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1、对数函数典型例题例析对数函数典型例题例析 在解决与对数函数有关的问题时，应遵循：一要“定义域优先”的原则，即优先考虑其定义域；二要重视底数、真数应满足的条件，以及不同条件下，性质和图象的差异只有完全掌握了这些，才能处理好对数函数单调性涉及的综合问题下面举例说明 例1 已知y = loga(2ax )在区间0，1上是x的减函数，求实数a的取值范围 解法一：由y = loga(2ax )在区间0，1上是x的减函数，当0x1时，2a0，即 a22恒成立，所以amin= 2 xx又知a0，u = 2ax为减函数，因此对数函数的底a1 综合得1a2 2解法二：根据y = loga(2ax )，则a0且a
2、1，2ax0，所以x，a2即函数定义域为(，) a2函数在区间0，1上是减函数，1，即a2 a又u = 2ax为减函数，y = logau是增函数，则a1 综合、得1a2 例2 求关于x的函数y = lgx2(a + 2)x + 1 (其中a为实数)，在其定义域内单调区间，并指出其单调性 解：要使函数有意义，必须x2(a + 2)x + 10 设g(x) = x2(a + 2)x + 1，其判别式D= (a + 2)24 = a(a + 4)， 当4a0时，D0，恒有g(x)0，函数y的定义域为R，又y与g(x)单调性一致所以在(，递增； 当a =4时，D= 0，y = lg(x + 1)2，
3、其定义域为x | x1，xR， 在(，1)上y单调递减；在(1，+)上，y单调递增； 当a = 0时，D= 0，y = lg(x1)2，其定义域为x | x1，xR， 在(，1)上y单调递减；在(1，+)上，y单调递增； a+2a+2上，y单调递减；在，+)上，y单调22第 1 页 共 3 页 当a4或a0时，D0，函数的定义域为： (，a+2-a(a+4)2)(a+2+a(a+4)2，+) a+2+a(a+4)2在(，a+2-a(a+4)2)上，y单调递减；在(，+)上，y单调递增 例3 已知函数f(x) = lg1-x1+ ，x(1，1 )，问y =f(x) 的图象上是否存1+xx+2在两
4、个不同的点A、B，使ABy轴，若存在，求A、B的坐标，若不存在，说明理由 解：先证明f(x)是单调函数设1x1x21，则 f( x1)f( x2) = lg1-x11-x2(1-x1)(1+x2)11+lg= lg+ 1+x1x1+2(1-x2)(1+x1)1+x2x2+2x2-x1， (x1+2)(x2+2)1x1x21， x2x10， 1x11x20，1 + x21 + x10， (1-x1)(1+x2)x2-x11，0，即f( x1)f( x2)0， (1-x2)(1+x1)(x1+2)(x2+2)函数f(x)是单调递减函数 假设函数f(x)的图象上存在不同的两点A(x1， y1)，B(x2， y2)使直线ABy轴，则第 2 页 共 3 页 x1x2，y1= y2，这与函数是减函数矛盾 y =f(x)的图象上不存在两个不同的点A、B，使ABy轴 评析：直线ABy轴或ABx轴 xAxB yAyB，从函数的单调性上可以找到解题的突破口 第 3 页 共 3 页
