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1、大学物理课后习题答案 北京邮电大学出社习3-1 惯性系S相对惯性系S以速度u运动当它们的坐标原点O与O重合时，t=t=0，发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程 解: 由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波波阵面方程为： x2+y2+z2=(ct)2 x2+y2+z2=(ct)2 题3-1图 3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2l试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差 l,t1)=(l,)(x1c，在车站(S)系：解: 设光讯号到达前门为事件1，在车厢(S)系时空坐标为 u
2、luglu+2x1)=g(+2l)=(1+)t1=g(t1cccc cl,t2)=(-l,)(x2c，在车站(S)系： 光信号到达后门为事件2，则在车厢(S)系坐标为uglu+2x2)=(1-)t2=g(t2cc cglut2-t1=-22c 于是 或者 Dt=0,Dt=t1-t2,Dx=x1-x2=2l Dt=g(Dt+uuDx)=g(2l)c2c2 3-3 惯性系S相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计4-44-4时起点在S系中测得两事件的时空坐标分别为x1=610m,t1=210s，以及x2=1210m,t2=110s已知在S系中测得该两事件同时发生试问：(1)
3、S系相对S系的速度是多少? (2) S系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解: 设(S)相对S的速度为v， (1) =g(t1-t1vx)21c =g(t2-t2vx)22c 由题意 t2-t1=0 v(x2-x1)2c则 t-tcv=c221=-=-1.5108x2-x12ms-1 故 t2-t1=g(x1-vt1),x2=g(x2-vt2) (2)由洛仑兹变换 x14x-x=5.210m 21代入数值， l3-4 长度0=1 m的米尺静止于S系中，与x轴的夹角q=30，S系相对S系沿x轴运动，在S系中观测者测得米尺与x轴夹角为q=45 试求：(1)S系和S系的相对运动速度.(2)S系中测得
4、的米尺长度 解: (1)米尺相对S静止，它在x,y轴上的投影分别为： =L0sinq=0.5m=L0cosq=0.866mLLx，y 米尺相对S沿x方向运动，设速度为v，对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩，而y方向的长度不变，即 tanq=故 LyLx=LyLx=Lyv21-2,Ly=LLx=Lxyc v21-2Lxc L,L把q=45及xy代入 v20.51-2=0.866 c则得 故 v=0.816c =0.707msin45 ll3-5 一门宽为a，今有一固有长度0(0a)的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度(2)在S系中测得米尺长度为方向匀速运动若站在门外的观察者认为此杆的两端可
5、同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率u至少为多少? L=Lyul=l01-2c，当1a时，可认为能被拉进门，解: 门外观测者测得杆长为运动长度，ual01-2c 则 au=c1-2l0解得杆的运动速率至少为： 题3-6图 3-6两个惯性系中的观察者O和O以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果O测得两者的初始距离是20m，则O测得两者经过多少时间相遇? 解: O测得相遇时间为Dt Dt=O 测得的是固有时Dt L01-b2Dt=gv -8 =8.8910s， DtL020=v0.6c b=v=0.6c， 1g=0.8， 或者，O测得长度收缩， L=L01-b2=L01-0.6
6、2=0.8L0,Dt=Lv 0.8L00.820-8=8.8910s80.6c0.6310 3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和S中，甲测得在同一地点发生的两事件的Dt=时间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s求： (1) S相对于S的运动速度 (2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离 解: 甲测得Dt=4s,Dx=0,乙测得Dt=5s，坐标差为Dx=x2-x1 Dt=g(Dt+(1) vDx)=lDt2c1v1-2cDtv2Dt41-2=Dt5 cQDt43v=c1-2=c1-2=cDt55 解出 =1.8108ms-1 Dt5Dx=g(Dx-vDt),g=,Dx=0
7、Dt4(2) 53Dx=-gvDt=-c4=-3c=-9108m45 负号表示x2-x16000m，故该p介子能到达地球 d=vDt0=599m Dt=Dt0=3.1610-5s或在p介子静止系中，p介子是静止的地球则以速度v接近介子，在近的距离为Dt0时间内，地球接d0=6000m经洛仑兹收缩后的值为： =d0d0v21-2=379mc dd0，故p介子能到达地球 3-13 设物体相对S系沿x轴正向以0.8c运动，如果S系相对S系沿x轴正向的速度也是0.8c，问物体相对S系的速度是多少? v=0.8c 解: 根据速度合成定理，u=0.8c,xv0.8c+0.8cx+u=0.98cuv0.8c
