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1、北京林业大学2004-2005学年第一学期考试试卷解答一、 填空题(每空3分,共30分)1、设都是5阶矩阵,且,则2、3、二次型对应的矩阵为 .4、若二次型正定，则的取值范围是.5、设， 则= 2 ； = 3 ； = 0 ；=二、（8分）计算阶行列式解：=三、（8分）解矩阵方程 求解:令则四、（10分）求a,b为何值时，方程组有唯一解、无解或有无穷多解？在有解时，求其通解无解，无穷多解.五、（8分）求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解：六、（10分）证明：是的一个标准正交基，所以有：(2)、过渡矩 因为所以为正交矩阵(3)、因为在基下的坐标是，所以下的坐标是
2、七、（12分）设实对称矩阵，问是否能与对角阵相似？若能与对角阵相似，求对角阵及可逆阵，使得，并求（为正整数）.解：的特征值为。对应的特征向量为对应的特征向量为因为有四个线性无关的特征向量，所以可以对角化。令，则=，八、（10分）用非退化线性变换将二次型化为标准型.解：，.有基础解系，正交化、单位化得,；有基础解系，取。令，X=TY，则.九、（6分）设实对称矩阵和是相似矩阵，证明：存在正交矩阵，使得.证：设为的特征值，因为，所以和有相同的特征值，因此的特征值也是，又因为为实对称矩阵，故存在正交矩阵，使得令，则为正交矩阵，且。附：各章试题分值所占比例Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 Ch5 Ch6
3、16分 18分 18分 16分 16分 16分北京林业大学2006 2007学年第2学期试卷(A)解答试卷名称： 线性代数 课程所在院系： 理学院 考试班级： 学号： 姓名： 成绩： 一、填空题(将正确答案填在题中横线上)（每空3分，共计30分）1、2设(2，-1，5)，(-1,1,1)，则，323、如果一个向量组线性无关， 那么它的任意一个部分组线性_无_关。4、设三阶可逆矩阵的特征值是、， 则的特征值为1、，且5、设 A 是3阶方阵，且，则= 25 6、设 , 则 等 于 7、设三阶方阵 , 其 中 均是三维列向量, 则8、设矩阵 , , , ， 则的秩等于_3_。二、计算行列式 (本大题
4、8分)三、解答题(本大题6分)取何值时，矩阵的秩是2.四、解答题(本大题10分) 五、解答题(本题8分 ) 求齐次线性方程组的一个基础解系.解：对系数矩阵作初等变换：得同解方程组, 取得一个基础解系：六、解答题(本题10分) 当 k 取何值时, 方程组 有解, 并求出此时的通解.解： 当 时, 方程组有解且有无穷多解 此时 ，七、证明题(本题6分 ) 八、证明题( 本题8分 ) .证明： 根据 得 所以当 n为奇数时 得.九 、解答题(本题14分) 设 ， （1）求的特征值和特征向量（2）求正交矩阵， 使为对角阵， 并写出对角阵。解：（1） 的 特 征 值 为 , 当 时， , 对 应 于 的
5、 特 征 的 向 量 为 当 时 , , 对 应 于 的 特 征 向 量 为， , （2）将 单 位 化 , , 令 , 则 是 正 交 阵， 且 北京林业大学2005-2006学年第一学期考试试卷B试卷名称： 线性代数 课程所在院系： 考试班级 学号 姓名 成绩 题号一二三四五六七八九得分阅卷人一、填空题(每空3分,共24分)1、 已知,则 答案：2、,已知矩阵A的秩r(A)=2,则 答案：3、设是可逆矩阵的一个特征值,则矩阵有一个特征值等于 答案：4、 从的基到基的过渡矩阵为。答案：5、 在基，下的坐标是_。答案：6、 设为阶矩阵，若，则必有一特征值为_.答案：7、实对称阵的所有特征值为，
