离散数学习题解第二部分(代数系统).doc

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2、LCM=（x，y），z）|x，y，zI且z= LCM（x，y）解 a）是。由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故知+：I2I是I上的一个二元运算。 b）是。由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故知一：I2I是I上的一个二元运算。 c）是。由于两个整数这积仍为整数，且结果唯一，故知x：I2I是I上的一个二元运算。 d）不是：例如若x=5，y=6，则z=x/y=5/6I；当y=0时z=x|y=x/0无定义。 e）不是。例如若x=2，y= -2，则z=xy=2 2=；若x=y=0，则z=xy=0，则z=； g）是。由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。故知max：I2I是I上的一个二元运算。

3、 h）是。由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。故知min：I2I是I上的一个二元运算。 i）是。由于两个整数的最大公约数仍为整数，且结果唯一。故知GCD：I2I是I上的一个二元运算。 j）是。由于两个整数的最小公倍数仍为整数，且结果唯一。故知LCD：I2I是I上的一个二元运算。注：两个整数a和b的最大公约数GCD（a，b）定义为同时除尽a和b的正整数中最大的一个；两个数a数b的最小公倍数LCM（a，b）定义为同时是a和b的正倍数中最小的一个。2设X=x | x=2n，nN问普通数的加法是否是X上的二元运算？普通数的乘法呢？答普通的加法运算不是X是X上的二元运算，因为存在着x1=2X，x

4、2=22X，使x1+x2=2+22=6X。普通的乘法运算是X上的二元运算，因为对于任意的x1=X，x2=X，这里n1，n2N，都有x1x2=X（因为n1+n2N）。3设是代数系统，*是X上的二元运算，若有元素elX，使，有el*x=x，则称el是关于*的左幺元。若有元素erX，使，有x * el=x，则称er是关于*的右幺元。a) 试举出公含有左幺的代数系统的例子。b) 试举出仅含有左幺的代数系统的例子。c) 证明：在代数系统中，若关于*有左幺元和右幺元，则左幺元等于右幺元。解：a) 构造代数系统如下：令X=a，b，c，d，*：XXX，其运算表如下：*abcdadabcbabcdcabccd

5、abcd则此代数系统含有左幺元b，d，但不含右幺元。b) 构造代数系统如下：令X=1，2，3，4 *： XXX，其运算表如下：*123411243221343341244423则此代数系统含有右幺元1，但不含左幺元。c) 证因为代数系统关于*运算存在着左、右幺元，ei，erX 则el = el * er = er4设是代数系统，*是X上的二元运算。若有元素OlX，使xX，有Ol*x=Ol是关于*的左零元。若有元素OrX，使xX，有x*Or=Or，则称Or是关于*的右零元。a) 试举出公含有左零元的代数系统的例子。b) 试举出仅含有左零元的代数系统的例子。c) 证明：在代数系统中，若关于*有左

6、零元和右右零元，则左零元等于右零元。解 a) 构造代数系统如下：令X=a，b，c，*：XXX，其运算表如下：*abcaaaabbbbcbca则a和b都是左零元，但没有右零元。b) 构造代数系统如下：令X=1，2，3，*：XXX，其运算表如下：*123123323133123则3是右零元，但没有左零元。c) 证因为代数系统关于*运算存在着左、右零元，Ol，OrX，则Ol=Ol*Or=Or5当给出一个代数系统的二元运算表时，如何从表上判断这个二元运算是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。答在一个代数系统中，1）运算*满足结合律，当且仅当在运算表中，对任何

7、x，yX，x行每个元素与y的*积对应的等于x与y列每个元素的*积。2）运算*满足交换律，当且仅当运算表关于主对角线是对称的。3）运算*有幺元，当且仅当存在一元素，它所对应的行和列依次与运算表的行和列相一致。4）运算*有零元，当且仅存在一元素，它所对应的行和列中每个元素都是蛇自己。5）若运算*有幺元，X中每个元素x有逆元，当且仅当存在一元素yY，使得x所在行，y所在列的想元素以及y所在行，x所在列的元素都是幺元。6设是代数系统，*是X上的二元运算，e是关于*的幺元。对于X中的元素x，若存在yX，使得y*x=e，则称y是x的左逆元。若存在zX，使得x*z=e，则称z是x的右逆元。指出下表中

