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1、定积分及其应微积分教案 NO. 1 第六章 定积分 6.1 定积分的概念 一、定积分的定义 1.引 例1 设函数y=f(x)在闭区间a，b上有定义且非负曲线y=f(x)与直线x=a,x=b,y=0围成一个图形曲边梯形，来其面积 求近似值：用一串分点 a=x0x1Lxn=b把a，b分成n段， 相应地把曲边梯形分成n个条形，其中第j个条形为 xj-1xxj,0yf(x). nyy=f(x)B A 曲边梯形面积的近似值 f(xj)Dxj j=1 划分越细，近似效果越好。 例2 设物体作变速直线运动，其速度v是时Oa=x0x1xi-1xixixn-1xn=bx 间t的函数v=f(t).我们来计算这物体
2、从时图1.3-3 刻a到时刻b经过的路程为此，用一串分点a=t0t1Ltn=b, n把这段时间分成n小段总路程近似等于 f(tj)Dtj j=1当分割的时间间隔越来越短时，上述和式的极限值即为所求的路程 2定义 设f(x)在区间a,b有定义,在a,b内任意插入n-1个分点： a=x0x1x2Lxn-1xn=b，此分法表为T.分法T将a,b分成n个小区间：x0,x1,x1,x2,L,xi-1,xi,L,xn-1,xn.第i个小区间xi-1,xi的长度表为Dxi=xi-xi-1,d(T)是这n个小区间的长度的最大者：作和d(T)=maxDx1,Dx2,L,Dxn.在xi-1,xi中任取一点xi(i
3、=1,2,3n)，微积分教案 nNO. 2 数 S=i=1f(xi)Dxi，称为f(x)在a,b上的积分和.如果当d(T)0时，和数S趋于确定的极限I，且I与分法T无关，也与xi在xi-1,xi中的取法无关，则称f(x)在a,b上可积，极限I称为f(x)在a,b上的定积分，简称为积分，b记作f(x)dx. 即： f(x)dx=limabnd(T)0ai=1f(xi)Dxi 其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a与b叫做积分的下限与上限，符号是积分符号. 如果当d(T)0时，积分和S不存在极限，则称f(x)在a,b上不可积. 注意：定积分的值只与被积函数f(x)
4、以及积分区间a,b有关，而与积分变量写成什么字母无关，即f(x)dx=abbaf(t)dt. 与不定积分区别； 二、定积分的几何意义及可积函数类 1几何意义：若在a,b上，f(x)0，则定积分f(x)dx表示由曲线ab； y=f(x),x轴及直线x=a,x=b所围成的曲边梯形的面积f(x)0，表示上述曲边梯形的面积的相反数； 若函数f(x)在a,b上有正有负各部分面积的代数和。 o yyyo a b x + a b x 图6.1-1a - o - b x a 图6.1-1c + + 图6.1-1b 微积分教案 NO. 3 2可积函数类：若函数f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上可积.
5、若函数f(x)在a,b上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在a,b上可积. 三、例 计算定积分sinxdx. ab 解 因为f(x)=sinx在a,b上连续，故sinx在a,b上可积，因此可以对a,b采用特殊的分法，以及选取特殊的点xi，取极限 nd(T)0limi=1f(xi)Dxi 即得到积分值. b-an(i-1)(b-a)n将a,bn等分，则 Dxi=有 sinxdx=limabn-1n，取xi=a+b-an，i=1,2,Ln 则sini=0a+i(b-a)n . 为了书写方便，令h=n-1b-an,利用积化和差公式有： h2h2i=0sin(a+ih)=12sinh22sinasi
6、n+2sin(a+h)sin+L +2sina+(n-1)hsin =12sinh22n-32h2 h2)-cos(a+3h2)+L cos(a-h2)-cos(a+h2)+(cos(a+ +(cos(a+ =12sinbh)-cos(a+2n-122n-12h) h2cos(a-h2)-cos(a+h)， n-1n所以 sinxdx=limai=0sina+i(b-a)nb-an微积分教案 NO. 4 =cosa-cosb. 微积分教案 NO. 5 6.2 定积分的基本性质 一、定义推广： 二、性质 1 f(x)g(x)dx=abbbaf(x)dxnd(T)0bag(x)dx. 证 f(x)
7、g(x)dx=limaf(xi=1i)g(xi)Dxi nn =limbd(T)0i=1f(xi)Dxibd(T)0limg(xi=1i)Dxi =baf(x)dxbag(x)dx. 2 kf(x)dx=kf(x)dx. aa3 如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设acb，则 bcbaf(x)dx=af(x)dx+cf(x)dx 证 因为函数f(x)在a,b上可积，所以不论a,b怎样划分，不论xi怎样选取，当d(T)0时，积分和的极限是不变的，所以我们可以选取c(acb)n永远是个分点，lim =limbd(T)0i=1f(xi)Dxi=limf(
8、xi)Dxi+d(T)0a,cc,bf(xi)Dxi d(T)0a,cf(xi)Dxi+limd(T)0c,bf(xi)Dxi， 即 f(x)dx=acaf(x)dx+bcf(x)dx. b推广：不论a,b,c的相对位置如何，f(x)dx=acaf(x)dx+bcf(x)dx成立. 例如,当abc时，由于 f(x)dx=acbacf(x)dx+f(x)dx-cbcf(x)dx，则 f(x)dx= f(x)dx=ababcaf(x)dx+bcf(x)dx. 微积分教案 4 如果f(x)=1,则baf(x)dx=badx=b-a. 5 如果在区间ba,b上f(x)0，则f(x)dx0a(ab).
