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1、大学高数 考试复习高数级数理论部分练习 10528 一填空 (-1)n-11级数的和为 。 nn=12把函数11= 。 展开成x-1的幂级数到：1+x1+x3级数1-1的和为 。 2nn=1n(n+1)2,-px04设f(x)是以2p为周期的周期函数，在-p,p上的表达式为f(x)=，则在x=0处f(x)4,0xp的傅里叶级数收敛于 。 x2n-15幂级数的收敛区间为 。 n=12n-16若幂级数an=0nnx在x=-3时收敛，则幂级数anxn在x0)，当a= 时收敛。 n1+an=110级数un=1n的部分和数列Sn有界，则级数un=1n收敛。 11若级数un=1n与vn=1n都发散，则(u
2、n=1n +vn)也发散。12若级数un=1n发散，则limun0。 n13若级数un=1nn收敛，那么它的更序级数一定收敛。 14若un=1 (x)在a,b上收敛于s(x)且每个un(x)都在a,b上连续，则s(x)也在a,b上连续。二选择题 1下列级数中收敛的是 4n+8n4n-8n4n+2n2n4n 。 nnnn8888n=1n=1n=1n=12若级数un=1n收敛，则下列级数中收敛。 (un+0.001) un+1000 un 1000。 n=1n=1n=1n=1un3设un=1n=2，则下列级数中和不是1的为 unun n=22n=1211 n n=1n(n+1)n=124将函数f(
3、x)=e-x2展开成x的幂级数得到 x2n(-1)nx2nxn(-1)nxn n!n!n!n!n=0n=0n=0n=05下列级数条件收敛的是 (-1)n=1n1n11nn (-1) (-1)(-1)2n+1n(n+1)nnn=1n=1n=1n6n-lnn n=2cosnpA、绝对收敛 B、条件收敛 C、发散 D、可收敛也可能发散 7(-1)n=1n-1(x+1)n的收敛域为 nA、(-2,0) B、(-2,0 C、-2,0) D、-2,0 8下列级数中条件收敛的是 n1n1n1A、(-1) B、(-1) C、(-1) D、 2n+1nnnn=1n=1n=1n=1n9若级数un=1n和Vn=1n
4、都发散，则 A、(un=1nn+Vn)必发散；B、unVn发散；C、(un+Vn)必发散 D以上说法都不对 n=110limun=0是级数un收敛的 。 n=0A、 必要条件； B、充分条件； C、充要条件； D、既非充分又非必要。 11下列命题正确的是 (A) 若un=1n与vn=1n都发散，则(un=1n+vn)也发散 (B) 若un=1n收敛，而vn=1n发散，则(un=1n+vn)必发散 (C) 若unvn(n=1,2,)且vn=1n绝对收敛，则un=1n必收敛 (D) 级数un=1n收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界 12下列命题正确的是 (A) 绝对收敛级数的更序级数一定收敛
5、(B) 若un=1nn为条件收敛级数，则un=12n一定发散 (C) 若un=1n发散，则 limun0 (D) 若nun=1收敛，则un=12n也收敛 三计算与证明 1求幂级数n2xn的收敛域及和函数。 n=12讨论1n=1在a0时的敛散性。 n1+a3设f(x)=px+x,(-pxp)的傅里叶级数为a0+(ancosnx+bnsinnx)，求系数b3。 2n=12(x+3)n4求幂级数的收敛域与收敛半径。 2nn=1(2x+1)n5求幂级数的收敛域和收敛半径。 nn=16 判别级数(1-cos)的敛散性。 nn=12n+12nx的收敛域与和函数。 n!n=1p7求幂级数xn8求幂级数的收敛
6、域及和函数。 n=1n(n+1)111xn+L的和。 9求级数的收敛域，并求出它的和函数，由此求出23132333nn=1p1,0x210将f(x)=，在0,p上展开成余弦级数，并求出它的和函数。 p0,xp2x2x3x4x5xn+1n+111确定级数-+-+L+(-1)+L的收敛域，并求和函数。 12233445n(n+1)12求级数nnx在其收敛域x1； 10； 11121314 2f(-p+0)+f(p-0)2二选择 1 、C 2、B 3、C 4、B 5、A 6. B； 7B；8. B；9、C；10、A；11B 12A 三计算与证明 n2n2x=11. R=lim当时，级数成为(-1)n
