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1、大学物理答案上册第一单元习题解答 习题一 1-1 Dr与Dr 有无不同?drdrdvdv和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?dtdtdtdt试举例说明 解：vvDr是位移的模，Dr是位矢的模的增量，即Dr=r2-r1，Dr=r2-r1； dsdrdr是速度的模，即. =v=dtdtdtdr只是速度在径向上的分量. dt有r=rr，则式中drdrdr=r+r dtdtdtdr就是速度径向上的分量， dtdrdr与不同如题1-1图所示. dtdt题1-1图 vdvdvvdv (3)表示加速度的模，即a=，是加速度a在切向上的分量. dtdtdt有v=vt(t表轨道节线方向单位矢），所以 vvv
2、vdvdvvdt=t+v dtdtdtdv就是加速度的切向分量. dtvvdtdr与(Q的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) dtdt式中1-2 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求drd2r出rx+y，然后根据v =，及a2而求得结果；又有人先计算速度和加速度dtdt22的分量，再合成求得结果，即 dxdy=+及a=dtdt22d2xd2ydt2+dt2 你认为两种方法哪一种22正确？为什么？两者差别何在？ vvv解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有r=xi+yj， vvdrdxvdyvv=i+jdtdtdt
3、2v22vvdrdxdyva=2=2i+2jdtdtdt故它们的模即为 dxdyv=v+v=+dtdt2x2y2222dxdy22a=ax+ay=dt2+dt222而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 drv=dtd2ra=2 dtdrdrd2r与2误作速度与加速度的模。在1-1题中已说明不是速度的模，其二，可能是将dtdtdtd2r而只是速度在径向上的分量，同样，2也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中dt2d2rvdq的一部分a径=2-r或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r在径向方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随间的变化率对速
4、度、加速度的贡献。 1-3 一质点在xOy平面上运动，运动方程为 x=3t+5, y=12t+3t-4. 2式中t以 s计，x,y以m计(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t0 s时刻到t4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t4 s 时质点的速度；(5)计算t0s 到t4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式) v12vv解： r=(3t+5
5、)i+(t+3t-4)jm 2(2)将t=1,t=2代入上式即有 vvvr1=8i-0.5j m vvvr2=11j+4jm vvvvvDr=r2-r1=3j+4.5jm vvvvvv(3) r0=5j-4j,r4=17i+16j vvvvvvvvDrr4-r012i+20j=3i+5jms-1 v=Dt4-04vvvvdr=3i+(t+3)jms-1 (4) v=dtvvv-1则 v4=3i+7j ms vvvvvv(5) v0=3i+3j,v4=3i+7j vvvvvDvv4-v04a=1jms-2 Dt44vvvdv=1jms-2 (6) a=dt这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。
6、 1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示当人以v0(ms-1)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小 图1-4 解： 设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成q角，由图可知 l=h+s 将上式对时间t求导，得 222 2ldlds=2s dtdt 题1-4图 根据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的， v绳=-即 v船=-dlds=v0,v船=- dtdtvdsldll=-=v0=0 dtsdtscosqlv0(h2+s2)1/2v0=或 v船= ss将v船再对t求导，即得船的加速度 dlds-ldv-v0s+lv船a=船=dt2dtv0=v0
7、2dtss 2l2(-s+)v022hv0s=s2s3s1-5 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a2+6x，a的单位为ms，x的单位为 m. 质点在x0处，速度为10ms,试求质点在任何坐标处的速度值 解： a=-12-2dvdvdxdv=v dtdxdtdx2分离变量： udu=adx=(2+6x)dx 两边积分得 12v=2x+2x3+c 2由题知，x=0时，v0=10,c=50 v=2x3+x+25ms-1 1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a4+3t ms，开始运动时，x5 m，v =0，求该质点在t10s 时的速度和位置 解： a=-2dv=4+3t dt分离变量，得