9、证 bnaf(x)dx=limf(xd(T)0i)Dxi， i=1因为 f(x)0，故f(xi)0 (i=1,2,Ln)， n又 Dxi0 (i=1,2,Ln)，因此 f(xi)Dxi0， i=1n所以， limd(T)0f(xi)Dxi0 , 即: i=1bf(x)dx0a. 推论1 如果在区间a,b上,f(x)g(x),则 baf(x)dxbag(x)dx (ab). 推论2 b)dxbaf(xaf(x)dx，(ab). 证 因为 -f(x)f(x)f(x)， 则 -baf(x)dxbaf(x)dxbaf(x)dx， 即 baf(x)dxbaf(x)dx. 6 设M,m分别是函数f(x)在
10、a,b上的最大值和最小值，则 m(b-a)baf(x)dxM(b-a). 证 因为 mf(x)M，由推论1得 bbamdxaf(x)dxbaMdx， 再由性质2及性质4可得 m(b-a)baf(x)dxM(b-a). NO. 6 微积分教案 NO. 7 性质7 如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一点x，使下式成立:f(x)dx=f(x)(b-a). ab 证 因f(x)在a,b上连续，故必存在最大值M与最小值m，由性质6， m(b-a) 或 m这说明，数1b-ab1babaf(x)dxM(b-a) ， f(x)dxM. b-aaf(x)dx介于M与m之间，根据闭
11、区间连续函数的介值定理，在区间a,b内存在一点x，使 f(x)=b1b-abaf(x)dx,即 y f(x)dx=f(x)(b-a). a此性质称为积分中值定理. 积分中值定理有其明显的几何意义: 设f(x)0，由曲线y=f(x),x轴及直 o a b x 线x=a,x=b所围成的曲边梯形的面积等于 以区间a,b为底，某一函数值f(x)为高的 矩形面积. 图6.2-1 微积分教案 NO. 8 6.3 微积分基本定理 一、引例 做直线运动的物体的位置函数为S=S(t),速度函数为v=v(t)=S(t) b 物体从t=a到t=b这段时间所经过的距离为v(t)dt. a v(t)dt=S(b)-S(
12、a) ab说明， v(t)dt，等于v(t)的原函数在区间a,b的增量 ab问题：是不是普遍规律？ 二、积分上限函数 1定义：设f(t)在区间a,b上连续，则f(t)在区间a,xx为a,b上任意一点，也连续，故定积分f(t)dt存在.于是,xa,b,有唯一确定的数f(t)dt与aaxx之对应，所以在a,b上定义了一个函数，记作F(x): F(x)=xaf(t)dt y我们把式定义的函数称为积分上限的函数. F(x)2性质： 如果函数f(x)在区间a,b上连续，则积分上O a x b 限的函数F(x)=是 F(x)=ddxxaf(t)dt在a,b上可导，并且它的导数x图6.3-1 xaf(t)d
13、t=f(x) . 证 设自变量x有增量Dx，使x+Dxa,b，则函数F(x)具有增量 DF=F(x+Dx)-F(x)= =x+Dxaf(t)dt-xaf(t)dt xaf(t)dt+x+Dxxf(t)dt-xaf(t)dt=x+Dxxf(t)dt. 微积分教案 NO. 9 利用积分中值定理，则有DF=f(x)Dx，x介于x与x+Dx之间. 于是,有 DFDx=f(x)(x介于x与x+Dx之间), 由于f(x)在a,b上连续，且当 Dx0时，xx，有 limDx0DFDx=limf(x)=f(x). xx 三、牛顿莱布尼兹公式 定理3 如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间a,b上的一个原数，
