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1、安陆一中数学函数复习高中数学函数复习 安陆一中：洪山海 要点透视 主要内容包括：映射、函数、反函数、函数的奇偶性、单调性、几个基本初等函数 一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及它们的图象与性质定义域、值域、奇偶性、单调性、图象的对称性等。 数形结合思想是本章的最基本的数学思想，另外，分类讨论思想、化归思想等也是本章的基本思想。 典型例题解析 例1已知集合A=1,2,3,a，B=4,7,b,b+3b。其中aN+，bN+，若xA，yB，映射f:AB使B中元素y=3x+1和A中元素x对应。求a和b的值。 42解：QA中元素x对应B中元素y=3x+1，A中元素1的象是4，2的象是7，3的象是10
2、。 4242b=10或b+3b=10 又bN+ b=10无解，而由b+3b=10解得b=2， 44那么a的象是b=2=16，故3a+1=15 a=5 综上所述：a=5,b=2 例2判断下列各题中，函数f(x)与g(x)是不是同一函数？说明理由。 f(x)=x-1x-1，g(x)=x+1； 2x，g(x)=x； 2f(x)=f(x)=x-2，g(x)=0x-4x+4； 2f(x)=1，g(x)=x； 12g(x)=lnxf(x)=lnx2，； xx0g(x)=x0-xf(x)=x， 解：Qf(x)的定义域是xR|x1，而g(x)的定义域是R，f(x)与g(x)的定义域不同，f(x)与g(x)是两
3、个不同的函数。 f(x)与g(x)的定义域都是R，又f(x)=x2=x，即f(x)与g(x)的对应法则边相同，所以f(x)与g(x)是相同函数。 g(x)=x-2由于f(x)=x-2，它们对应法则不同，所以f(x)与g(x)是不同函数。 xR|x0 是不同函数，f(x)的定义域是R，而g(x)的定义域是22是相同函数，与，又，所以它们的对应法则也相同。 说明：定义域、值域、对应法则是函数的三大要素，定义域与对应法则确定则值域也随而定，故两个函数是相同函数的充要条件是它们的定义域与对应法则相同。 例3求下列函数的定义域 1 f(x)g(x)xR|x的定义域都0g(x)=1lnx2=12lnx=l
4、nxy=y=16-x+2cosx 24-xlg(2x+3+1+3x-2)y=lg(sinp)x 16-x20-4x4cosx0cosx0 结合右图： 解：由pp-,故原不等式的解集是22 -2x2-314-x20-x0-2x+3+1+2x-202x+3+1+2x-21-2x+3-1-2x-21由或或2x2-322x-3-1-2x-202x-3-1-2x-2132 解之得：2psin-1x-14或-14x2-2x-74或-1x174x02kppx2kp+p2k1 当k0时，QkZ，则2k与2k+1同正或同负，2k+11或x0k080k2D036k-48k09 恒成立，当且仅当即 22综上所述：k
5、的范围是0k89 由-12x-11，则0x1，即函数f(2x-1)的定义域是0,1) 由f(2x-1)的定义域是-1x1，则-32x-11，f(x)的定义域是-3,1) -11-x12-11-x10x2(0,2由得，故g(x)的定义域是 2 例5函数f(x)=lg(2+2解：由2+22+xx2-x-m)的定义域是R，求实数m的取值范围。 4xm0对xR恒成立，即2对任意xR恒成立。 x2-x42x4而 m的取值范围是mfmax(x)；说明：对于恒成立问题，一般地，若mf(x)，若mf(x)，xA恒成立，则m的取值范围是mfmin(x)，xA。 例6求下列函数的值域 y=log132x+4x+1
6、52 1-2xy=2x+y=x+3+x-5y=x-xx-x+1 22解：由令m=y=2x+2x+4x+15=1-2x22(x+1)+323y=log132x+4x+52(-,-1，故的值域是2 ，则m0 1-2x+1=-m(-,521-2x=-(1-2x)+m+1=-(m-12)+254 结合二次函数的图象得出函数值域是-2x+2y=x+3+x-5=82x-2由4 y x-3-3x5x5 8 y=x+3+x-5图象如右 3 0 5 x 的值域是8,+) 12)+2故y=x+3+x-52Qx-x+1=(x-3420 函数的定义域是R。 2x-x+1有(y-1)x-(y-1)x+y=0 由当y=1
