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1、生物信息学第八章 数学模型,毛理凯,2,本课目录,概述差分方程微分方程应用E-Cell,3,一、概述,4,数学模型的例子(米氏方程),酶促反应机制根据稳态/定态(steady state)假设和反应动力学推导出米氏方程,5,为什么要使用数学模型？,通常利用数学模型来作为所关心的系统工作原理的假设通过模拟(simulation)的结果可以证明假设是否正确 理解生命现象的机制正确的模型可以进一步预测生命系统的其他未知特性 预言试验结果,指导实验设计,减少实验成本善于在短时间内完成复杂的实验,甚至某些当前实验条件尚无法达到的,6,定义、构成元素,数学模型(mathematical model)是用数
2、学语言来描述一个系统的抽象模型例如一个群体增长模型这个数学语言通常是包含一些方程这些方程(equation)用来建立一些变量之间的关系这些变量(variable)通常代表了系统的某些属性(property)如某群体的大小,7,构成元素关系,系统,属性,关系/规律,数学模型,变量,方程,8,参数,模型还包括参数(parameter)参数通常是常数,用于描述系统的某个相对不变的属性如某群体的生殖率(以群体大小为变量)参数在模型中相对于变量为从属地位一个属性是变量还是参数没有明显界限,由具体问题的性质决定如果以生殖率为研究对象(变量),那么生殖率就不是参数,而是变量,9,数学模型的分类(1),静态的
3、(static)和动态的(dynamic)区别在于是否考虑时间动态模型常由差分方程或微分方程来表示确定性的(deterministic)和随机性的(stochastic)看是否唯一参数决定唯一结果注意:确定性模型可能产生貌似随机的结果,如混沌(chaos),10,数学模型的分类(2),(时间)离散的(discrete)和连续的(continuous)如差分方程(离散)和微分方程(连续)线性(linear)和非线性的(nonlinear)y=ax+b(线性)y=ax2+bx+c(非线性)对于方程组来说,只有全部方程都是线性的,该模型才是线性模型,11,数学模型的分类(3),集总/中(lumped
4、)参数和分布(distributed)参数模型看参数是(集总)否(分布)均一分布分布参数模型常用偏微分方程表示,12,一个离散模型的具体例子,生命游戏(life game)属于细胞自动机(cellular automaton)的一种给定某初始条件和繁衍条件根据这些条件,观察群体的演化定态,周期解,混沌演示,13,二、差分方程(difference equation),14,例:逻辑斯蒂映射(logistic map),方程Xn+1=rXn(1-Xn)Xn是变量,范围0,1,代表某群体中第n代的个体数(已归一化)r是参数,表示增长率如果知道前一项Xn,我们就可以推出后一项Xn+1所以差分方程也叫
5、递归(recursion),15,解差分方程,要解这个差分方程,或者说进行模拟(run a simulation),需要知道参数值(parameter values)、(变量)初值(initial values)令 r=1.0 X0=0.5这样可以通过迭代(iteration)来求解差分方程,16,不同参数的效果(1),周期一,周期一,周期二,17,不同参数的效果(2),混沌(Chaos),周期四,18,迭代,对于本例(参数r=1.0)X0=0.5X1=0.25X2=0.1875X3=0.152344X4=0.129135X5=0.112459X6=0.099812,用Excel操作、三维演示
6、,19,换个方式演示迭代过程,用笔和尺,20,混沌的初值敏感性(sensitivity to initial conditions),21,分岔图(bifurcation diagram),就是横轴为参数、纵轴为变量的图,显示整个系统随参数的变化,22,丰富多彩的分岔图 前分岔、后分岔,后分岔(r0),前分岔(r0),23,丰富多彩的分岔图 自相似,前分岔局部放大,程序、动画演示,24,丰富多彩的分岔图 三维,前后分岔、r为复数,25,三、微分方程(differential equation),26,(微分基础)微分/导数就是速度,从导数的定义开始,x0,导数表示在x的某一点的切线的斜率,也就
7、是变化率,变化率就是速度,27,两种主要的微分方程,常微分方程(ordinary differential equation)u是x的函数(都是变量)该方程的解为u(x)=cc为任意常数,28,两种主要的微分方程,偏微分方程(partial differential equation)u是x,y的函数该方程暗示u独立于x所以该方程的解为u(x,y)=f(y)f是y的任意函数,29,(生态学例子)群体增长模型(1),方程x是变量,代表某群体的个体数,即该群体大小,对时间t求导m是参数,表示增长率求导表示上变量对下变量变化的速度,所以这里的求导代表某群体大小的变化速度,30,群体增长模型(2),这