8、各元素的左、右逆元的情况。*abcdeaabcdebbdacdccababddacdceedace解 a是幺元；b的左逆元和右逆元都是c；即b和c互为逆元；d的左逆元是c而左逆元是b；b有两个左逆元c和d；e的右逆元是c，但e没有左逆元；c有两个左逆元b和e有两个右逆元b，d。7设是代数系统，*是X上的二元运算。x，yX，有x*y=x。问*是否满足结合律，是否满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。解 a) *运算满足结合律因为对任何x，y，zX，都有x*（y*z）=x*y=x=x*y=（x*y）*zb) *运算不满足交换律因为对于二个元素x，yX，有x*y=x，而y*x=y

9、。所以当X包含多于一个元素时，能使xy，从而x*yy * x。c) 没有幺元因为若有幺元eX存在，则对任何xX，应有e * x * e，但是e * x= e，x * e=x，于是推得x=e，当X中包含多于一个元素时，就会有x e，矛盾。d) 没有零元，仿c) 保证。e) 对于每个元素都没有逆元。因为没有幺元存在。并且若存在一个元素aX，使得对每个元素xX，都有一个元素yX，使y * x=x * y=a，则有y=x=a，当X中包含多一个元素时，这将不总是成立的（只在x=a，且a具有幂等性时才成立）8设是代数系统，*是N上的二元运算，x，yN，x * y=LCM（x，y）。问*是否满足结合律，是否

10、满足交换律，是否有幺元，是否有零元，每个元素是否有逆元。解 a) *运算满足结合律因为，对于任何x，y，zN，（x*y）* z =LCM (（x * y），z) = LCM (LCM（x，y），z) = LCM (（x，y，z） = LCM (（x，（y * z） = LCM (（x * y），z) = x * (y * z)注：关于LCM（LCM（x，y），z）= LCM（x，y，z）我们可证明如下：设C1=LCM（x，y，z），d= LCM（x，y），从而C1=LCM（d，z）， C2= LCM（x，y，z），因此只需证C1=C2即可，为此由于C2= LCM（x，y，z），故此x | C2

11、，y |C2，z | C2，因此由d= LCM（x，y）及x | C2，y |C2，从d2的最小性有dC2于是d |C2（否则C2=kd+r，0rd，由于x |d，y | d及x | C2，y | C2，故有x | r，y | r，这与d=LCM（x，y）的最小性矛盾）。即d|C2且z|C2故此由C1=LCM（d，z）的最小性，可知C1C2。另一方面，由C1= LCM（d，z）知d |C1，z|C1，又由d=LCM（x，y）知x |d，y | d，y | d，因此有x|C1，y|C1，并且z | C1。因而C2=LCM（x，y，z）的最小性可知C2C1。所以，C1=C2。同理可证LCM（x，

12、LCM（y，z）=LCM（x，y，z）。b) *运算满足交换律因为对于任何x，yN，x * y=LCM（x，y） = LCM（y，x） =y * x（c）*运算有幺元1N。因为，对于任何xN， x * 1=LCM（x，1） =x =LCM（1，x） =1 * x（d）*运算没有零元。因为0 N。（e）对于每个元素xX，若x1，则对每个元素yN，都有x*y=y*x=LCM（x，y）x1，故此没有逆元素。9设是代数系统，*是X上的二元运算。X是X中的任一元素，若有x*x=x，则称x是幂等元。若*是可结合的，且x，y X，当x*y=y*x时，有x=y。证明：X中每个元素都是幂等元。证对于任何xX

13、，令xi=x*x，xj=x，于是xi*xj=（x*x）*x =x*（x*x）（结合律） =xj*xi从而由所给性质，有xi=xj，即x*x=x。因此，由x的任意性，可知X中每个元素都是幂等元。10设是代数系统，和分别是X上的两上二元运算。若xX，有xy=x。证明关于是可分配的。证对于任何x，y，zXx（yz）=xy=（xy）（yz）（yz）x=yx=（yx）（zx）因此代数系统中关于是可分配的。11设是代数系统，和分别是X上的两上二元运算。e1和e2分别是关于和的幺元，且对于满足分配律，对于满足分配律。证明：xX，有xx=x，xx=x证 x=xe2 （e2为的幺元）=x（e2e1）（e1为

