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1、GCT数学真题(2003-2013年真题与答案解析)GCT数学2003-2013年真题与答案解析 Page 1 of 89GCT数学2003-2011年真题与答案解析2003年GCT入学资格考试数学基础能力试题（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11。 =（ ）1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11A10 B11 C12 D132记不超过10的素数的算术平均数为M，则与M最接近的整数是（ ）A2 B3 C4 D531 000 m的大道两侧从起点开始每隔10 m各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需要（ ）。A树200棵，花2
2、00盆 B树202棵，花200盆C树202棵，花202盆 D树200棵，花202盆2001200220034已知a=，b=，c=，则（ ）。 2003200420021Aabc Bbca Ccab Dcba5某工厂月产值3月份比2月份增加10%，4月份比3月份减少10%，那么（ ）。1A4月份与2月份产值相等 B4月份比2月份产值增加 9911C4月份比2月份产值减少 D4月份比2月份产值减少 991006函数y=ax2+bx+c（a0）在0，+）上单调增的充分必要条件是（ ）。Aa0且b0 Ba0且b0 Da0且b07函数y1=（a0）与y2=（的图像关于（ ）。 fa+x）fa-x）A直线
3、x-a=0对称Cx轴对称 B直线x+a=0对称 Dy轴对称99100（x+y）（x-y）8已知实数x和y满足条件= -1和=1，则x101+y101的值是（ ）。A-1 B0 C1 D29一批产品的次品率为0.1，逐件检测后放回，在连续三次检测中至少有一件是次品的概率为（ ）。A0.271 B0.243 C0.1 D0.08110A、B、C、D、E五支篮球队相互进行循环赛，现已知A队已赛过4场，B队已赛 GCT数学2003-2011年真题与答案解析 第 2 页 共 89 页过3场，C队已赛过2场，D队已赛过1场，则此时E队已赛过（ ）。A1场 B2场 C3场 D4场11过点P（0，2）作圆x2
4、+y2=1的切线PA、PB，A、B是两个切点，则AB所在直线的方程为（ ）。1111Ax=- By=- Cx= Dy= 222212如图，正方形ABCD的面积为1，E和F分别是AB和BC的中心，则图中阴影部分面积为（ ）。ADEBFC1323 B C D 243513已知两平行平面a，b之间的距离为d（d0），l是平面a ）。 A0条 B1条 C2条 D4条514正圆锥的全面积是侧面积的倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为4（ ）。pppAp B C D 236 A15设点（x0，y0）在圆C：x2+y2=1的 ）。A不相交B有一个交点C有两个交点，且两交点间的距离小于2D有两个交点，且
5、两交点间的距离等于2216设（的极值点的个数是（ ）。 fx）fx）=t（t-1）dt，则（0xD3D（fx0）-d（fx0）17如果函数（在x0处可导，D（=（-（，则极限limfx0+Dx）fx）fx0）fx0）Dx0Dx（ ）。A等于f （x0） B等于1 C等于0 D不存在18甲、乙两人百米赛跑的成绩一样，那么（ ）。A0 B1 C2GCT数学2003-2013年真题与答案解析 Page 3 of 89A甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一样B甲、乙两人每时刻的瞬时速度都不一样C甲、乙两人至少在某时刻的瞬时速度一样D甲、乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样19方程x2=xsinx+cosx的
