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1、大学物理授课教案 第四章 刚体转动第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权 第四章 刚体的转动 4-1刚体运动 一、刚体 定义：物体内任意二点距离不变的物体称为刚体。 说明：刚体是理想模型 刚体模型是为简化问题引进的。 二、刚体运动 刚体运动：平动：刚体内任一直线方位不变。 rra 特点：各点运动状态一样，如：、v等都相同，故可用一个点来代表刚体运动。 转动：1）绕点转动 2）绕轴转动：刚体中所有点都绕一直线作圆周运动 说明：刚体的任何运动都可看作平动与转动的合成。 三、定轴转动 定义：转轴固定时称为定轴转动。 转动特点：刚体上各点的角位移Dq相同 ，各点的w、a相同。 2a(=rw)、 v(
2、=rw)n刚体上各点的、rvovrrwat(=ra)一般情况下不同。 v说明：w是矢量，方向可由右手螺旋法则 确定。见图4-1。 vvvv=wr 图 4-1 1 第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权 4-2 力矩 转动定律 转动惯量 一、力矩 1、外力F在垂直于轴的平面内 如图4-2： 定义： vvv力矩： M=rF vrM轴odvrrF力矩 ：大小：M=Fd=Frsinq rr；方向：沿方向， vvv它垂直于r、F构成的平面即M与轴平行。 vv注意：q是r、F间夹角。 Pqv2、外力F不在垂直于轴的平面内 如图4-3： vvv F=F/(平行轴）+Fv F/对转动无贡献 图 4-2轴rF
3、|ovrrFrFv 对转动有贡献的仅是F。 vvF产生的力矩即F的力矩， 故上面的结果仍适用。 vv说明：F平行轴或经过轴时 M=0。 P二、转动定律 vvvvM0时，转动状态改变，即a0，那么a与M图 4-3的关系如何？这就是转动定律的内容。 推导： 如图4-4，把刚体看成由许多质点组成的系统， 这些质点在垂直于轴的平面内作圆周运动。 考虑第i个质点： 质量：Dmi 到轴的距离：ri rr 受力：外力：Fi；内力：fi 在切线方向上由牛顿定律有： Fit+fit=Dmiat=Dmiria rr轴切线orrirrFijifiDmiqi图 4-4 2 第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权 即
4、 Fisinji+fisinqi=Dmiria ri: Firisinji+firisinqi=Dmiri2a 每一个质点都有一个这样方程，所有质点对应方程求和之后，有 2Frsinj+frsinq=Dmriiiiiiiia iii可证明合内力矩证明如下： Frsinqiiii=0。 如图4-5，刚体内力是各质点间的相互作用力， 他们是一对一对的作用力和反作用力。对i、j两 r质点，相互作用力的力矩之和=？设fij为第i个质点对 rj第个质点作用力，fji为第j个质点对第i个质点作 用力。 rrfij与fji共线 力臂相等 rr又 fji与fji等值反向 rrrrfij与fji产生力矩等值反向
5、，故fij与fji力矩合=0 由此可知：刚体的所有内力矩之和两两抵消，结果为0。 firisinqi=0 i轴odrrjrriDmirrffjiijDmj图 4-5M=firisinjii令 2J=DmriiiM=Ja 即：刚体角加速度与合外力矩成正比，与转动惯量成反比，这称为转动定律。 vvra说明：M=Ja,与M方向相同 rM=Ja为瞬时关系 vvvvvvrF=maaaFM转动中M=Ja与平动中地位相同，是产生的原因，是产生的原因。 vvM=Ja*比较vv F=maM为合外力矩=各个外力力矩的矢量和。 三、转动惯量 1、J=Dmiri2： 转动惯量=刚体中每个质点的质量与它到转轴距离平方乘
6、积的和。 iv 3 第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权 m1r12+m2r22+mnrn2 J=22组成的刚体）rdm=rrdV J与轴的位置有关 J与刚体质量分布有关 平行轴定理：对平行于质心轴的转动惯量=对质心轴转动惯量+刚体质量该轴与质心轴之距离平方。如 l211JA=Ml2=Ml2+Ml2=Jc+M 3333轴ACo2例4-2：如图4-7，质量为m长为l的匀质杆，求： 它对过质心且与杆垂直的轴c的转动惯量为多少？ 它对过一端且平行于c轴的A解：如图4-7所取坐标，Jc=l/2dmxxl2Bxl轴转动惯量为多少？ 2-dxm1dx=ml2 -l/2l12lm1如图4-8所取坐标，J
