定积分的证明题.docx

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1、定积分的证明题 题目1证明题 容易 证明ddx(x-t)f(t)dt=axf(x)-f(a) 。解答_ (x-t)f(t)dtaxx=(x-t)df(t)axx=(x-t)f(t)+f(t)dtaa=(a-x)f(a)+f(t)dtaxdx(x-t)f(t)dtdxa=-f(a)+f(x) =f(x)-f(a)。=p题目2证明题 容易 利用积分中值定理证明:lim4sinnxdx=0 。n00解答_ 由积分中值定理,在0,上存在点x,使4pplim4sinnxdx=limsinnx (n0np-0) (x 0,44p =Q0sinx1limsinnx=0n0p4limsinnxn0plim4s

2、innxdx=0 。n00b题目3证明题 一般 设函数f(x)在a,b内可导，且f(a)=0，f(x)dx=0a 证明：在a,b内至少存在一点x 使f(x )=0。解答_ 由积分中值定理，在(a,b)存在一点x 1，使 f(x)dx=f(x 1)(b-a)=0abf(x 1)=0在区间a，x 1上,应用罗尔定理，可知存在一点x (a，x 1)(a,b)使f(x )=0。题目4证明题 一般 设f(x)=f(x+a)，证明：当n为正整数时 na 0f(x)dx=nf(x)dx 。 0 a解答_ 证明： na 0f(x)dx=f(x)dx+ 0 a a 2a af(x)dx+L a na (n-1)

3、af(x)dx a f(x)=f(x+a) 2a a 3af(x)dx x=y+a f(y+a)dy=f(y)dy=f(x)dx 0 0 0 2a af(x)dx x=y+2a f(y+2a)dy=f(y+a)dy 0 0 a 0 a a =f(y)dy=f(x)dx 0 na( n-1)a af(x)dx x=y+(n-1)a f(y+(n-1)a)dy 0 a =f(y)dy 0 f(x)dx 0 a 1 na 0f(x)dx=nf(x)dx。 0 a题目5证明题 一般 证明：x(1-x)dx=xn(1-x)mdx 。 0 0 解答_ 证:令x=1-t 则dx=-dt且x=0 时,t=1m

4、n 1 x=1 时,t=0 xm(1-x)ndx 0 1 =(1-t)mtn(-dt) 1 0 =tn(1-t)mdt 0 1 =xn(1-x)mdx。 0 1题目6证明题 一般 设f(x)在a,b上有定义,且对a,b上任意两点x,y,有f(x)-f(y)x-y. 则f(x)在a,b上可积,且baf(x)dx-(b-a)f(a)1(b-a)2。2解答_ 证明:x(a,b)因为Dy=f(x+Dx)-f(x)Dx Dlimx0Dy=0 f(x)在a,b上连续,于是f(x)在a,b上可积. 又由题设知f(x)-f(a)x-a(xa) 即f(a)-(x-a)f(x)f(a)+(x-a) 由定积分的不等

5、性质,有 baf(a)-(x-a)dx baf(x)dxb(b-a)2 af(a)+(x-a)dx -2 baf(x)dx-(b-a)f(a) (b-a)22b1 af(x)dx-(b-a)f(a)2(b-a)2。 题目7证明题 一般 设 f(x)在a,b上的连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.证明: 4ba(x)dxM(b-a)2,其中M=supf(x) 。faxb解答_ 证明:由假设并利用微分中值定理,有 f(x)=f(x)-f(a)=(x-a)f(x 1 ) x 1(a,x) f(x)=f(x)-f(b)=(x-b)f(x 2 ) x 2(x,b) 又由M=supf(x)

6、故f(x ax0F(a)=-f(t)dt0 a b由根的存在性定理，存在一点x (a,b)使F(x )=0即f(t)dt=f(t)dt a x x b又Qf(t)dt=f(x)dx+f(x)dx a a x b x b=f(x)dx+f(x)dx a x x b=2f(x)dx a x 从而原式成立。p题目9证明题 一般 p证明： 02sin0n+1xdx0，由性质，有20sinn+1xdx0又已知函数sinnx-sinn+1x=sinnx(1-sinx)在0,连续非负，2且$x00,使sinnx0-sinn+1x0=sinnx0(1-sinx0)0，由性质，有2pppn0pp20(sinx-