6、实数根的个数是（ ）。A1个 B2个 C3个20设I=sin。 （cosx）dx，则（ ）0pD4个AI=021 x21行列式BI0 C0I200220032004111得1- 1-1-200220032004故ab0a0必要条件必须满足b，故选C。 b0-02a7【答案】D GCT数学2003-2013年真题与答案解析 Page 5 of 89fxa+）=xa+f和x（a-+x=）a+-fx）=x，【解析】令（有（。得图像如下：所以图像关于y轴对称。 故选D。 8【答案】Ax+y=-1x=0x=-1【解析】由已知可得： 或x-y=1y=-1y=0x 所以x101+y101=-19【答案】A
7、【解析】抽三次正品的概率为0.93=0.729，故至少有一件是次品的概率为1-0.729=0.271。 10【答案】B【解析】由于A队赛4场，故A必须与其他四队都赛； D队已赛1场，D队只与A队赛；B队已赛3场，B队与A、C、E分别赛； C队已赛2场，C队与A、B分别赛。所以E队已赛2场 11【答案】Dx【解析】如右图所示，OA=1，OP=2，AOP=60，OF=11OA=。 2212所以AB所在直线的方程为y= 12【答案】C【解析】因E、F分别为AB、BC的中点，所以DE和DF交AC于M，N等分AC，故1SAMD=SDMN=SDNC（等底等高），SAMD+SDNC=311111= SBEF
8、+S梯形MNEF=+22223112S阴影=+=33313【答案】C【解析】如右图可知，满足条件的有2条直线。 14【答案】B【解析】设正圆锥的底面半径以R，母线长为L，则圆锥侧面积=pRL圆锥全面积=pR2+pRL2dlddb GCT数学2003-2011年真题与答案解析 第 6 页 共 89 页因此RL4=L=4R RL+R25故所求圆心角=15【答案】A 2R2R=，选B。 l4R21（x0，y0）（=，）0在圆内，【解析】令2x0x+y0y=1，可代为x=2，故选A。16【答案】B1111【解析】由f（x）=t（t-1）dt=t4-t3=x4-x3 043043x2xf (x)=x3-
9、 x2= x2(x-1)，令f (x)=0得x=0，x=1。显然x=1是f (x)的极值点；在x=0的邻域内f (x)0，不变号，则x=0不是f (x)的极值点，故选B。17【答案】C【解析】df（x0）=f（x0+Dx）-f（x0）D（fx0）-d（fx0）（fx0+Dx）-（fx0）-（fx0+Dx）-（fx0）=lim=0 Dx0Dx0DxDxlim18【答案】C【解析】甲、乙两人每时刻的瞬时速度可能一样，故A、B均错。甲、乙两人每时刻的瞬时速度有可能一样，有可能不一样，故D错。故选C。19【答案】B 【解析】令y1=x21y2=xsinx+cosxx+arctan x由数形（如图）结合
10、可知交点个数为2个。20【答案】D pp【解析】令t=x-,则cosx=cos(+t)=sint。 22dx=dtI=sin(-sint)dt=-sin（sint)dtp2p-2p2p-2pp因为被积函数f (t)=-sin(sint)在-,上是奇函数。所以I=0，故选D。 2221【答案】A GCT数学2003-2013年真题与答案解析 Page 7 of 892-1xx2x-1【解析】要使行列式11展开式中含x4，则在行列式中，各不同的行、列都0x20x0-1-x有x，即（2x、x、x、x）=2x4（即对角线上都为x），故选A。22【答案】D【解析】1-1（-1）211+（-1）310+（
11、-1）1AB=20110=11+21+0221+0231320+013131+1231+1330+11-1-2-1=220561BA=1101-1（-1）+10+0123120=11+12+0313-13121+32+132（-1）+30+11=11-1-1-2-1|AB|=220=-12-（-2）2+（-1）2=-4+4=0561|BA|=3-1-1=-3+11=812（-1）12+2013+21-12BTAT=13123=11+211+3（-1）1=-2212+3013+31-100101+1（-1）02+1003+11-1023【答案】An（rA）为满秩【解析】r（A*）=1（rA）=n
12、-10（rA）n-2因r（A*）=0，r（A）4-2=2，故选A。24【答案】A 56 1 GCT数学2003-2011年真题与答案解析 第 8 页 共 89 页a11a12a13La1nx1aa22a23La2nx221=0 解 由AX=0，得MMam1am2am3Lamnxn即a11x1+a12x2+a1nxn=0因此，A的列向量线性无关，即x1=x2=xn=025【答案】DM=l1a1故选D。 1-10l2a2 l3a3= 2000000 1【解析】 GCT数学2003-2013年真题与答案解析 Page 9 of 892004年GCT入学资格考试数学基础能力试题（25题，每题4分，满分