8、样上述方程就表示某群体的增长速度跟现有的群体大小成正比(这意味着指数增长！)该方程其实就是著名的马尔萨斯人口方程,m是马尔萨斯参数(Malthusian parameter),31,群体增长模型(3),该方程的(解析)解(analytic solution)是,m=1,x0=1,32,(混沌例子)Lorenz奇怪吸引子,微分方程也可以产生混沌！而且更漂亮！例如Lorenz奇怪吸引子(strange attrator),33,微分方程的数值解,这个方程不易得出解析解需转化成差分方程并借助计算机求得数值解(numerical solution)欧拉折线法(Euler method)dy/dx=f(
9、x,y)(yn+1-yn)/h=f(xn,yn)yn+1=yn+h f(xn,yn)转化成了差分方程用Excel也可以解（演示）!,34,用软件Euler解Lorenz方程,Euler免费Matlab克隆几乎可做常见的任何数学操作,甚至可以符号运算!2M!Homepage演示,35,(例子)Logistic映射的微分形式(单物种增长),差分 Xn+1=rXn(1-Xn)微分 dX/dt=rX(1-X/K)X:群体大小(变量)t:时间r:增值率(参数)K:群体大小极限(参数)该方程比Malthus模型更接近现实,考虑了资源限制,36,单物种增长模型的解,变量初值X0=1参数值(变化)r=1(11
10、0)K=10000(100010000)Euler演示解的演化、解受参数的影响不再指数增长(资源限制K起作用了!)还不如差分方程的解丰富只有定态解(steady states,fixed points,equilibria),37,定态解及其稳定性,令方程右边rX(1-X/K)=0,即可得定态解X1=0,X2=K求这些定态解的稳定性(stability)对方程右边求导rX(1-X/K)=r-2rX/K将定态解代入r-2rX1/K=r0 X1不稳定 不可见r-2rX2/K=-r0 X2稳定 可见,38,丰富多彩的混沌,分形学,39,Dynamics Solver,免费数学运算、作图软件特别擅长于
11、非线性动力学、混沌、分形7M软件自带混沌示例bifurcation.ds(Logistic)circle.ds,Crutchfield.ds,tent.ds(不同的分岔图)Henon4.ds(初值敏感)Henon1.ds,baker.ds,Lozi.ds,Julia.ds,Mandelbrot.ds,Newton.ds,von Koch.ds,snowflake.ds,tree.ds(自相似,丰富的细节,分形),40,四、应用,41,应用广泛(仅生命科学方面的部分列举),生态学捕食-被捕食模型酶动力学(生化)米氏方程神经系统细胞代谢系统信号转导系统传染病群体遗传学,42,群体遗传学 模拟突变,
12、研究对象/假设代与代不重叠,随机交配,群体无限大1个位点,2个等位基因(A1,A2),pn和qn=1-pn是它们在第n代时的基因频率A1变异为A2的突变率是u,A2变异为A1的突变率是v设一代中一个等位基因只能变异一次,A1,A2,u pn,v qn,43,这样下一代的A1为pn+1=(1-u)pn+v(1-pn)这个差分方程的解为这里p0是开始时(第0代)A1的频率通常u,v很小(10-6或10-5的量级)当n,pnv/(u+v),qnu/(u+v)达到平衡(实际很难达到),突变方程及其解,44,predator-prey模型,Malthus和Logistic模型是单物种模型predator
13、-prey模型是一类双物种模型Predator:捕食者Prey:被捕食者,45,Lotka-Volterra模型,Lotka-Volterra模型是最早的predator-prey模型美生物物理学家Alfred Lotka(1925)意数学家Vito Volterra(1926)基于一阶非线性常微分方程,捕食者,被捕食者,Euler数值解演示,46,定态解,求定态解-x-xy=0-xy-y=0得x=y=0(定态解1)x=/,y=/(定态解2),47,定态解的稳定性,用偏导数线性化方程右端得Jacobian matrix该矩阵的本征值(eigenvalue)是 1=0,2=-0,2=-i0(定态解2)该定态解是焦点(focus,稳定周期),48,五、E-Cell,49,E-Cell简介,功能:在分子水平上全细胞模拟免费/Gnu General Public License(GPL)、开源跨平台(Linux,Windows,Mac)程序架构:前端/界面python,核心C+支持各类数学模型,参数估计,分析,便于自动化E-Cell 3D(for Mac)演示,50,考试,不定项选择题30(15)是非题30(15)名词解释题20(5)综合分析题20(2),51,完,