7、sinpnn+1x)dx=2sinxdx-2sinn+1xdx00p020sinn+1xdx20sinnxdx题目10证明题 一般 11dxp求证：x34-x2-x304-x2-x34-x211124-x2+x34-x2111 dx=0221dxp =04-x2611dxp0)。 0 02 解答_ 1证:令x2=t，则xdx=dt，且x=0 时，t=02 x=a时，t=a2 x3f(x2)dx 0 a1 =tf(t)dt 021 a2 =tf(t)dt2 01 a2 =xf(x)dx。2 0 题目13证明题 一般 设函数f(x)和g(x)在a,b上连续, a2bbb证明: f(x)g(x)dx

8、2f2(x)dxg2(x)dx 。aaa 解答_ 考虑以t为参数的定积分baf(x)-tg(x)2dx显然f(x)-tg(x)20.并由题设知它在a,b上连续,故有 baf(x)-tg(x)2dx0即t2bg2(x)dx-2tbbaaf(x)g(x)dx+af2(x)dx0不等式左端是关于t的二次三项式,且对任意t,此二次式均非负. 所以其判别式D0即 bf(x)g(x)dx2-bf2(x)dxbaaag2(x)dx0b f(x)g(x)dx2bf2(x)dxbaaag2(x)dx。题目14证明题 一般 设 f(x) 在 0,1 上连续，p2证明：f(sin2j)cosj dj = p4 0

9、0f(sin2j)(cosj +sinj )dj 解答_ 左式= p2 0f(sin2j)cosj dj = p4f(sin2j)cosj dj + p 0p2f(sin2j)cosj dj 4在第二个积分中，令j =p2-t，则2j =p-2t，dj =-dt p p2f(sin2j)cosj dj 4= 0p pf(sin(p-2t)cos(42-t) d(-t) = p4 0f(sin2t)sintdt p=4 0f(sin2j)sinj dj 左式= p4f(sin2j)cosj dj + p4 0 0f(sin2j)sinj dj = p4 0f(sin2j)(cosj +sinj)

10、dj =右式。题目15证明题 一般 设f(x)在a,b上可导,且f(x)M,f(a)=0,证明:bMaf(x)dx2(b-a)2。 解答_ 。证明:由假设可知,x(a,b)f(x)在a,x上满足 微分中值定理,则 f(x)=f(x)-f(a) =f(x)(x-a) x(a,x) 又Qf(x)M, x(a,b) f(x)M(x-a) 由定积分的比较定理,有bb f(x)dxM(x-a)dx=aaM(b-a)2。2题目16证明题 一般 设 f(x) 在 0,2a， (a0) 上连续，证明：f(x)dx=f(x)+f(2a-x)dx 。 0 0 2a a解答_ 由于 2a 0f(x)dx=f(x)d

11、x+ 0 a a a 2a af(x)dx令x=2a-t，则dx=-dt 2a 0f(x) dx=f(x) dx+f(2a-t) dt 0 0 a 0 =f(x)+f(2a-x) dx。设k为正整数，证明：(1)cos2kxdx=p ； -p p p题目17证明题 一般 (2)sin2kxdx=p 。 -p解答_ (1)cos2kxdx -p p1+cos2kxdx -p2 p11=x+sin2kx -p24k= p=(+0)-(-+0)22=p。(2)sin2kxdx -p ppp1-cos2kxdx -p2 p11=x-sin2kx -p24k= p=(-0)-(-0)22 =p。pp题目