14、幺元）=x e2（e1e2）（e2为幺元）=x （e2e1）（e2e2）（对的分配律）= x （e2（e2e2）（e1为幺元）= x（e2e2）（e2为幺元）=（xe2）（xe2）（对分配律）=xx （e2为幺元）x=xe1（e1为的幺元）=x（e1e2）（e2为幺元）=x e1（e1e2）（e2为幺元）=x （e1e1）（e1e2）（对的分配律）= x （e1e1）e1 （e2为幺元）= x（e1e1）（e1为幺元）=（xe1）（xe1）（对分配律）=xx （e1为幺元）12设X=a，b，c，d，和分别是X上的两个二元运算，其运算表如下：算表如下：AbcdaAaaabAb

15、abcAaccdAbcdabcdaabcDbbbdDccdcDddddD取S1=b，d，S2a，d，S3=b，c，问，分别是的子代数系统吗？为什么？因此是的子代数。因，在S2=b，d内封闭。bdbbddddbdbbbdbd解 abaaababcaadab因此是的子代数。因，在S3=b，d内封闭。bdbbddddbcbbacaccaadabbcbbdcdccaadab13设*是X上的二元运算。若a，b，cX，有a*a = a且（a*b）*（c*d）=（a*c）*（b*d）证明：a*（b*c）=（a*b）*（a*c）证对任何a，b，cX，a*（b*c）=（a*a）*（b*c）（幂等性a*a=a）

16、 =(（a*b）*（a*c）=（a*b）*（c*d）=（a*c）*（b*d）利用)14设是代数系统，*是X上的二元运算，R是X上的等价关系。若a，b，c，dX当（a，b）R且（c，d）R时，有（a*c，b*d）R，则称R是X上关于*的同余关系，称R产生的等价类是关于*的同余类。考察代数系统，I是整数集合，十是整数加法。问以下的元关系是I上的关于十的同余关系吗？a) R=（x，y）|x，yI且（x0且y0)或（x0且y0）b) （x，y）|x，yI且（x0且|xy|10c) （x，y）|x，yI且（x=0且y=0）或（x0且y0）d) （x，y）|x，yI且xy解 a) 这不是一个同余关系，因为

17、（-1，-2）R且（1，1）R，但（-1+1，-2+1）=（0，-1）R。b) 这不是一个同余关系，因为它不是一个等价关系。实际上它是自反的和对称的，但不是传递的，例如取x=-8，y=1，z=8，由于| -8-1 | =90，| 1-8 | = 710，故有（-8，1）R且（1，8）R。但| -8-8 | =1610，所以-8，8Rc) 这不是一个同余关系，因为（-1，-2）R且（1，1）R，但（-1+1，-2+1）=（0，-1）Rd) 这不是一个同余关系，因为它不是一个等价关系。实际上它是自反的和传递的，但不是对称的，例如取x=8，y=7，于是有87，从而（8，7）R，但78，故（7，8）R

18、。15设S=a，b，X=25，Y=0，1，。证明：Y是X的同态象。证如下构造的函数h是一个从X到Y的同态：h：2S0，1h（）=0h（a）=0，h（b）=1，h（S）=1容易验证：h（AB）=h（A）h（B） h（AB）= h（A）h（B）（A，BS） h（A）=并且h显然是满射的，因此Y是X同态象。16设R是实数集合，十和X是实数的加法和乘法。X=R，+，Y=R，x，问Y是否是X的同态象。答 Y不是X的同态象。否则将存在着从X到Y的满同态函数h，从而对于0R，由h是满射的，可知存在着r0R，使h（r0）=0，于是对任何rR，由于r-r0=r+（-r0）R，所以h（r）=h（r0+（r-r0

19、）=r| rR（ErR）（h(r)= r）=0R17设N是自然数集合，x是自然数乘法，X=N，x，Y=0，1，x，证明：Y是X的同态象。证如下构造的函数h是一个从X到Y的同态h：N0，1于是 h（2m2n）=h（22mn）=0=00=h（2m）h（2n）h（2m（2n-1）=h（2m（2n-1）=0=01=h（2m）h（2n-1）h（2m-1）（2n-1）=h（2（mn-m-n+1）-1） =1=11=h（2m-1）h（2n-1）所以h满足同态公式，另外h显然是满射，因而Y是X的同态象。18设S=a，b，c，X= ，S，Y=a，b，S，。问X和Y是否同构，为什么？答 X和Y不同构。因为Y=a