8、0.8c1+2x1+c2c 3-14 飞船A以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船B以0.6c的速度相对地球向正西方向飞行当两飞船即将相遇时A飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹在B飞船的vx=观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少? 解: 取B为S系，地球为S系，自西向东为x(x)轴正向，则A对S系的速度vx=0.8c，S系对S系的速度为u=0.6c，则A对S系(B船)的速度为 v+u0.8c+0.6cvx=x=0.946cuv1+0.481+2xc 发射弹是从A的同一点发出，其时间间隔为固有时Dt=2s， 题3-14图 B中测得的时间间隔为： Dt=Dt1-vc2x2=21-0.9
9、462=6.17s3-15 (1)火箭A和B分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+x和-x方向飞行试求由火箭B测得A的速度(2)若火箭A相对地球以0.8c的速度向+y方向运动，火箭B的速度不变，求A相对B的速度 解: (1)如图a，取地球为S系，B为S系，则S相对S的速度u=0.6c，火箭A相对Sv=0.8c，则A相对S(B)的速度为： 的速度xvx-u0.8c-(-0.6c)=0.946cu(-0.6c)(0.8c)1-2vx1-cc2 v=-0.6c，或者取A为S系，则u=0.8c，B相对S系的速度x于是B相对A的速度为： vx=vx-u-0.6c-0.8c=-0.946cu(0.8c
10、)(-0.6c)1-2vx1-cc2 (2)如图b，取地球为S系，火箭B为S系，S系相对S系沿-x方向运动，速度u=-0.6c，A对S系的速度为,vx=0,vy=0.8c,由洛仑兹变换式A相对B的速度为： vx=vx=vx-u0-(-0.6c)=0.6cu1-01-2vxc A相对B的速度大小为 速度与x轴的夹角q为 u21-2vycv=1-0.62(0.8c)=0.64cyu1-2vxc 22v=vx+vy=0.88ctanq=vyvx=1.07q=46.8 题3-15图 3-16 静止在S系中的观测者测得一光子沿与x轴成60角的方向飞行另一观测者静止于S系，S系的x轴与x轴一致，并以0.6
11、c的速度沿x方向运动试问S系中的观测者观测到的光子运动方向如何? 解: S系中光子运动速度的分量为 vx=ccos60=0.500c vy=csin60=0.866c由速度变换公式，光子在S系中的速度分量为 vx=vx-u0.5c-0.6c=-0.143cu0.6c0.5c1-2vx1-cc2 u21-2vy1-0.620.866ccv=0.990cy=u0.6c0.5c1-2vx1-cc2 光子运动方向与x轴的夹角q满足 vytanq=-0.692vxq在第二象限为q=98.2 在S系中，光子的运动速度为 正是光速不变 3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(
12、2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c，又须对它作多少功? 解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得 22v=vx+vy=cDEk=Ek=mc2-m0c2=m0c2(g-1)=m0c2(1211-vc22-1)=9.110-31(3108)2(1-0.1=4.1210-16J=2.57103eV 11-1)(2) =Ek-Ek=(m2c2-m0c2)-(m1c2-m0c2)DEk21=m2c2-m1c2=m0c2(vc222-11-vc212) 2=9.110-31321016(=5.1410-14121-0.9J=3.21105eV -11-0.8)-63-18 m子静止质量是
13、电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命0=210s，若它在实验-6室参考系中的平均寿命t= 710s，试问其质量是电子静止质量的多少倍? 解: 设m子静止质量为tm0，相对实验室参考系的速度为v=bc，相应质量为m，电子静m止质量为0e，因t=t01-b2,即11-b2m0=t7=t02=由质速关系，在实验室参考系中质量为： m=207m0e1-b2 1-b2m2077=207=7252m0e21-b故 3-19 一物体的速度使其质量增加了10%，试问此物体在运动方向上缩短了百分之几? 解: 设静止质量为m0，运动质量为m， m-m0=0.10由题设 m0 m=1由此二式得 m01-b2 1
14、-b2-1=0.101-b2=11.10 在运动方向上的长度和静长分别为l和l0，则相对收缩量为： Dll0=l0-l1=1-1-b2=1-=0.091=9.1%l01.10 3-20 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?-31此时电子速度是多少?已知电子的静止质量为9.110kg DmDE0.4=2m100 mc00解: 由质能关系 0.4m0c2DE=0.49.110-31(3108)2/100100 =3.2810-16所需电势差为2.010伏特 由质速公式有： 33.2810-16=eVJ1.610-19=2.0103eV 1-b2=vcm0