13、100分，考试时间45分钟）1在一条长3 600 m的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔40 m原已挖好一个坑。现改为每隔60 m立一根电线杆，则需要重新挖坑和填坑的个数分别是（ ）。A50和40 B40和50 C60和30 D30和602某校有若干女生住校，若每间房住4人，则还剩20人未住下，若每间住8人，则仅有一间未满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ ）。A4 B5 C6 D73甲、乙两种茶叶以x:y（重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤50元，乙种每斤40元，现甲种茶价格上涨10%，乙种茶价格下降10%后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则x:y等于（ ）。A1:1 B5:4 C4
14、:5 D5:6n-14设Sn=1-2+3-4+L+（ ）。 （-1）n，则S2004+S2005=A2 B1 C0 D-15在一条公路上，汽车A，B，C分别以80、70、50 km/h的速度匀速行驶，汽车A从甲站开向乙站，同时车B，车C从乙站出发与车A相向而行开往甲站，途中车A与车B相遇2h后再与车C相遇，那么甲、乙两站相距（ ）。A2 010 km B2 005 km C1 690 km D1 950 km6已知ab1，且满足2a2+2008a+3=0和3b2+2008b+2=0，则（ ）。A3a-2b=0 B2a-3b=0 C3a+2b=07实数a，b，c在数轴上的位置如下图所示 D2a+
15、3b=0 图中O为原点，则代数式a+b-b-a+a-c+c=（ ）。B-a-ab-2c Ca-2b D3acab8设a，b，c均为正数，若，则（ ）。 a+bb+cc+aAcab Bbca Cabc Dcba9argz表示z的幅角，今有a=arg，b=arg，则sin=（ ）。 （-1+2i）（2+i）（a+b）4343A- B- C D 555510将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概率是（ ）。3535A B C D 56562828A-3a+2cGCT数学2003-2011年真题与答案解析 第 10 页 共 89 页11如图，直角ABC中，C为直角
16、，点E和D，F分别在直角边AC和斜边AB上，且AF=FE=ED=DC=CB，则A=（ ）。BFAC B C D 89101112如图，长方形ABCD由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH构成，若长方形ABCD的面积为A，则正方形EFGH的面积为（ ）。 ADHCFGAAAAA B C D 101214813ABC中，AB=5，AC=3，A=x，该三角形BC边上的中线长是x的函数y=（，fx）则当x在（0，p）中变化时，函数（的取值的范围是（ ）。 fx）A（0，5） B（1，4） C（3，4） D（2，5）14直线l与直线2x-y=1关于直线x+y=0对称，则直线l的方程是（ ）。Ax-2y
17、=1 Bx+2y=1 C2x+y=1 D2x-y=1 B A15在圆心为O，半径为15的圆 ）。A14条 B24条 C12条 D11条1的值为16如图，（、g是两个逐段线性的连续函数，设（，ufx）（x）ux）=（fgx）（）（ ）。 GCT数学2003-2013年真题与答案解析 Page 11 of 89A3 4B-3 4C-1 12D1 1217过点作曲线y=sinx的切线，设该曲线与切线及y轴所围成的面积为A1，（p,sinp）曲线与直线x=p及x轴所围成的面积为A2，则（ ）。Alim+p0A21A21= Blim+=p0AA1+A2321+A2Clim+p0A22A2= Dlim+=