7、A=x2dx=ml2 0l3用平行轴定理解： x2图 4-7轴AoxdxdmBlx1m1lJA=Jc+m=ml2+l2=ml2 12432圆环、球等。 2图 4-8说明：一些特殊形状的刚体转动惯量应会计算并记住。如：匀质杆、圆柱、圆盘、 4 第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权 例4-3：如图4-9，轻绳经过水平光滑桌面上的定滑轮c连接两物体A和B，A、B质量分别为mA、mB，滑轮视为圆盘，其质量为mc半径为R，AC水平并与轴垂直，绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦，求B的加速度，AC、BC间绳的张力大小。 解：受力分析： vvvmA ：重力mAg，桌面支持力N1，绳的拉力T1； vvmB
8、：重力mBg，绳的拉力T2； vvvvmc ：重力mcg，轴作用力N2，绳作用力T1、T2 mAACRmC取物体运动方向为正，由牛顿定律及转动定律得： T1=mAa mBg-T2=mBa1TR-TR=mcR2a122及T1=T1，T2=T2，a=Ra mBB图 4-9mBga=1m+m+mcAB2mAmBg解得：T1= 1mA+mB+mc21m+mAcmBg2T2=1m+m+mcAB2mBga=mA+mB讨论：不计mc时， mAmBgT1=T2=mA+mBvN1vT1vT1vmAgvT2BvmBgxvN2CvmcgvT2A图 4-10例4-4：一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端，绳绕在一轮轴的
9、轴上，如图4-11。轴水平且垂直于轮轴面，其半径为r，整个装置架在光滑的固定轴承上。当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离S，试求整个滑轮的转动惯量 解：受力分析 rvm:重力mg、绳作用力Tvv v轮：重力Mg、轴作用力N、绳作用力T 5 第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权 由牛顿第二定律及转动定律得： mg-T=ma Tr=Ja及T=T，a=ra，S=at2 gt2J=mr(-1) 2S2or12m图 4-11rNrT4-3 转动动能 力矩的功 转动动能定理 一、转动动能 vMgrTxrmg图 4-12如图4-13，刚体绕过O处轴转动，角速度为w，在转动中刚体各个质点都具有动能
10、，刚体转动动能=各个质点动能之和。 设各质点质量为Dm1，Dm2，Dm3，与轴距离为r1，r2，r3，转动动能为： 111222Ek=Dm1(r1w)+Dm2(r2w)+Dm3(r3w)+ 2221=Dm1r12+Dm2r22+Dm3r32+w2 Dm12r111=Dmiri2w2=Jw2 r22i2Dm21oEk=Jw2 2r3Dm312Ek=2Jw转动*比较： 12Ek=mv平动图 4-132二、力矩的功 如图4-14，刚体绕定轴转动，设作用在刚体P点 力F， 在F作用下刚体有一角位移dq，力的作用点的位移为 vvdr，则Fvv在该位移中作的功为： vvpdW=Fdr=Fdrcosa=Fd
11、rcos(-j) 2=Fdrsinj=Frsinjdq=Mdq rForrradrjP即 ：力矩元功=力矩角位移 在力矩作用下，从q1-q2过程中，力矩的功为 q2q1图 4-14 W=Mdq 6 第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权 说明：常力矩功W=M(q2-q1) 力矩功是力矩的空间积累效应 内力矩功之和=0 dWMdq=Mw 力矩的功功率：p=dtdtvvvvW=bFdrp=Fv平动a比较：vvv qbvp=Mw转动W=qMdqa三、刚体定轴转动的动能定理 M=Ib M=Jdwdwdqdw=J=Jw dtdqdtdq即 Mdq=Jwdw 做如下积分 可得 W=9） qq21Mdq=
12、Jwdw w1w2112Jw2-Jw12 =2图 4-151mA+mB+mc2DShW=M(q2-q1)=M=M RRc的角速度=？ rT1RDqrT2BmBh 7 第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权 mcmBgRh/R 12(mA+mB+mc)2mcmBgh= 12(mA+mB+mc)21 W=Iw2-0 2mcmBgh2A1w=/mcR2 1J2mA+mB+mc22mBgh= 1(mA+mB+mc)R22=例4-6：如图4-16所示，一轻弹簧与一匀质细杆l=1m相 连，弹簧倔强系数K=40Nm-1，细杆质量 为m=3kg。杆可绕c轴无摩擦转动。若当 q=0o时弹簧为原长，那么细杆在q
13、=0o的位 1.5mk置上至少具有多大的角速度才能转到水平位置？ 解：取K、杆、地为系统，由题意知系统机械能守恒。 21111K1.52+1.02-0.5=mg1+ml2w2 2223K=40Nm-1，m=3kg。l=1m，g=9.8ms-2代入得 w=6.18rads-1 CEp=0图 4-16注意：机械能守恒定律条件及应用。 4-4 角动量 角动量定理 角动量守恒定律 一、 角动量 1、角动量 rvv定义：L=Jw，称L为刚体角动量 v大小：L=Jw说明：L为矢量 v方向：与w同向vv动量p=mv平动v比较 v角动量L=Jw转动2、冲量矩 8 第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权 vv
