用数学式子求Dt pp(-0.06)=0.12cos
8、pt1-wt1-2p3 p24pt1-=pp 33 或 3 pv1=-Awsinpt1-03此时 2=p33 t1=1s 设t2时刻物体从t1时刻运动后首次到达平衡位置， pt1-pp0=0.12cospt2-3 有： pt2-p3=p3ppwt2-03 3=p32 11t2=s 6 115Dt=t2-t1=-1=s66 方法二用旋转矢量法求Dt pt2-pvt由题意知，有左图所示结果，M1为1时刻A vt2A末端位置，M2为时刻 末端位置。从 vt1-t2内A转角为 pp5Dj=w(t2-t1)=M1OM2=+=p326 5p5p5Dt=t2-t1=6=s w6p6 显然方法二简单。 图12
9、-10 例12-4：图为某质点做谐振动的x-t曲线。求振动方程。 解：设质点的振动方程为x=Acos(wt+j) 由图知： A=10cm 2p2p=ps-1w=T2 第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 图12-11 用旋转矢量法可知， px=10cospt-cm2 j=-p3p2 例12-5：弹簧振子在光滑的水平面上做谐振动，A为振幅，t=0时刻情况如图所示。O 为原点。试求各种情况下初相。 图12-12 12-4 谐振动的能量 EE对于弹簧振子，系统的能量E=k+p x=Acos(wt+j) 已知： 物体位移 v=-wAsin(wt+j) 物体速度 11E=Ek+Ep=mv2+kx2
10、22 第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 1122m-wAsin(wt+j)+kAcos(wt+j)22 11=mw2A2sin2(wt+j)+kA2cos2(wt+j)2(mw=k) 22 1=kA2sin2(wt+j)+cos2(wt+j)2 1=kA22 11E=kA2=mw2A222 =E=Ek+EpEE说明：虽然k、p均随时间变化，但总能量且为常数。原因是系统只有保守力作功，机械能要守恒。 E=0Ek=Ekmax=EEx=AEk与p互相转化。当x=0时，p，。在处，Ek=0Ep=Epmax=E，。 1Ek=Ep2的位置。例12-6：一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动，振幅为A
11、。试求 解：设弹簧的倔强系数为k，系统总能量为 1E=Ek+Ep=kA22 1Ek=Ep2时，有 在331Ek+Ep=Ep=kx2222 3212kx=kA 42 2x=A3 例12-7：如图所示系统，弹簧的倔强系数k=25N/m，物块m1=0.6kg，物块m2=0.4kg，m1与m2间最大静摩擦系数为m=0.5，m1与地面间是光滑的。现将物块拉离平衡位置，然后任其自由振动，使m2在振动中不致从m1上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。 解：系统的总能量为 1E=kA22 1Ekmax=E=kA2E=02 m2不致从m1上滑落时，须有 m2am2gm 图12-13 第十二章 机械振动 沈
12、阳工业大学 郭连权 极限情况 (m+m2)gmA=2=gm1wk即 221m1+m212gmEkmax=kgm=(m1+m2)2k2k 19.820.522=(0.6+0.4)=0.48J225 2amax=gm=Aw212-5 同方向同频率两谐振动合成 一个物体可以同时参与两个或两个以上的振动。如：在有弹簧支撑的车厢中，人坐在车厢的弹簧垫子上，当车厢振动时，人便参与两个振动，一个为人对车厢的振动，另一个为车厢对地的振动。又如：两个声源发出的声波同时传播到空气中某点时，由于每一声波都在该点引起一个振动，所以该质点同时参与两个振动。在此，我们考虑一质点同时参与两个在同一直线的同频率的振动。 取振
13、动所在直线为x轴，平衡位置为原点。振动方程为 A1、A2分别表示第一个振动和第二个振动的振幅；j1、j2分别表示第一个振动和第二个振动的初相。 w是两振动的角频率。由于x1、x2表示同一直线上距同一平衡位置的位移，所以合成振动的位移x在同一直线上，而且等于上述两分振动位移的代数和，即 x=x1+x2 x1=A1cos(wt+j1) x2=A2cos(wt+j2) 为简单起见，用旋转矢量法求分振动。 图12-14 图12-15 vvvvvv如图所示，t=0时，两振动对应的旋转矢量为A1、A2，合矢量为A=A1+A2。A1、vvvvvA2以相同角速度w转动，AA转动过程中1与2间夹角不变，可知A大
14、小不变，并且A也第十二章 机械振动 沈阳工业大学 郭连权 vw以转动。任意时刻t，A矢端在x轴上的投影为： vA因此，合矢量即为合振动对应的旋转矢量，A为合振动振幅，j为合振动初相。合振动方程为： x=Acos(wt+j) 由图中三角形OM1M2知： x=x1+x2 A=2A12+A2+2A1A2cos(j2-j1) 由图中三角形OMP知： Asinj1+A2sinj2PMtgj=1=A1cosj1+A2cosj2OP 讨论：j2-j1=2kp (k=0,1,2,)时 A=A1+A2 A=A1-A2j2-j1=(2k+1)p (k=0,1,2,)时 0.2m，位相与第一振动例12-8：有两个同
15、方向同频率的谐振动，其合成振动的振幅为p-1310m，用振幅矢量法求第二振动的6的位相差为，若第一振动的振幅为振幅及第一、第二两振动位相差。 解：A2=? pp22-12A2=A1+A-2A1Acos=310+0.22-2310-10.2cos66 =0.1m ()2 A=A+A 图12-16 例11-9：一质点同时参与三个同方向同频率的谐振动，他们的振动方程分别为p2x2=Acoswt+x3=Acoswt+px1=Acoswt，3，3，试用振幅矢量方法求合22122j2-j1=p振动方程。 解：如左图，j=pvrvv3 A=2A1cosj+A2=2Acos+A=2A3 px=2Acoswt+3 p 图12-17