7、发散，所以收敛域为(-1,1)。 =1,n(n+1)2n=1xx(x+1)2n-1nn。 S(x)=xnx=xnx=xxx=xx=3n=1n=11-x(1-x)n=11110a1a1/=1当a1时，lim，而在时收敛，所以时收敛。 nnn1+anana1+an=1n=123. b3=(px+x)sinnxdx=pxsin3xdx=-xdcos3x p-pp-p3021p1pp22=-xcos3xp=p。 033(x+3)n+14. r=limn(n+1)2(x+3)n=x+31-4x-2，当x=-4和x=-2时级数收敛，所以收敛n2-2-(-4)=1。 2域为-4,-2。收敛半径为R=(2x+
8、1)n+15. r=limnn+1(2x+1)n(2x+1)n当x=-1时，收敛，当x=0=2x+11-1x0，nnn=11(2x+1)n时，发散，所以收敛域为-1,0)，收敛半径为R=。 2nn=16. 因为1-cospn0,n=1,2,.，且当n时，1-cospn=2sin2p2np22n2，而 2nn=1p22收敛，所以(1-cos)收敛。 nn=1p7. R=lim2n+12n+3=+，收敛域为(-,+)。 nn!(n+1)!x2n+1(x2)n=n!=xn!n=1n=12n+12nxn!n=1x2=xe-()=(2x2+1)ex-1。 218. R=limnn(n+1)令xn1都收敛
9、，所以收敛域为-1,1。=1，而当x=1时，级数n(n+1)(n+1)(n+2)n=1xnn=1n(n+1)=S(x)，xn+1f(x)=xS(x)=n=1n(n+1) ,则f(x)=xn-1=n=111-x，于是S(x)=1+9r=1-xln(1-x),x-1,0)U(0,1)，当x=0时，和函数为0；当x=1时，和函数为1。 xlimnn+1=1R=1 收敛域为-1,1) nxS(x)=x0xdxx2S(x)dx=()dx=-ln(1-x) 001-xn=1n111n113令x= +L=ln23n=1n31323210bn=0(n=1,2L) a0=2p2p0f(x)dx=1 an=pf(
10、x)cosnxdx=p2p20cosnxdx=2npsin(n=1,2L) np2p1,0x212nppsincosnx=0,xp f(x)+2n=1np22p1,x=2211、r=limnn(n+1)=1 (n+1)(n+2)R=1 收敛域为：(-1,1 (x+1)ln(1+x)-x,-1x1 S(x)=1,x=-112. 1nnx=(1-)xn Sx=n+1n=1n=1n+1xnxxn=x- =-n+11-xn+1n=1n=1n=1nxxn+1(x)=xn=令S1(x)=，S1 1-xn=1n=01+nxn1xn+11=sinx S1(x)=-x-ln(-x)，则n+1x1+nxn=1n=
11、1 S(x)=11+ln(1-x),(x0) 1-xxn213.公比r=-33x，一般项(-1)nnxn(n=2,3L) ，令f(x)=(2-x)2+f1(x) 22n+12r=limn32n+132nn2=23； R= 23a13x210分 f1(x)=1-r4+23xf(x)=(2-x)+f1(x)=(2-x)+223x24+23x14. r=limnn+1=1 R=1 n+2从而收敛域为-1,1) xnxs(x)=设S(x)=n+1n=0xn+1 n+1n=0(xS(x)=xn=n=01 (x1) 1-xxS(x)=1dx=-ln(1-x) (-1x1) 01-x1 当x0时，有S(x)
12、=-ln(1-x) xxS(0)=limS(x)=1 x01-ln(1-x),x-1,0)(0,1) S(x)=x1,x=015将函数f(x)=x在0,p上展开为余弦级数。 解：要把f(x)=x在0,p上展开为余弦级数，先将f(x)延拓成-p,p上的偶函数，再延拓成以2p为周期的周期函数，则 bn=0(n=1,2,3,L) a0=f(x)dx=xdx=p pp002p2pak=p02p0,f(x)coskxdx=xcoskxdx=2(-1)-1=4-2,p0kppk2p2kk为偶数k为奇数于是由收敛定理有： f(x)另一个类似 p2-4cos3xcos5xcos(2k-1)x=x，(0xp)。 cosx+L+L222p35(2k-1)16求幂级数(-1)n+1nxn的和函数。 n=1an+1(-1)n+2(n+1)解：因为lim=lim=1，所以幂级数(-1)n+1nxn的收敛半径为R=1。又因为当n+1nan(-1)nn=1nx=1时级数发散，所以(-1)n=1n+1nx的收敛域为(-1,1)。设S(x)=(-1)n+1nxn，则由逐项求导定理nn=1有： S(x)=(-1)n=1n+1nx=-x(-1)nxnnn=1n-1=-xd(-1)nxn n=1dxdd-xx =-x(-x)n=-x=2dxn=1dx1+x(1+x)即： S(x)=x， x(-1,1)。 2(1+x)