20、，b，S，不是代数系统，补运算关于a，b，S不封闭，这可见下表：a,bcS而如果存在着X和Y的同构，则从X是代数系统，知Y也应该是代数系统，矛盾。19设X，*和Y，是两个代数系统，*和分别是X和Y上的二元运算，且满足交换律，结合律。f1和f2都是从X，*到Y，的同态函数。令h：XYh（x）=f1（x）f2（x）证明：h是从X，*到Y，的同态函数。证对于任何a，bX，h（a*b）=f1（a*b）f2（a*b）（h的定义） =（f1（a）f1（b）（f2（a）f2（b）（f1和f2是同态函数） =（f1（a）f1（b）（f2（a）f2（b）（的结合律） =（f1（a）f2（a）（f1（b）f

21、2（b）（的结合律） =（f1（a）f2（a）（f1（b）f2（b）（的结合律） =h（a）h（b）（h的定义）20设X，f1，Y，f2，Z，f3是三个代数系统。f1，f2，f3分别是X，Y，Z上的二元运算。证明：若h1是从X，f1到Y，f2的同态函数，h2是从Y，f2到Z，f3的同态函数，则h2oh1是从X，f1到Z，f3的同态函数。证对于任何x，yX，（h2h1）（xf1y）= h2（h1（xf1y）= h2（h1（x）f2h1（y）（h1是X，f1到Y，f2的同态）= h2（h1（x）f3h2（h1（y）（h2是X，f2到Y，f3的同态）=（h2h1）（x）f3（h2 h1）（y）所

22、以h2h1是从X，f1到Z，f3的同态函数。21设S，*是有限含幺半群。证明：在*的运算表中，任何两行或任何两列均不相同。证因为S，*是有限含幺半群，故可设s=s0=e，s1，sn-1则在*的运算表中，对庆于任何si，sjs（sisj，0i，jn-1）的两行为：si*s0，si*s1，si*sn-1；sj*s0，sj*s1，sj*sn-1为证此两行互不相同，只需证明（k）（0kn-1si * sksj * sk）即可。而这样的k是存在的，只需取k=0即得：si*s0=si*e=sisj=sj*e=sj*s0从而，由si，sjs的任意性，可知，在*运算表中，任何两行均互不相同。关于列的结论，同

23、理可证。22设k是一正数，Nk=0，1，2，k-1，*k是Nk上的一个二元运算。a，bNk，a*kb=（ab）modk。a) 当k=6时，写出*6的运算表；b) 证明：对任意的正整数k，Nk，*k是半群。a) 解 *6012345000000010123452024024303030340420425054321b) 证 1）*k是Nk上的二元运算由于0（ab）modkk，故a*kbNk，即*k关于Nk封闭，并且运算结果唯一（因为若有i=（ab）modk，j=（ab）modk，则0kk，0jk，ab=kr1+i，ab=kr2+j，于是有kr1+I=kr2+j不妨设ji从而k（r1-r2）=j-

24、i，故此k|j-i，但是0j-ik（因为ji）故只能j-i=0，因此j=i。2）*k满足结合律因为对于任何a，b，cNk（a *k b）*k c=（ab）modk *k c =（ab）modk cmodk =（abc）modk =a（bc）modk modk =a*k （bc）modk =a*k（b*k c）综合1），2）可得Nk，*k是半群23设S，*是半群，as。在s上定义二元运算如下x，ys，xy=x * a * y证明：S，是半群。证（a）是s 上的二元运算由于S，*是半群，故*是s上的二元运算，因此*运算具有封闭性和运算结果唯一性。因此由的定义可知具有封闭性和运算结果唯一性。（b）

25、满足结合律对于任何x，y，zs（xy）z =（x * a * y）z =（x * a * y）* a* z = x * a *（y * a * z）（*运算的结合律） = x * a *（y z） =x（y z）综合（a），（b）可知S，是半群。24设S，*是半群。证明：s中至少有一个幂等元。证因为S，*是半群，所以*运算具有封闭性，因而可知对于任何元素ys，都有y2=y*ys，y3=y2*ys,。又由S，*是有限的，可知s是有限集，所以存在着ji，使得yj=yi，从而令P=j-i，那么就有yi=yj=yp+I=yp*yi，因此可得yi+1=yp*yi+1，也就是对任何gi，都有yg=yp*