15、m0=mm0+Dm111=Dm0.41.0041+1+m0100 b2=2=1-(12)=7.9510-3 1.0047-1v=bc=2.710ms故电子速度为 3-21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能EK2.810eV这种电子速率比光速差多9少? 这样的一个电子动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为E00.511106eV) Ek=解: m0c2v21-2c-m0c2m0c2v211-2=22c1+E/mcE+mck0k0所以 由上式， m0c2v=c1-22m0c+Ek=c1-(0.51106)2/(0.511106+2.8109)2 =2.9979245108ms-1 c-v=2
16、.997924580108ms-1-2.9979245108=8ms-1 22224E=pc+mc可得 0由动量能量关系p=24E2-m0cc=24(Ek+m0c2)2-m0cc=Ek2+2Ekm0c2c1-382=(2.821018+22.81090.511106)1.6210=1.4910-18kgms-13-22 2氢原子的同位素氘(1120一个中子(n)，并释放出大量能量，其反应方程为1/3108He)原子核和341H)和氚(H)在高温条件下发生聚变反应，产生氦(2341H + H2-2710He + n已知氘核的静止质量为2.0135原子质量单位(1原子质量单位1.60010kg)，
17、氚核和氦核及中子的质量分别为3.0155，4.0015，1.00865原子质量单位求上述聚变反应释放出来的能量 解: 反应前总质量为2.0135+3.0155=5.0290amu 反应后总质量为4.0015+1.0087=5.0102amu 质量亏损 Dm=5.0290-5.0102=0.0188amu =3.1210-29kg 2-2982() DE=Dmc=3.1210310由质能关系得=2.8110-21J=1.75107eV m3-23 一静止质量为0的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c和0.8c求裂变过程的静质量亏损和释放出的动能 解: 孤立系统在裂变过程中释放出动能，引起静能
18、减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损 设裂变产生两个粒子的静质量分别为10和20，其相应的速度v1=0.6c,v2=0.8c 由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有 mmvvm1v1+m2v2=m10v121-2cm10vv1+m202v21-2cvv2=0m1+m2=1-vc212+m201-vc222=m0注意m1和m2必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以v1=0.6c,v2=0.8c代入，将上二方程化为： m10m2068+=m0m10=m2086，0.80.6 上二式联立求解可得： m10=0.459m0, m20
19、=0.257m0 故静质量亏损Dm=m0-(m10+m20)=0.284m0由静质量亏损引起静能减少，即转化为动22DE=Dmc=0.284mck0能，故放出的动能为 3-24 有A，B两个静止质量都是0的粒子，分别以v1=v,v2=-v的速度相向运动，在发生完全非弹性碰撞后合并为一个粒子求碰撞后粒子的速度和静止质量 解: 在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别m1和m2，碰撞后粒子的质量为M、速度为V，于是，根据动量守恒和质量守恒定律可得： mm1v1+m2v2=MV m1+m2=M m0vm0(-v)m1v1+m2v2=+=0v-v1-21-2cc由于 代入式得 V=0 2m0M=m1
20、+m2v1-2c，即为碰撞后静止质量 3-25 试估计地球、太阳的史瓦西半径 解: 史瓦西半径 rs=24地球： M6102GMc2 kg 26.710-1161024-3rs=8.910m82(310)则： 30M210kg 太阳： 26.710-11210303rs=310(3108)2m 则： 303-26 典型中子星的质量与太阳质量M210kg同数量级，半径约为10km若进一步坍缩为黑洞，其史瓦西半径为多少?一个质子那么大小的微黑洞(10cm)，质量是什么数量? 3r=310sm 解: (1)史瓦西半径与太阳的相同，-15r=10scm=10-17m (2) -152GMc2 由 rsc210-17(3108)29M=6.710kg 2G26.710-11得 rs=3-27 简述广义相对论的基本原理和实验验证 解: 广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理 等效原理又分为弱等效原理和强等效原理弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验 都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效 广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同 广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等