8、 dv=(4+3t)dt 积分，得 3v=4t+t2+c1 2由题知，t=0,v0=0 ,c1=0 32t 2dx3=4t+t2 又因为 v=dt232分离变量， dx=(4t+t)dt 2132积分得 x=2t+t+c2 2故 v=4t+由题知 t=0,x0=5 ,c2=5 故 x=2t+所以t=10s时 213t+5 2v10=410+3102=190ms-121x10=2102+103+5=705m23q式中以弧度计，t以秒计，1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 q=2+3t，求：(1) t2 s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45角时，其角位移
9、是多少? 解： w=dqdw=9t2,b=18t dtdt (1)t=2s时， at=Rb=1182=36ms-2 an=Rw2=1(922)2=1296ms-2 (2)当加速度方向与半径成45角时，有 tan45=2at=1 an即 Rw=Rb 亦即 (9t)=18t 则解得 t=于是角位移为 3222 92=2.679rad q=2+3t3=2+31-8 质点沿半径为R的圆周按sv0t-12bt的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧2长,v0，b都是常量，求：(1)t时刻质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于b 解： v=ds=v0-bt dtdv=-bdt 22(v-bt
10、)van=0RRat=(v0-bt)4则 a=at+a=b+ R222n2加速度与半径的夹角为 j=arctan(2)由题意应有 at-Rb =2an(v0-bt)(v0-bt)4 a=b=b+R22(v0-bt)4,(v0-bt)4=0 即 b=b+2R22当t=v0时，a=b b1-9 半径为R的轮子，以匀速v0沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点B的运动方程为xR(wt-sinwt)，yR(1-coswt)，式中w=v0/R是轮子滚动的角速度，当B与水平线接触的瞬间开始计时此时B所在的位置为原点，轮子前进方向为x轴正方向；(2)求B点速度和加速度的分量表示式 解：依题意作出下图，由图
11、可知 题1-9图 (1) x=v0t-2Rsin=v0t-Rsinqq2cosq2=R(wt-Rsinwt)y=2Rsinq 22=R(1-cosq)=R(1-coswt)sinq(2) dxv=Rw(1-coswt)xdt v=dy=Rsinwt)ydtdvx2a=Rwsinwt=xdt a=Rw2coswt=dvyydt1-10 以初速度v020ms抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60的夹角， 求：(1)球轨道最高点的曲率半径R1；(2)落地处的曲率半径R2 (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系) -1解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示 题1-10图 (1)在最高点， v1
12、=vx=v0cos60o an1=g=10ms-2 又 an1=v12r1v12(20cos60)2r1=an110 =10m(2)在落地点， v2=v0=20ms-1, 而 an2=gcos60o 2v2(20)2 r2=80m an210cos601-11 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为= 0.2 rads，求t2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度 解：当t=2s时，w=bt=0.22=0.4 rads -1则v=Rw=0.40.4=0.16ms -1-2an=Rw2=0.4(0.4)2=0.064ms-2 at=Rb=0.40.2=0.08ms-2 2
13、a=an+at2=(0.064)2+(0.08)2=0.102ms-2 1-12 如题1-12图，物体A以相对B的速度v2gy沿斜面滑动，y为纵坐标，开始时A在斜面顶端高为h处，B物体以u匀速向右运动，求A物滑到地面时的速度 解：当滑至斜面底时，y=h，则vA=因此，A对地的速度为 2gh,A物运动过程中又受到B的牵连运动影响，vvvvA地=u+vAvv =(u+2ghcosa)i+(2ghsina)j题1-12图 1-13 一船以速率v130kmh沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v240kmh -1-1沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何? 解：(1)大船看
14、小艇，则有v21=v2-v1，依题意作速度矢量图如题1-13图(a) vvr题1-13图 由图可知 v21=2v12+v2=50kmh-1 方向北偏西 q=arctanv13=arctan=36.87 v24(2)小船看大船，则有v12=v1-v2，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得 vvrv12=50kmh-1 方向南偏东36.87 1-14 当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但当-1轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ，如雨滴的速度大小为8 ms，求轮船的速率 解： 依题意作出矢量图如题1-14所示 o题1-14图 v雨船=v雨-v船 v雨=v雨船+v船 由图中比例关系可知 vvvvvvv船=v雨=8ms-1