26、yg。所以，从p1总可找到k1，使kpi。故此，令x=ykps，则x就是s中的一个幂等元，推证如下：x * x=ykp * ykp =（yP+ * y(k-1) p）*ykp（利用上述性质） =y(k-1) p * ykp = =yp * ykp =ykp =x25设R是实数集合。在R上定义二元运算*如下 x，yR，x*y=x+y+xy证明：R，*是含幺半群。证（1）*运算是实数集R上的二元运算。因为普通实数加法+和乘法都是封闭的和运算结果唯一的，因此由它们定义的*运算也是封闭的、运算结果唯一。（2）*运算满足结合律。对于任何x，y，zR，因为（x*y）*z =(x*y)+z+(x*y)z=

27、（x+y+xy）+z+（x+y+xy）z=x+y+z+xy+xz+yz+xyzx（y*z）=x+（y*z）+x（y*z）=x+（y+z+yz）+x（y+z+yz）=x+y+z+xy+xz+yz+xyz所以（x*y）*z=x（y*z）（3）0R为幺元对于任何xR 因为 0*x=0+x+0x=xx*0=x+0+x0=x故此 0*x=x*0=x综合（1）（2）（3）证得R，*是含幺半群。26设S，*是可交换半群。证明：x，yS，若x，y是幂等元，则有（x*y）*（x*y）=x*y。证（x*y）*（x*y）=x*（y*x）*y （*可结合） =x*（x*y）*y （*可交换） =（x*x）*（y*

28、y）（*可结合） =x*y （x，y为幂等元）27设S，*是半群。，ys，若xy，则x*yy*x。证明：a) xs，有x*x=xb) x，ys，有x*y*x=x；c) x，zs，有x*y*z=x*z；证对任何x，ys若x*y=y*x，则x=y（否则xy，于是x*yy*x，矛盾）。a) 对任何xs，因为（x*x）*x=x*（x*x）（*可结合）所以 x*x=x b) 对任何x，ys，（x*y*x）*x =x*y*（x*x）（*可结合）=x*y*x （由a）=（x*x）*y*x （由a）=x*（x*y*x）（*可结合）所以 x*y*x=x c) 对任何x，y，zs，有（x*y*z）*（x

29、*z） =x*y*（z*x*z）（*可结合） =x*y*z （由b） =（x*z*x）*y*z（由b） =（x*z）*（x*y*z）（*可结合）所以 x*y*z=x*z28设S，*是半群。证明：x，y，zs，若x*z=z*x且y*z=z*y，则（x*y）*z=z*（x*y）。证对任何x，y，xs （x*y）*z =x*（y*z）（*可结合） =x*（z*y）（y与z可交换） =（x*z）*y （*可结合） =（z*x）*y （x与z可交换） =z*（x*y）（*可结合）29设x，y，*是半群，x*x=y。证明：a) x*y=y*x；b) y*y=y。证 a) x*y = x*（x*x）

30、（因x*x=y）=（x*x）*x （*可结合）=y*x （因x*x=y）b) y*y=（x*x）*y （因x*x=y） =x*（x*y）（*可结合）根据*运算的封闭性，可知x*y=x或者x*y=y若 x*y=x，则y*y=x* （x*y） =x*x （由x*y=x） =y （由x*x=y）若 x*y=y，则y*y=x*（x*y） =x*y（由x*y=y） =y（由x*y=y）因此无论如何，y*y=y 。30S，*是半群。若有as，xs，u，QS，使得a*u=v*a=x证明：S，*是含幺半群。证只需证明半群S，*中含有幺元即可。取x= a，那么，存在ua，vas，使a*ua=va*a=a

31、对于s中任一元素b，那么存在u b，vbs，使得 a*ub=vb*a=b于是 bua=（vb*a）*ua （因vb*a=b） =vb（a*ua）（*可结合） =vb*a （因aua=a） =b （因ub*a=b）所以ua是右幺元。并且 vab=va*（a*ub）（因a*ub=b） =（va*a）*ub（*可结合） =a*ub （因ua*a=a） =b （因a*ub=b）所以va是左幺元。但是将b*ua=b中的b取为ua，则有va* ua =va；将va*b=b中的b取为ua，则有va*ua=ua；故此，可得 ua=va。所ua（=va）是S，*的幺元。从而，S，*是含幺半群。31设S，*是含