18、1p0A1+A23A1+A218如下不等式成立的是（ ）。A在（-3，0）区间上，ln3-xln +）（3+x）0B在（-3，0）区间上，ln3-xln （3+x）D在 0，区间上，ln3-x0）与x轴所构成的区域面积分为AA与AB两部分，则（ ）。x AAAABa11a12a22a32a13a33 BAA=ABDAA与AB的大小关系与b的数值有关 -2a11-2a31-2a12-2a22-2a32-2a13-2a23=（ ）。 -2a3321设a21a31a23=M0，则行列式-2a21A8M B2M C-2M D-8M22若向量a，b，l 线性无关，而向量a+2b，2b+kl，3l+a 线
19、性相关，则k=（ ）。 A3 B2 C-2 D-3 100110，B=122，-1-1020C=AB23设A=，则矩阵中，第3行第2列的元素C003013是（ ）。131A B C1 D223 GCT数学2003-2011年真题与答案解析 第 12 页 共 89 页1-22，三阶矩阵24设矩阵A=。 -26xB0，且满足AB=0，则（ ）30-6Ax=-8，（rB）=1Cx=8，（rB）=1 Bx=-8，（rB）=2 Dx=8，（rB）=210025下列矩阵中，与对角矩阵010相似的矩阵是（00210110101A0211B021 C010001001002。 D110010002 ） GCT
20、数学2003-2013年真题与答案解析 Page 13 of 892004年GCT入学资格考试数学基础能力试题参考答案与解析1【答案】D【解析】每隔40 m挖坑的数为：3 600 40+1=91每隔60 m挖坑的数量为：3 600 60+1=61由于40与60的最小公倍数为120，可知挖重叠的坑的数量为：3 600 120+1=31 因此需要重新挖坑的数量为：61-31=30填坑的数量为：91-31=60故选D。2【答案】C【解析】设该校有女生宿舍x间，则有4x+208（x-1）5x 7 x=6 4x+208x3【答案】C【解析】价格变化前成品价格为50x+40y元 x+y50（1+10%）x
21、+40（1-10%）y价格变化时成品价格可表示为元 x+y50x+40y55x+36y浮动前后成品价格保持不变 =x+yx+y解得5x=4y，得x:y=4:54【答案】Bn-（n为偶数） 2n-1 【解析】Sn=1-2+3-4+（-1）n=n-1n-1-+（-1）n（n为奇数） 2S2 004= -1 0022005-12004+（-1）2005=-1002+2005=1003 2因此S2004+S2005=-1002+1003=1 S2 005=-5【答案】D 【解析】设A，B相遇时所用时间为th，则A，C相遇所用时间（t+2）h， 有（70+80）t=（80+50）（t+2）t=13h，因
22、此甲、乙两站距离为（70+80）13=1 950 km 6【答案】B 【解析】 2a2+2 008a+3=04a2+2 0082a+6=0 GCT数学2003-2011年真题与答案解析 第 14 页 共 89 页3b2+2 008b+2=09b2+2 0083b+6=0式-得（2a-3b）（2a+3b）+2 008（2a-3b）=0（2a-3b）（2a+3b+2 008）=02a-3b=0或2a+3b+2 008=07【答案】A【解析】由图可知ba0，因此a+b0，b-a0，a-c0故有|a+b|-|b-a|+|a-c|+c= -a-b+b-a-（a-c）+c= -3a+2c8【答案】A cb
23、cbaa【解析】+1+1+1 a+bb+cc+aa+bc+ab+ca+b+ca+b+ca+b+cb+ca+c，bac9【答案】D【解析】依题意可知：sinb=sina=cosa=cosb= sin（a+b）=sinacosb+cosasinb=3= 510【答案】C5【解析】3个空格相连的放法有C56=6种，又总的放法有C8=56种（由于是相同的球，635故不是A8），故3个空格相连的概率为。 =562811【答案】C【解析】AF=FE=ED=CBA=FEA，EFB=EDA，DCE=DEC，B=CDB 由三角形性质知：EFB=2A EFB+A=CEDCED=3A p-CED=p-2B p2pA
