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1、天津理工大学概率论与数理统计第三章习题答案详解第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题 1、随机点(X,Y)落在矩形域x1xx2,y1yy2的概率为 F(x2,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)-F(x1,y2). 2、(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则F(-,y)= 0 . 3、(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则F(x+0,y)=F(x,y) 4、(X,Y)的分布函数为F(x,y)，则F(x,+)=FX(x) 5、设随机变量(X,Y)的概率密度为 k(6-x-y)f(x,y)=00x2,2y1 ；问 F(x , y) 是 不 是 某 二 维 随 机 变 量 的 x+2y1 联
2、 合 分 布 函 数 ？ 并 说 明 理 由 。 解： F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 因 P0 x 2， 0 h 1= F(2 , 1) - F(0 , 1) - F(2 , 0) + F(0 , 0) = 1- 1- 1 + 0 = - 1 0 故 F(x , y) 不 可 能 是 某 二 维 随 机 变 量 的 联 合 分 布 函 数 。 2g(x2+y2),0x,y+224、设g(x)0,且g(x)dx=1，有f(x,y)= px+y0其它0,证明：f(x,y)可作为二维连续型随机变量的概率密度函数。 证明：易验证f(x,y)0
3、，又p+-f(x,y)dxdy=0+2g(x2+y2)0px+y22dxdy 2p20dq+0+g(r)rdr=g(r)dr=1 0r符合概率密度函数的性质，可以是二维连续型随机变量的概率密度函数。 25 5、在 0,p 上 均 匀 地 任 取 两 数 X 与 Y，求Pcos(X+Y)0的值。 1,0x,ypp3p3)= 解：f(x,y)=p2，Pcos(X+Y)0PX+Y0,y06、设随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)= 其它0 (1)确定常数k 解：(1)(2)求(X,Y)的分布函数 (3)求P0X1,00,y0 (3)P0X1,0Y2=F(1,2)+F(0,0)-F(1,0)-F
4、(0,2) =(1-e-3)(1-e-8)+0=0.95021 7、设随机变量(X,Y)的概率密度为 x2+xy/3 f(x,y)=0解：PX+Y1=0x1,0y2其它 求PX+Y1 x+y11f(x,y)dxdy=dx0121-x(x2+xy)dy 3x4565=(+x2+x3)dx= 0236728、设随机变量(X,Y)在矩形区域D=(x,y)|axb,cyd内服从均匀分布， (1)求联合概率密度及边缘概率密度. (2)问随机变量X,Y是否独立？ 26 解：(1)根据题意可设(X,Y)的概率密度为 Mf(x,y)=01=+-axb,cyd其它bdac+-f(x,y)dxdy=Mdxdy=M
5、(b-a)(d-c) 于是M=1/(b-a)(d-c)1，故f(x,y)=(b-a)(d-c)0+-axb,cyd其它fX(x)=f(x,y)dy=dcdy1= (b-a)(d-c)b-a1即fX(x)=b-a0fY(y)=+-axb其它f(x,y)dx=dx1= a(b-a)(d-c)d-cb即fY(y)=1/(d-c)0cy0,y0. -x22-x-y, -3-x-y)，F(x,y)xy=ln33ln233-x-yx0,000ln33 fX(x)=, 其它0+2-x-ydx=ln33-y,y00ln33 fY(y)= 其它0 (2) 因为f(x,y)=fX(x)fY(y)，故X与Y是相互独
6、立的. 10、一电子器件包含两部分，分别以X,Y记这两部分的寿命(以小时记)，设(X,Y)的分布函 1-e-0.01x-e-0.01y+e-0.01(x+y) 数为F(x,y)=0x0,y0其它 (1)问X和Y是否相互独立？ (2)并求PX120,Y1201-e-0.01xx0解：(1)FX(x)=F(x,+)= x001-e-0.01y FY(y)=F(+,y)=0y0y120,Y120=PX120PY120=1-PX1201-PY120 =1-FX(120)1-FY(120)=e-24=0.091 11、设 随 机 变 量 (x , h)的 分 布 函 数 为 F(x,y)=A(B+arc
7、tg)(C+arctg)求：( 1 ) 系 数 A , B及 C的 值 ， ( 2 ) (x , h)的 联 合 概 率 密 度 j(x , y)。 x2y3ppF(+,+)=A(B+)(C+)=1 22pp F(-,+)=A(B-)(C+)=0 22pp F(+,-)=A(B+)(C-)=0 221p 由 此 解 得 A=2,B=C=, p2解：( 1 ) 28 ( 2 ) j(x,y)=6p2(4+x2)(9+y2) 12、设(X,Y)相互独立且分别具有下列表格所定的分布律 X -2 -1 0 12 Y -12 1 P1k 111143 12 3 Pk 124 试写出(X,Y)的联合分布律
8、. 解： Y X -2 -1 0 12 -111112 8 6 24 6 1 1 1111612 48 12 3 111116 12 48 12 13、设X,Y相互独立，且各自的分布律如下： X 1 2 Y 1 2 P111k 2 P12k 2 2求Z=X+Y的分布律. 解：PX=k=Pkk=0,1,2,L PY=g=qgg=0,1,2,L Z=X+Y的分布律为PZ=i=Pkqi-ki=0,1,2,L Z的全部取值为2,3,4 PZ=2=PX=1,Y=1=PX=1PY=1=1212=14 PZ=3=PX=1,Y=2+PX=2,Y=1 29 3 14 =PX=1PY=2+PX=2PY=1=11111+= 22222111PZ=4=PX=2,Y=2=PX=2PY=2= 22414、 X,Y相互独立，其分布密度函数各自为 x112e fX(x)=20x0x0y13efY(y)=30y0y0 Z030