6、则对应二次型的标准形为_。答案：8、 二次型的规范形是_。答案：二、（10分）计算阶行列式答案：三、（8分）解矩阵方程 求答案：令则四、（10分）求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。答案：一个极大线性无关组为五、（10分）求常数值，使方程组答案：无解六、（10分）设，1. 求一个与都正交的向量。2.利用施密特正交化方法，把向量组化为标准正交基解：（1）设，由 由于，可解得，为任意常数。 4分（2）与都正交，只需正交化。 9分七、（10分）设3阶矩阵A的特征值，对应的特征向量为，求及解：令，则， 2分， 6分 8分八、（10分），求可逆矩阵,使为对角矩阵,并给出
7、解：特征根为： 4分当时， 当时， 8分故 10分九、（8分）取何值时,二次型正定? 解：对应的实对称矩阵， 2分由， 6分可解得，此时正定。 8分北京林业大学2007-2008学年第一学期考试试卷A 试卷名称： 线性代数 课程所在院系： 考试班级 学号 姓名 成绩 题号一二三四五六七八总分得分阅卷人试卷说明：1. 考试时间为 120分钟，请掌握好答题时间；2. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；3. 本试卷所有试题答案写在 试卷 上；（特殊要求请详细说明）4. 答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场；一、填空题(每空3分,共计33分)1、设为3阶方
8、阵,且则行列式 2 .2、设均为4维列向量, 且矩阵, ,如果，则行列式.3、若,则齐次线性方程组基础解系中解向量的个数为_1_.4、设是矩阵，则非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是 r(A，b)=r(A)=n ,有无穷多解的充分必要条件是 r(A，b)=r(A)n 5、设向量与向量都正交,则 0 ， -1 .6、实对称矩阵的特征值都是 实 数.7、已知3阶矩阵的特征值是,则的三个特征值为.8、若二次型是正定的，则的取值范围是.9、存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q,使得A=PBQ.这是矩阵A与B等价（相抵）的 充要 条件.二、（8分）计算n阶行列式解：三、（10分）解矩阵方程已知 求矩阵.解
9、：四、（12分）已知方程组，当为何值时方程组无解？当为何值时方程组有解？并求解解：所以 (1) 时无解； (2) 时有解， 通解为五、（8分）已知向量组试证明向量组线性相关；并求向量组的一个极大线性无关组；将其余向量表示成此极大线性无关组的线性组合.证：，则向量组线性相关；是向量组的一个极大线性无关组，且六、（10分）已知和是线性空间的两组基,其中 (1) 求由基到基的过渡矩阵.(2) 设向量在基下的坐标为,求在基下的坐标.解：（1）设(2) 设向量在基下的坐标为X=,在基下的坐标为Y，则七、（14分）求正交变换,将二次型 化为标准形,并写出正交矩阵.解：解：，.有基础解系，正交化、单位化得,
10、；有基础解系，取。令，X=TY，则.八、（5分）设为实对称矩阵,，且.求的迹.解：设为的特征值，为对应的特征向量又，所以知为重特征值，为重特征值，故。北京林业大学2008-2009学年第一学期试卷A 试卷名称： 线性代数（56学时） 课程所在院系： 理学院 考试班级 学号 姓名 成绩 试卷说明：1. 本次考试为 闭 卷考试。认真审题，请勿漏答；2. 考试时间为 120 分钟，请掌握好答题时间；3. 本试卷所有试题答案写在 试卷 纸上，其它无效；4. 答题完毕，请将试卷纸正面向外对叠交回，不得带出考场；一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“”，错的打“”）（每小题3分，共 12 分）1