7、时，无解，y1 y=x-x2当y1时，D=-(y-1)-4y(y-1)0-132,1)2即3y-2y-102-13y1综上原函数的值域是f(x)=a-。 -1例7x2+1是R上奇函数，解关于x的不等式f(x)0时，f(x)x2，则=22(2x1x2f(x1)-f(x2)=1-x2x1+1-1-22x2+1=22x2+1-22x1+1=212x2+1-12x1+1 +1-2+1)(2-1+1)=22(2x1x1-2x2x1+1)(2+1)xx 由于x1x2，2-20 f(x1)f(x2) 12故f(x)在R上是单调增函数，其值域为(-1,1) y=1-22+1xf-1(x)=log1+x2又由1
8、-x(-1x021xR|-1x3由f-1(x)1log1+x2即1-xlog21+1-1+2 1-1xR|-1x-1f(x)13 故的解集是说明：本题在求a值也可由f(0)=0直接求出a=1，更加便捷。另外在解fQf(x)节R上单调增，由f-1-1-1(x)1=13 时，也可如下处理：(x)1则f(f-1(x)f(1)xx2 x1-x20 f(x1-x2)0即f(x1)+f(-x2)0即f(x1)f(x2) (x)=f(-3)f(x)是R上单调减函数 fmax，fmin(x)=f(3) 而f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=-6 f(-3)=-f(3)=6
9、 fmax(x)=6fmin(x)=-61(-1,)(x)3 的解集是， 例8动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发顺次经过B、C、D，再回到A，设x表示点P的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数式。 解：如图，当点P在AB边上运动点，PA=x； 当点P在BC边上运动时， ； P 当点P在CD边上运动时，PA=1+(x-1)2PA=1+(3-x)2； 4 当点P在DA边上运动时，PA=4-x 故所求函数式为 D P C x(0x1)2x-2x+2(1x2)y=2x-6x+10(2x3)(3x4)4-x P A B 例9已知f(x)是定义在-2,2上偶函数，当x0,2时f(x)是减函数，
10、如果不等式f(1-m)f(m)恒成立，求实数m的取值范围。 f(1-m)f(m)f(x)=f(x)解：Qf(x)是偶函数 不等式f(1-m)f(m)等价于 1-m2-21-m2m2-2m21-1mm 即(1-m)m 解之得：2 说明：本题充分利用偶函数的性质：例10已知二次函数有等根。 求a、b、c； f(x)=ax2f(x)=f(x)，简化分解过程中繁琐的讨论。 +bx+c(a0)满足f(-x+5)=f(x-3)，f(2)=0，且方程f(x)=x是否存在实数m、n(mn)，使得函数f(x)在定义域内m,n值域为3m,3n。如果存在，求出m、n的值，如果不存在，请说明理由。 解：Qf(-x+5
11、)=f(x-5) f(x)的图象关于直线x=1对称，即Qf(2)=0 4a+2b+c=0 Qf(x)=x即ax1a=-2D=(b-1)-4ac=022-b2a=1 有等根， +(b-1)x+c=0 由三个式得12(x-1)+2，b=1，c=0 12，n16 f(x)=-12x+x=-21212 3n由得mn1612 f(x)在m,n上是单调增函数 ff-(m)=3m-(n)=3n即1212m+m=3mn+n=3n22 m、n是方程-12x+x=3x2的两个不等根。 m=0或m=-41Qmn0 Bx|x0 Cx|x0且x-1 Dx|x0且x-1 f(x)=cx2x+3(x-3x-x4如果函数A3
12、 B3 C3或3 D5或3 5若函数y=f(x)的定义域为-2,4，则函数g(x)=f(2x-1)+f(1-2x)的定义域是 -12,2-133533,-,-,22 C22 D22 )2满足ff(x)=x，则c= A Bx(x0)x2f(x)=g(x)=2(x0)-xx6已知函数，(x0)(x0)那么，当xf(a-a+1)2xf(-3434)f(a-a+1)2Af(- B)4x+p-3都成立的x的取值范围是 Ax3 Bx3或x0，则实数p的取值12若关于x的方程1-x=log2(x-a)有正数解，则a的取值范围是 log2x1=logax2=loga+1x30xxxa13若0a1且，则1、2、3的大小关系是 巩固练习答案 1A 2C 3C 4A 5D 6C 7B 8B 9B 7 102m+n 118 12-3,-1U1,2 13(1,+) 7,+14215x|0x1或3x4或x=7 -1-52,-1U0,5-1216-1a0当2时，-a,1+a 0a1当2时，a,1-a 17b=3 能力提高 1B 2B 3B 4B 4,1747(0,282910 101a2 -3p3112 12-2a0 13x1x3x2 1)22(a-3+2(0a1或2a3)M(a)=-262+(1a2)aa142a3 2 15证略 a=5+1-116存在2b=5，2 8 5C 6C