12、18证明题 一般 设f(x)在0,1上有一阶连续导数.且f(1)-f(0)=1.试证:f(x)dx1。012解答_ 证明:Qf(x)-12=f(x)2-2f(x)+10 f(x)22f(x)-1 f(x)2dx2f(x)dx-dx0001111 =2f(x)-10 =2f(1)-f(0)-1= 1。 题目19证明题 一般 若m为正整数，12cos证明：xsinxdx= 02m 解答_ mmp2 0pcosmxdx 。2 0pcosmxsinmxdx1=m2令x=2 0psinm(2x)dx1p(t+)，则22p1 2p左式=m+1psinm(t+)dt -222 =12m+1pcos2 -2p

13、mtdt1 2 =mcosmtdt2 0p1 2 =mcosmxdx20=右式。 题目20证明题 一般 若函数 f(x) 在区间 a,b 上连续，p则f(x)dx=(b-a)fa+(b-a)xdx 。 a a b b解答_ 作代换x=a+(b-a)t,则dx=(b-a)dt且x=b时t=1x=a时t=0f(x)dx a b=fa+(b-a)t(b-a)dt 0 11 1=fa+(b-a)tdtb-a 011=fa+(b-a)xdx。 0b-a 题目21证明题 一般 设函数 f(x) 在 0,1 上连续,证明：2f(cosx)dx= 0p1 2pf(cosx)dx 。 04 解答_ 证:显然f(

14、cosx)是以p为周期的函数 2p 0 pf(cosx)dx=2f(cosx)dx 0=22f(cosx)dx+pf(cosx)dx 0 2p p在后一积分中,令x=p-t则p p2f(cosx)dx 02=-pf(cos(p-t)dt=f(cost)dt=2f(cosx)dx2 0 0pp 2p 0f(cosx)dxpp=22f(cosx)dx+2f(cosx)dx 0 0=42f(cosx)dx 0p得证2f(cosx)dx= 0p1 2pf(cosx)dx。4 0 x题目22证明题 一般 若函数f(x)在R连续，且f(x)=f(t)dt，则f(x)0 。 a解答_ f(x)在R连续f(x

15、)在R可导且xR有f(x)=(f(t)dt)1=f(x) a xf(x)-f(x)=0考虑函数p(x)=f(x)e-x.xRp(x)=f(x)e-x-f(x)e-x=f(x)-f(x)e-x=0p(x)=c(常数)c=f(x)e-x f(x)=cex已知f(a)=f(t)dt=0 a af(a)=cex=0c=0xR。 f(x)=0 题目23证明题 一般 设 f(x)是以p 为周期的连续函数，证明：(sinx+x)f(x)dx=(2x+p)f(x)dx 。 0 0 2p p解答_ 证明：由于 (sinx+x)f(x)dx 0 2p =(sinx+x)f(x)dx+(sint+t)f(t)dt

16、0 p p 2p 令t=p+x，则 (sint+t)f(t)dt p 2p =(sin(p+x)+p+xf(p+x)dx 0 p =(x+p-sinx)f(x)dx 0 p (sinx+x)f(x)dx 0 2p =(sinx+x)f(x)dx+(x+p-sinx)f(x)dx 0 0 p p =(2x+p)f(x)dx。 0 p题目24证明题 一般 设f(x)在 0,1 上连续且单调递减,试证明:对于任何q0,1,都有不等式 q 0f(x)dxqf(x)dx成立。0 1解答_ 令x=qt,则dx=qdt,从而 q 0f(x)dx=f(qt)qdt=qf(qt)dt 0 0 11由于q1,即q

17、tt又f(x)单调递减,故f(qt)f(t)f(qt)dtf(t)dt 0 0 1 1f(x)dx=qf(qt)dtqf(t)dt。 0 00 q 1 1题目25证明题 一般 设f(x)在a,b上单调增加.且f(x)0.证明:(b-a)f(a)f(x)dxa 时f(x)f(a) f(x)dx(b-a)f(a)ab ta,b.f(t)在x点处的展式为1 f(t)=f(x)+f(x)(t-x)+f(x )(t-x)2 2! ( x 在t与x之间) 又因f(x )0.故 f(t)f(x)+f(x)(t-x) 将t=b,t=a分别代入上式,并相加,有 f(b)+f(a)2f(x)+(a+b)f(x)-

