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1、如何证明圆的切线如何证明圆的切线 证明直线是圆的切线，通常有的以下几种方法： 一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径 如图1，已知AB为O的直径，点D在AB的延长线上，BDOB，点C在圆上，CAB30求证：DC是O的切线 思路：要想证明DC是O的切线，只要我们连接OC，证明OCD90即可 证明：连接OC，BC AB为O的直径，ACB90 CAB30，BCBDOB，BC1212C A O 图1 B D ABOB ODOCD90 DC是O的切线 一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这
2、两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线本题在证明OCD90时，运用了“在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”，当然也可以从角度计算的角度来求OCD90 二、如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径 如图2，已知AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D求证：AC平分DAB 思路：利用圆的切线的性质与圆的切线垂直于过切点的半径 证明：连接OC CD是O的切线，OCCD ADCD，OCAD12 OCOA，1323 AC平分DAB 已知一条直线是某圆的切线时，切线的位置一般是确定的在解决有关
3、圆的切线问题时，辅助线常常是连接圆心与切点，得到半径，那么半径垂直切线 D 2 1 A 3 C B O 图2 如图3，已知AB为O的直径，过点B作O的切线BC，连接OC，弦ADOC求证：CD是O的切线 思路：本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理欲证明CD是O的切线，只要证明ODC90即可 证明：连接OD OCAD，13，24 OAOD，1234 图3 又OBOD，OCOC， OBCODCOBCODC BC是O的切线，OBC90ODC90 DC是O的切线 本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理一定要注意区分这两个
4、定理的题设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定理希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识本题若作ODCD，就判断出了CD与O相切，这是错误的这样做相当于还未探究、判断，就以经得出了结论，显然是错误的 三、已知直线与圆的公共点时只需连接该公共点和圆心，证明该半径垂直于已知直线 如图1，B、C是O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CDAB于D，ACD=2BAC是O的切线吗？为什么？ 解：AC是O的切线 理由：连接OC， 因为OC=OB， 所以OCB=B 所以COD=OCB+B=2B 因为ACD=2B， 所以ACD=COD 因为CDAB
5、于D， D A 1 2 4 C O 3 B 因为COD是BOC的外角， 所以DCO+COD=90 所以DCO+ACD=90 即OCAC 因为C为 O上的点， 所以AC是O的切线 如图2，已知是ABC的外接圆，AB是的直径，D是AB的延长线上的一点，AEDC交DC的延长线于点E，且AC平分EAB求证：DE是O的切线 证明：连接OC，则OA=OC， 所以CAO=ACO， 因为AC平分EAB， 所以EAC=CAO=AC， 所以AECO， 又AEDE， 所以CODE， 所以DE是O的切线 四、直线与圆的公共点未知时须通过圆心作已知直线的垂直线段，证明此垂线段的长等于半径 如图3，AO是ABC的中线，O与AB边相切于点D 要使O与AC边也相切，应增加条件_ 增加条件后，请你证明O与AC 边相切 解:答案不唯一，可以是B=C，AB=AC，BAO=CAO，AOBC等 增加条件B=C后， O与AC 边相切 证明:连接OD，作OEAC，垂足为E 因为O与AB相切于点D， 所以BDO=CEO=90 因为AO是ABC的中线，所以OB=OC 又因为B=C， 所以BDOCEO，所以OE=OD 因为OD是O的半径， 所以OE是O的半径 所以O与AC 边相切
