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1、实变函数论主要知识点实变函数论主要知识点 第一章 集 合 1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan公式；上极限和下极限； 练习： 证明(A-B)-C=A-(BUC)； 证明Efa=UEfa+； n=11n2、 对等与基数的定义及性质； 练习： 证明(0,1):； 证明(0,1):0,1； 3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数； 练习： 证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个； 证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； Q= ； 0,1中有理数集E的相关结论； 4、 不可数集合、连续基数的定义及性质； 练习： (
2、0,1)= ； P= ； 第二章 点 集 1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念 度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。 n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间，若V上定义着正定对称双线性型g，则V称为内积空间或欧几里德空间。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系： g(x,y)=g(y,x)； g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)； g(kx,y)=kg(x,y)； g(x,x)=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。 这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。 2、，聚点、界点、内点的概念、性质及
3、判定；开核，导集，闭包的概念、性质及判定； 聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则 称z为E的聚点。 内点:如果存在点P的某个邻域U(P)E，则称P为E的内点。 3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造； 4、Cantor集的构造和性质； 5、练习： P= ，P= ，P= ； o111,L,L= ； n2第三章 测 度 论 1、 外测度的定义和基本性质； 2、 可测集的定义与性质；可数可加性； 3、 零测度集的例子和性质； 4、 可测集的例子和性质； 练习： mQ= ，mP= ； 零测度集的任何子集仍为零测度集； 有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；
4、 0,1中有理数集E的相关结论； 5、存在不可测集合； 第四章 可 测 函 数 1、可测函数的定义，不可测函数的例子； 练习： 第四章习题3； 2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系； 3、叶果洛夫定理及其逆定理； 练习： 第四章习题7； 4、依测度收敛的定义、简单的证明； 5、具体函数列依测度收敛的验证； 6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子； 第五章 积 分 论 1、非负简单函数L积分的定义； 练习： Direchlet函数在:1上的L积分 2、可测函数L积分的定义；基本性质； 3、Lebesgue控制收敛定理的内容和简单应用； 4、L积分的绝对连续性和可
5、数可加性； 5、Riemann可积的充要条件； 练习： 0,1上的Direchlet函数不是R-可积的； 6、Lebesgue可积的充要条件：若f是可测集合E上的有界函数，则f在E上L-可积f在E上可测； 练习： 0,1上的Direchlet函数是L-可积的； 3x,x为无理数设f(x)= ，则f(x)在0,1上是否R-可积，是否L-可积，10,x为有理数若可积，求出积分值。 例1、求由曲线g=2sinq,g2=cos2q所围图形公共部分的面积 2p解：两曲线的交点2,6,225p 2,6p4p6p1S=2062(2sinqdq+)1cos2qdq 2=p60(1-cos2q)dq+p4p6p6cos2qdq p4p611=q-sin2q+sin2q202=p3-1 -62例2.边长为a和b(ab)的矩形薄片斜置欲液体中,薄片长边a与液面平行位于深为h处,而薄片与液面成a角,已知液体的密度为r,求薄片所受的压力 解:取x为积分变量,变化区间为h,h+bsina从中取x,x+dx知道面积元素dS=a压力元素dP=dx sinaP=h+bsinahdx,则 sinadx1h+bsina1rxa=arxdx=abr(h+bsina) hsinasina2rxa