14、则 f(x)dx=F(b)-F(a) . ab 证 已知F(x)是f(x)的一个原函数，积分上限的函数F(x)=xaf(t)dt 也是f(x)的一个原函数，于是这两个原函数之差F(x)-f(x)在a,b上必定是某一常数C:F(x)-F(x)=C(axb), 在上式中,令x=a,则 F(a)-F(a)=C， 又 F(a)=xaaf(t)dt=0，因此 C=F(a),代入(6)式,有 f(t)dt=F(x)-F(a)a,在上式中令babx=b，即得 babf(x)dx=F(b)-F(a). f(x)dx=F(x)或f(x)dx=F(x)|a baa 例1 计算定积分sinxdx. ab 解 sin
15、xdx=-cosxa=cosa-cosb. bba 例2 计算 解 31311+x2dx. 3111+x31dx=arctanx|12=arctan3-arctan1=p3-p4=p12. 例3 计算x-2dx. 解 要去掉绝对值符号，必须分区间积分，显然点x=2为区间的分界点, 微积分教案 3x-2dx1=21x-2dx+3x-2dx2 =231(2-x)dx+2(x-2)dx =1232122x-x2+x-2x=112. 2例4计算2f(x)dx ，其中f(x)=x2,(0x1),0x-1,(1xa，如果极限 limb+baf(x)dx存在，则称此极限值为函数f(x)在无穷区间a,+)上的
16、广义积+分,记作 af(x)dx，即 +af(x)dx=limb+baf(x)dx. +这时也称广义积分af(x)dx收敛.反之，则称广义积分af(x)dx发散. 同样，可以定义f(x)在(-,b,(-,+)上的广义积分. 2 同理， 设f(x)在区间(-,b上连续,取a0) 的收敛性. +dxxpax=1-pa1-pa1-p,(p1), =p-1+,(p1时收敛于a1-pp-1,当p1时发散. 二、无界函数的广义积分 1瑕点：若x0是函数f(x)的无穷间断点,即limf(x)=,则x0是f(x)的瑕xx0微积分教案 NO. 18 点. 2定义 设函数f(x)在区间(a,b上连续，且a为瑕点.
17、取h0，如果极限 limbf(x)dx存在，则称此极限值为无界函数f(x)在a,b上的广义积分或瑕h0+a+h积分，记作bf(x)dx，即 bf(x)dx(x)dx. a=limah0+ba+hf也称广义积分bf(x)dx收敛.若上述极限不存在，则称广义积分bf(x)dxaa发散. 3当b为瑕点或c(a,b)为瑕点时，可类似地定义f(x)在a,b上的瑕积分: bf(x)dxa=limb-hf(x)dx. h0+a bf(x)cbadx=af(x)dx+cf(x)dx =limc-hf(x)dx+limx)dx. h0+ad0+bf(c+d 当f(x)在a,b内有两个以上瑕点时，也可类似地定义瑕
18、积分。 例5 计算1lnxdx0. 解 因为limlnx=-，所以点x=0是瑕点. x0+ 1lnxdx=limxdx=lim10h0+1hlnh0+xlnx-xh =lim-1-hlnh+h=-1 h0+ 例6 计算2dxx-1. 0 解 因为 lim1x-1=，所以点x=1是瑕点， x1 分别考察下列两个广义积分: 1dxx和0-12dxx-1. 1 1dx=lim1-h0x-1h0+1-hdx0x-1=lim+lnx-1=lim=. h00h0+(lnh-ln1) 所以广义积分2dxx-1发散. 1微积分教案 例7 讨论广义积分bdx的敛散性. a(x-a)q 解 显然点x=a是瑕点，当q1时， bdxbdx(x-a)1-qba(x-a)q=limh0+a+h(x-a)q=lim0+h1-qa+h (b-a)1-q =lim1(1-q-h1-q=h0+1-qb-a)1-q(q1). 当q=1时， bdx=a(x-a)qbdxax-a=lim-a)bh0+bdxa+hx-a=limh0+ln(xa+h =limln(b-a)-lnh=+. h0+ 因此，广义积分bdx，当q1时收敛；当q1时发散. a(x-a)q 同样可得，广义积分bdxq1时收敛，当q1时发散. a(b-x)q，当三、G- 函数