32、幺半群。Zs，z是关于*的左零元。证明：xs，x*z也是关于*的左零元。证由于z是关于*的左零元，所以对于任意as，都有z * a=z因而对任何xs，对任何as，都有（x*z）*a=x*（z*a）（*可结合） =x*z（z为左零元，z*a=z）这说明x*z也为左零元。32设S，*是含幺半群。Ss=f | f :ss，）是函数的合成运算。a) 证明：S s，*是半群；b) 证明：存在从S，*到Ss，的同态函数。证 a) 由于是函数的合成运算，而Ss=f | f:ss是所有从s到s的函数的集合，因此运算封闭且运算结果唯一；并且运算当然具有结合律，故此S s，是一半群。 b) 令h : sss

33、，对于所有的ash（a）=fa；这时fa : ss，对于任何xs有fa（a）=a*x由于S，*是半群，故*是s上的二元运算。因此*运算封闭，且运算结果唯一，因此如上定义的fa后者唯一，是从s到s的函数，即fass。因此h的定义是良定义的。对于任何a，bs h（a*b）=fa*b而对于任何xs，（x）fa*b（x） =（a*b）*x =a*（b*x）（*的结合律） = a*（fb（x） = fa（fb（x） =（fafb）（x）所以，有 fa*b= fafb，因此，h（a*b）=fafb=h（a）h（b）。故此h满足同态公式。因而存在从到Ss，的同态函数。33设f是从半群X，*到Y，的同态函数

34、，证明：若x是X中的幂等元，则Y中也存在幂等元。证由于f（x）f（x）=f（x*x）（f是同态函数，满足同态公式）=f（x）（因x是幂等元，故x*x=x）且f（x）Y，故此f（x）是Y中的幂等元。即Y中也存在幂等元。34设f是从半群X，*到Y，的同态函数，问下列结论是否为真。 a) X，*在f下的同态象是Y，的子代数系统； b) X，*在f下的同态象是半群； c) 若X，*是含幺交换半群，则X，*在f下的同态象也是含幺可交换半群。解 a) 真。因为1）f（X）Y。这点是根据事实f : XY得出的。2）集合f（X）在运算下是封闭的，即，如果a，bf（X），那么abf（X）。因为若a，bf（X

35、），那么存在着x，yX，使得f（x）=a且f（y）=b。进一步，由X在*运算下封闭（因X，*为半群）可知存在着某一zX，使z=x*y因此ab=f（x）f（y） =f（x*y）（f是同态函数，满足同态公式） =f（z） f（）运算结果的唯一性是自动遗传，因为Y，至少是一代数系统，故应是Y上的二元运算，具有运算结果唯一性。故由1）和2），可知X，*在f下的同态象f（X），是Y，的子代数系统。b) 真。因为3）运算在集合f（X）上满足结合律，即，如果a、b、cf（X），那么（ab）c=a（bc）。因若a，b，cf（X），那么存在着x，y，zX，使f（x）=a且f（y）=b及f（z）=c，故此（ab）

36、c=（f（x）f（y）f（z）=f（x*y）f（z）（f满足同态公式）=f（x*y）*z）（f满足同态公式）=f（x*（y*z）（X，*为半群，*运算有结合律）=f（x）f（y*z）（f满足同态公式）=f（x）（f（y）f（z）（f满足同态公式）=a（bc）于是由a)的1），2）及这里的3），可知X，*在f下的同态象f（X），是半群。c) 真。因为4）f（X），含有幺元，即若eX是含幺半群X，*的幺元，那么f（e）f（X）就是f（X），的幺元。因为对任何af（X），存在着xX，使f（x）=a，故此af（e）=f（x）f（e）=f（x*e）（f满足同态公式）=f（x）（x*e=x）=a同理可证f（e）a=a，因而af（e）=f（e）a=a。5）运算在f（X）上满足交换律，即，对任何a，bf（X），都有ab=ba。因若a，bf（X）则存在着x，yX，使f（x）=a且f（y）=b，因此ab=f（x）f（y）=f（x*y）（f满足同态公式）=

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