24、= 又因C=2，知 10A+Bp 212【答案】C【解析】设AB=a，BC=b，则S=ab由ADE，AHB，EFC和BGC都是等腰直角三角形，知2HE=AE-AH=HG=HB-BG- |AH|=2AE=BG= GCT数学2003-2013年真题与答案解析 Page 15 of 893，即有a =b 2又因四边形EFGH 13【答案】B【解析】如右图可知AABC=32A=ab=b2b2=S 231112S22A正方形EFGH=HG=a-b）=b2=S= 288312115ABACsin（a+b）=sinx 2215AABD=ABADsina=ysina 2213AADC=ACADsinb=ysi
25、nb 22AbCDBAABC=AABD+AADC5ysina+3ysinb=15sinx在ACD和ABD中由余弦定理得：BD=AB+AD-2ABADcosa=52+y2-25ycosa 222DC=AC+AD-2ACADcosb=32+y2-23ycosb 222因D是BC的中线，故 5ycosa-3ycosb=8 由式2+2整理得34y2-30y2cos（a+b）=225sin2x +64（a+b =x）（15cos x-y2）2=（17-y2）22y2=17-15cos x由x(0,p)，知1y216即1y414【答案】A【解析】因为直线x+y=0是二、四象限角平分线，所以已知直线上的点P
26、1（0，-1）关11于直线x= -y的对称点Q（1，0），点P2（，0）关于直线x+y=0的对称点R（0，-），22yx1Q（1，0），R（0，-）所在直线方程为+=1，即x-2y=1。 12-215【答案】B【解析】最长的弦长是直径，OP垂直于所求直线时，弦长为最短。最短的弦长为lmin=18，最长的弦长lmax=215=30。因此18l30，l可取13个整数，其中最小弦长和最大弦长各对应一条弦，其余11个整数每个对应两条弦，共有24条。故选B。16【答案】A GCT数学2003-2011年真题与答案解析 第 16 页 共 89 页2x（0x2） fx）=1【解析】由图知（9-x+42（x2
27、） -3x+6（0x2） （gx）=24x-3（x2） 3 4时，2g（x）6 31934（ux）=f（gx）+=x+3（0x） =-3x+6）42433故u（1）=417【答案】Dp2sinp-pcosp【解析】A1=p-sinxdx02当0xA2=sinxdx=1+cosppp0plim+A2=1A1+A2p18【答案】B【解析】x0x+33lnln3lnln3-x （3+x）（3+x）当-3x3+x，ln3ln，ln3-xln，故选B （3+x）（3+x）19【答案】C 【解析】因（xsinx）=sinx+xcosx，而（sinx+xcosx）dx=xsinx0=00pp故（fxsinx
28、）sinxdx+（fxsinx）xcosxdx=0 0pp0p（fxsinx）xcosxdx=-120【答案】B【解析】如图所示：有交点y=1）x2=（xb-x）得x=0 AB=A1+A 2 A1= ）xdx23=x GCT数学2003-2013年真题与答案解析 Page 17 of 89A2=1（xb-x）dx=bx221-x3313113=b（1-）-b（1 223=（所以1111b3=）b3 -+12243AB=13b 12b111AA+AB=（xb-x）dx=b3-b3=b3 0236所以AA=AB，故选B。21【答案】D -2a11-2a12-2a13-2a33a11a12a13a2
29、3=-8M a33【解析】-2a21-2a22-2a31-2a323-2a23=（-2）a21a22a31a32故选D。22【答案】D【解析】设x1（a+2b）+x2（2b+kl）+x3（3l+a）= 0（x1+x3）a +（2x1+2x2）b +（kx2+3x3）l=0x1+x3=0由a，b，l线性无关，知2x1+2x2=0k=-3kx+3x=03223【答案】B由C=AB-1所以C-1=(AB-1) -1=BA-11100-1又A=020，则A=000301110-1-1C=BA=122001300120012000 1302. 3111020=1111032GCT数学2003-2011年
30、真题与答案解析 第 18 页 共 89 页故选B。24【答案】Aa1a2a3【解析】设B=bb12b3c1c2c3因AB=0，B0，故有a-2ba1=2k=2c111+2c1=01-2axcb1=2k=2c11+6b1+1=0，A=-23a-6c=0c1=k11x=-832202故可取B=22020000110000（rB）=1故选A。25【答案】C【解析】根据相关概念可知C为正确答案。 -226-8 0-6 GCT数学2003-2013年真题与答案解析 Page 19 of 892005年GCT入学资格考试数学基础能力试题（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）11111111（