18、2xf(x) f(b)+f(a)dx2f(x)dx+(a+b)f(x)dx-2xf(x)dxaaaabbbb 2f(b)+f(a)(b-a)4f(x)dxab f(x)dxabf(a)+f(b)(b-a)。2题目26证明题 一般 设函数f(x)在a，b上连续且单调递增。x1 F(x)=f(t)dt ， (axb)x-aa F(a)=f(a)， 证明：F(x)在a,b上单调增.。解答_ 证明：对a,b内的每个x，由积分中值定理1x1 F(x)=f(t)dt=f(x )(x-a)=f(x ) (ax x)x-aax-a 当xa+时，x a+ lim+F(x)=lim+f(x )=f(a)=F(a)

19、xaxa F(x)在点a连续.从而F(x)在a,b上连续，则xf(x)1 F(x)=-f(t)dtx-a(x-a)2af(x)1 =-f(x )(x-a)2x-a(x-a)f(x)-f(x ) = axbx-a Qf(x)单调增.且x 满足ax x，故f(x )0， (axb) F(x)在a,b上单调增。题目27证明题 一般 设f(x)在a,b上二阶可导且f(x)0,ba+b证明: f(x)dx(b-a)f 。a2 解答_ a+b处展开,有2a+ba+ba+b1a+b2f(x)=f+f(x-)+f(x )(x-)2222!2a+b(x 介于x与之间.)2由题设知f(x )0a+ba+ba+bf

20、(x)f+f(x-)222ba+b11a+ba+b2baf(x)dx(b-a)f(2)+2f(2)(x-2)ax(a,b)将 f(x)在=(b-a)f(a+b)。2题目28证明题 一般 设f(x)在 a,b 上连续，在 a,b 可导，且f(x)0，证明函数f(t) ax-adt。 在 (a,b) 内满足F(x)0 F(x)= x解答_ (x-a)(x-a)f(x)-(x-a)f(x ) = x a,x(x-a)2f(x)-f(x ) =(x-a)由已知.x(a,b)时，f(x)0F(x)0 x(a,b)。F(x)=(x-a)f(x)-f(t)dt a2 x题目29证明题 一般 试证：如果f(x

21、)在a,b上连续，且对于一切xa,b，f(x)0同时至少存在一点x a,b，使f(x )0，则f(x)dx0 。 a b解答_ 证明: 由f(x)在x 点连续，且f(x )0，x a,b 则存在d 0，当x(x -d ,x +d )时，有 f(x)0 于是 f(x)dxabbx +d x -d f(x )dx =2d f(x )0 f(x)dx0。a题目30证明题 一般 试证f(c-x)dx= a b c-a c-bf(x)dx 。解答_ 令t=c-x则x=c-t,dx=-dt且x=a时,t=c-ax=b时,t=c-bf(c-x)dx a b= c-bc-af(t)(-dt)f(t)dt=-

22、c-b c-a= c-a c-bf(x)dx。题目31证明题 一般 设函数f(x)在0,1上可微，且满足等式： f(1)-2xf(x)dx=0试证在(0,1)内至少存在一点x ，使f(x )=- 120f(x )。x 解答_ 由于f(1)-2xf(x)dx=01则由积分中值定理,有x 10,使21f(1)-2x 1f(x 1)=0成立,即f(1)-x 1f(x 1)=02令F(x)=xf(x), 则F(x 1)=F(1);对函数F(x)在x 1,1上用罗尔定理,有F(x )=0, x (x 1,1)(0,1)即x f(x)+f(x ) =0, x(0,1)f(x )=- 120f(x ) x(