11、、若方程组含有自由未知量，则方程组将有无穷多解.（ ）2、一个阶矩阵为非奇异的，当且仅当相抵于（是单位矩阵.（ ）3、任何两个迹相同的阶矩阵是相似的.（ ）4、设是矩阵，则. （ ）二、单项选择题(在每小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题中括号内)(每题3分, 共 15 分)1、已知（ ）； ； ； , 2、均为阶方阵，且，则 ( C ).均为零矩阵； 至少有一个矩阵为奇异矩阵；至少有一个为零矩阵； 均为奇异矩阵.3、是维向量组线性相关的( A )条件. 充分； 必要； 充分必要； 必要而不充分的；4、设为齐次线性方程组的解，为非齐次线性方程组的解，则( C ).为的解； 为的解；为的解
12、； 为的解.5、 设是正交矩阵，是的第列，则与的内积等于（ ）； ； ； 三、填空(将正确答案填在题中横线上，每题3分, 共 21 分)1、设A为三阶方阵，且，则1/162、设都是维行向量，且行列式，则_16_.3、设是阶矩阵，若齐次线性方程组的基础解系中含有一个解向量，则 O 4、设矩阵，若、可逆，则也可逆且5、若方程组 有解, 则 7 6、设，则当k=1/4时，线性相关。7、满足时, 二次型 是正定的. 四、设,且， 求. （8分）五、设求已知的向量组的一个含有的极大线性无关组，并将其余向量用它线性表示。（8分）向量组的一个含有的极大线性无关组为，六、求方程组的基础解系，并用它表示出方程组
13、的通解. (10分) 解：对系数矩阵作初等变换：, 基础解系是 通解为 （为任意常数 七、 已知 是的一组基, 设，(8分 )1、 求由基到基的过渡矩阵.2、 求在基下的坐标.解：由基到基的过渡矩阵为 所以由基到基的过渡矩阵为 故向量在基下的坐标为: 八、用正交变换化二次型 为标准形， 并写出 所用正交变换。(12分)解： 正交矩阵经正交变换，化为标准形：九、设为矩阵，证明:如果, 那么 秩+秩. (6分)证明：将分块为：，因为已知 所以 是方程组的解取出方程组的一个基础解系：，其中所以可由线性表出故 秩秩秩秩+秩北京林业大学2009-2010学年第一学期试卷 试卷名称： 线性代数（56学时
14、A卷） 课程所在院系： 理学院 一、填空题(每小题3分, 共 30 分)1、行列式。 2、设为三阶方阵，已知，则 9 。3、方程的解为。4、设三阶矩阵的三个特征值为，则 21 。5、设，则 8 ， 3 。6、设矩阵的秩为2，则常数 1 。7、设，则。8、已知向量组线性相关，则 1 。9、已知实向量空间有两组基；，则由基到基的过渡矩阵。10、二次型 不是 （是、不是）正定的。二、单选题（每小题3分，共15分）1、如果，则（ B ）。2、下列命题成立的是（ B ）。若，则； 若，则；若，则； 若，则或。 3、向量组线性无关的充要条件是（ D ）。均不为零向量；中有一个部分向量组线性无关；中任意两个
15、向量的对应分量不成比例；中任意一个向量都不能由其余个向量线性表示。4、设非齐次线性方程组中，系数矩阵且，则（ C ）。当时，方程组有惟一解；当时，方程组有惟一解；当时，方程组有解；当时，方程组有无穷多解。5、设阶矩阵可逆，则（ D ）。必有个不同的特征值； 必有个线性无关的特征向量；必相似于一可逆的对角矩阵； 特征值必不为零。三、（10分）解矩阵方程，其中。解：四、（10分）验证向量组，的线性相关性，若线性相关，试求其中一个向量由其余向量线性表出的表达式。解： 向量组线性相关，或，或， 或。五、（10分）求非齐次线性方程组的一般解。解：，六、（8分）求一个正交变换，化二次型为标准形。解：； 特征值对应特征向量，二重特征值对应特征向量，满足，取两正交向量和。单位化后得 ，做正交变换,得标准型。 七、（10分）设线性无关，证明线性无关。证明：设，已知线性无关，得，系数行列式，齐次线性方程组只有零解，线性无关。八、（7分）证明：设为()阶正交矩阵，且，则是的一个特征值。证明：，是的一个特征值。