31、1-）（1-）（1-）（1-）（1-）（1-）（1-）（1-）的值是（ ）1。 0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+0.6+0.7+0.8+0.9A2 81B2 9C9 2D81 22设p为正数，则x2+px-99=（ ）。A （x-9）（x-11）C （x-9）（x+11） B （x+9）（x-11）D （x+9）（x+11）3在四边形ABCD中对角线AC，BD垂直相交于O点，若AC=30，BD=36，则四边形ABCD的面积为（ ）。A1 080 B840 C720 D54014某项工程8个人用35天完成了全工程量的，如果再增加6个人，那么完成剩余的3工程还需要的天数是（ ）。A18 B
32、35 C40 D602225已知x-y=5且z-y=10，则x+y+z-xy-yz-zx=（ ）。A50 B75 C100 D10562005年，我国甲省人口是全国人口的c%，其生产总值占国 ）。cdceA B efdf2（1-i）7复数z=的模z=（ ）。 Ccf deDde cfA4 BC2 D a等于b8三个不相同的非0实数a，b，c成等差数列，又a，c，b恰成等比数列，则（ ）。A4 B2 C-4 D-29任取一个正整数，其平方数的末位数字是4的概率等于（ ）。A0.1 B0.2 C0.3 D0.410一个圆锥形容器（甲）与一个半球形容器（乙），它们的开口圆的直径与高的尺寸如图所示（单
33、位:dm），若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水（ ）次。A6 B8 C12 D16 GCT数学2003-2011年真题与答案解析 第 20 页 共 89 页 11在ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，过C点以C到AB的距离为直径作圆，（乙）（甲）该圆与AB有公共点，且交AC于M，交BC于N，则MN等于（ ）。3411A3 B4 C7 D13 4523pa2+112已知a0，cosq=则cosq+的值是（ ）。 62aAB C1 2D图像上的一点，过P分别作两坐标轴的平行线，交Ox轴于M，交Oy轴于N，则MPN的面积为（ ）。AB1 CD 14设一个圆的圆心为P（6，m），该圆与坐标轴
34、交于A两点，则P（0，-4）（、B0，-12）13已知P为反比例函数y到坐标原点的距离是（ ）。AB8 C10 D22q1，若圆（x+cosq）+（y+sinq）=1的圆心在第四象限，则方程15已知tan。 x2cosq-y2sinq+2=0的图形是（ ）A双曲线的定义域是（ ）。Ax1 B椭圆 C抛物线 D直线 gx）（fsinpx）（f1+cospx）1，则函数（16设函数（的定义域是0，fx）B0x1 Cx0.5 D0.5x1xxfx）=17函数（在上有（ ）。 （-，+）（x-1）（x-2）A1条竖直渐近线，1条水平渐近线B1条竖直渐近线，2条水平渐近线C2条竖直渐近线，1条水平渐近线
35、D2条竖直渐近线，2条水平渐近线120）18设（在点x=0处可导，且（则f（=（ ）。 fx）f）=n=1，2，3L），nnA0 B1 C2 D3x）=1，则对任意常数a，必有fx）的二阶导数连续，且limf（19若（x+x+x+a）x）limf（-f（。 =（ ） GCT数学2003-2013年真题与答案解析 Page 21 of 89Aa B1 C0 aDaf（ ）x）dx=（ ）20设x2lnx是（的一个原函数，则不定积分xf（。 fx）21Ax3lnx+x3+C B2x-x2lnx+C 39Cx2lnx+x2+C D3x2lnx+x2+C21设连续函数y=（a ）022Af（ a）+g（a）2Bf（ a）aC2（fx）dx 0aD2（gx）dx a00-1102-1-1022设向量a1=，的一个a2=，a3=，a4=，则向量组（a1，a2，a3，a4）1-1011-10-1极大线性无关组是（ ）。Aa3，Ba1，a4 a2，a3，a4 Ca1，a2，a3 Da1，a2，a43