23、0,1)。x 题目32证明题 一般 设f(x)在a,b上连续,并且对于每一个在a,b上的连续函数g(x).都有g(x)f(x)dx=0ab(axb)。 证明: f(x)=0 解答_ 证明:若不然,设有x0(a,b),使f(x0)0. 不妨设f(x0)0.由于f(x)在x0处f(x0).存在d 0.2 当x-x0d 时,即在区间(x0-d ,x0+ d )内,有 连续,故对e 0= f(x)-f(x0)f(x0).2f(x0)02 构造连续函数g(x)如下: xa,x0-d U(x0+ d ,b0 g(x)= x(x0-d .x0+ d )h(x) 其中h(x)0.x(x0-d .x0+ d )

24、且 lim+h(x)=x(x0-d)bax(x0+d)-limh(x)=0 g(x)f(x)dxf(x0)x0+ d h(x)dx0x0-d 2x0-d 这与题设矛盾故f(x)0 axb。 题目33证明题 难 设函数f(x)在a,b上有连续导数 f(x，且 f(a)=0，2 bb-a b则f(x)f(x) dxf(x)dx。 a a2 =x0+ d h(x)f(x)dx解答_ 令F(x)=f(t)dt axbax则F(x) =f(t)xaf(t)dtax =f(x)-f(a) =f(x)2f(x)f(x) dx2F(x)F(x) dx=F2(b) a a b b由柯西不等式，有F(b)=(F(

25、x)dx)2 dxF(x)2dx a a a2 b b b =(b-a)f(x)2dx a2b-a bf(x)f(x)dxf(x)dx。 a a2 题目34证明题 难 b b设f(x)在a,b上二阶连续可微，其中a0b，则在该区间上必存在一个x ，使baf(x)dx=bf(b)-af(a)-12bf(b)-a2f(a)2! +13(b-a3)f(x 0) 。3!解答_ 令F(x)=f(t)dt，则F(a)=0，F(x)=f(x)axF(x)=f(x).F(x)=f(x)将F(x)在x=t (atb)处展成二阶Taylor公式，有11F(x)=F(t)=F(t)(x-t)+F(t)(x-t)2+

26、F(x )(x-t)32!31+(b3-a3)f(x 0) x (x,t)3!令x=0，分别将t=a，t=b代入上式，并相减，有0=F(a)-F(b)+bf(b)-af(a)+13bf(x2 )-a3f(x 1)3!其中x 1 (a,0) x 2 (0,b) +f(x)dx=bf(b)-af(a)-ab12af(a)-b2f(b)2!令m=minf(x 1),f(x 2)M=maxf(x 1),f(x 2)121bf(b)-a2f(a)+(b3f(x 2)-a3f(x 1) 2!3!m(b3-a3)b3f(x 2)-a3f(x 1)M(b3-a2)由于f(x)在a,b连续，于是存在x 0使b3

27、f(x 2)-a3f(x 1)=f(x 0)33b-a于是 b3f(x 2)-a3f(x 1)=(b3-a3)f(x 0)f(x)dx=bf(b)-af(a)-ab12bf(b)-a2f(a)2!+13(b-a3)f(x 0)。3!题目35证明题 难 若f(x)关于x=T 对称，且aT0，又F(x)=f(t) dt+ a b1dtf(t) 证明：F(x)=0在 a,b 内有且仅有一个实根。解答_ F(x)=f(t) dt1+ a x x b1dt1f(t)1f2(x)+1 =f(x)+=f(x)f(x)f(x)0(f(x)-1)2=f2(x)-2f(x)+10f2(x)+12f(x)f2(x)+120，从而F(x)在 a,b 上严格单调增加。f(x) a a1 bdtF(a)=f(t) dt+dt=-0 a bf(t) af(t)由连续函数的根的存在性定理知F(x)=0，在a,b内有且仅有一个实根。 题目39证明题 难 证明:当 a1 时,有 a 1解答_ aa21a21f(x+2)dx=f(x+)dx 。 1xxxx 2证明:令x2=t，则dt=2xdx，dx= a212tdta21 左式=f(x+2)dx 1xx a2a21 =f(t+)dt 1 tt2t a2a21 =f(t+)dt 1t2t1 aa2dt1 a2a2dt =f(t+)+f(t+)2 1tt2 at