14、vd(Jw)=dL 转动定律 M= dtvdtvMdt=dL 做如下积分： t2vt2t1vvvvvMdt=L2-L1=J2w2-J1w1 定义：Mdt为M在t1-t2内对刚体的冲量矩 t1v说明：冲量矩是矢量 冲量矩是力矩的时间积累效应 v冲量t2Fdt平动t1* 比较： t2v冲量矩tMdt转动1二、角动量定理 由上知 t2t1vvvMdt=J2w2-J1w1 即：合外力矩对刚体的冲量矩等于刚体角动量增量。称此为角动量定理。 三、角动量守恒定律 vvdL已知 M= dtvvdL=0 当M=0时， dtvv有 L=Jw=常矢 即：当合外力矩M0时，则此情况下刚体角动量守恒，称此为角动量守恒定
15、律。 说明：角动量守恒条件是某一过程中M0。 vva)J、w均不变vL=Jw不变 vvb)J、w均变，但Jw不变角动量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律是自然界中的普遍规律，不仅适用于宏观物体的机械运动，而且也适用于原子、原子核和基本粒子r等微观粒子的运动。 2 例4-7：如图4-17，轻绳一端系着质量为m的质点，另 一端穿过光滑水平桌面上的小孔o用力F拉着， 如图所示。质点原来以等速率v作半径为r的 圆周运动，当F拉动绳子向正下方移动r/2时， 质点的角速度w=? rFvvvvrvrm图 4-179 第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权 解：研究对象：m 受力分析：重力、桌面支持力、绳
16、的作用力。 可见转动中，受合外力矩=0，即L=常矢 J1w1=J2w2 vvrmr2=mw2 r2得 w2=4v/r 例4-8：如图4-18，A、B两圆盘分别绕过其中心的垂直轴转动，角速度分别是wA、wB，它们半径和质量分别为RA、RB和mA、mB。求A、B对心衔接后的最后角速度w。 解：研究对象：A、B系统在衔接过程中， 对轴无外力矩作用，故有 vL=常矢 (JA+JB)w=JAwA+JBwB Jw+JBwB即： w=AA JA+JB1122mARAwA+mBRBwB22 =1122mARA+mBRB2222mARAwA+mBRBwB =22mARA+mBRBvvpL注意：角动量守恒条件及应
17、用 2wAwBABw讨论：假若的转动方向与题中相反，则w=? v图 4-18假设wA为正，则有： (JA+JB)w=JAwA-JBwB 与A原转动同向022mARAwA-mBRBwBw= 与A原转动反向0 22mARA+mBRB=0(原A、B角动量等值反向)停止例4-9：如图4-19， 长为l，质量为m的匀质细杆，可绕过O的光滑水平轴转动。起初杆水平静止。求： t=0时，a=? 杆到竖直位置时，w=? 杆从水平到竖直过程中外力矩功=？ 杆从水平到竖直过程中杆受冲量矩大小为多少？ 10 第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权 o解：M=Ja l1即 mg=ml2a 233ga= 2l以m、地为
18、系统，其能量方程 11有 0=Jw2-mgl 22mglmgl3g w=12Jlml311W=Jw2-0=mgl 222Ep=0l2qlrv0l4A图 4-1913ggl3冲量矩=Jw-0=ml =m3l3例4-10：长为l，质量为M的匀质细杆，可绕上端的光滑水平轴转动，起初杆竖直静止。v一质量为m的小球在杆的转动面内以速度v0垂直射向杆的A点，求下列情况下vv0杆开始运动的角速度及最大摆角。子弹留在杆内子弹以射出。 2解：子弹留在杆内分两个过程： 1）弹射入杆过程。、m、M为系统，角动量守恒，即 21233mv0l=Ml+mlw 4433mv0l36mv04w= 216Ml+27ml123M
19、l+ml342）上摆过程。m、M、地为系统，系统机械能守恒，有 2112l3l332Ml+mlw-Mg-mgl=-Mgcosq-mglcosq 2242443初态 末态 23mlv04 、：q=arccos1-l3l12922Mg+mgMl+ml24310子弹射出 a)子弹与杆作用过程。以杆、子弹为系统，其角动量守恒 313vmv0l=Ml2w+ml0 4342 11 第四章 刚体的转动 沈阳工业大学 郭连权 射前 射后 b)杆上摆过程。以杆、地球为系统，其机械能守恒。 1122llMlw-Mg=-Mgcosq 2322 初态 末态 27m2v02、解得：q=arccos1- 264Mgl*：若已知q，求v0=?，方法完全一样，只不过v0为未知数。 注意角动量守恒，而不是动量守恒。 12
