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1、对称性在初中数学中的运用对称性在初中数学中的运用 “对称”不仅是中学数学内容中一个重要的概念，更是一种重要的思想方法。在“对称”中往往体现出数学的“美”来。 对称性问题是一类用运动的观点、运动的思想去研究图形位置变化或图形性质的数学问题，有时在代数中若能运用，就更会有独到的效果。这类数学问题常常要运用“动”的思想去观察、分析、推理、猜想，在运动中寻找不变的量，从而发现规律，达到解决问题的目的。 这类问题一般有两类：一类是根据条件中的图形运动，研究图形在运动过程中或经过运动后的位置变化与相关性质；另一类是条件中无图形的运动，要利用运动的思想研究其有关性质。 在初中数学中，图形的运动的基本形式有三
2、种：平移；图形的翻折；图形的旋转。无论哪种运动都有一个极为重要的基本结论：任何图形经过运动后，其形状、大小都保持不变，即对应边、对应角都相等，变化的只是图形的位置，这在解题中是潜在的重要前提。下面通过几个例题进行简单的分析说明“对称性”在解题中的运用。 一、初中数学解题中图形的对称性的灵活运用。 例1、如图1：DABC中，AB=AC,BAC=1200，BD平分ABC，且与AC相交于点D。 求：AD:DC的值； A D B C 分析：读完题目，要抓住BD平分BAC的条件，将DABD翻折过来，点A落在BC边的点A1处，这样AD与A1D重合，则AD=A1D，问题就归纳为在DA1DC中求A1D：DC的
3、问题。 A D B A1A1 C 解法一：如图2 在BC边上截取一点A1，使BA1=BA， BD平分BAC，即ABD=DBA1，且BD=BD DABDDA1BD AD=A1D，BA1D=BAC=1200 DA1C=1800-BA1D=600， 又AB=AC C=B= 300,则A1DC= 900 在Rt DA1DC中：A1D：DC=tgC=tg300=3 33, 3 AD:DC= F A D B C E 解法二：如图3 过D作DEBC于E，DFBA于F； BD平分BAC，DE = DF， 同解法一，BAC=1200，C=B= 300得到FAD=600， 在Rt DDEC中 DE=DCsinC=
4、DCsin300=1DC， 23AD 2 在Rt DDAF中 DF=ADsinFAD=ADsin600=331DC=AD, AD:DC= 232 说明无论是解法一中作辅助线的作用在于把DABD翻折过来，还是解法二种的由对称性导出的角平分线的性质的运用，都是应用了图形的对称性的翻折的性质解决问题。方法简单便于联想，当然还有其它方法，请读者自己完成。 例2：设x的一个二次函数的图象过A，B，C三点，求这个二次函数的解析式。 思路 如果不仔细观察三个点的坐标特点，设一般式求解，计算就很复杂，但通过观察掌握了三个点的特点，利用点的“对称”性，则达到事半功倍的效果。 解 A、C两点是抛物线上的两个关于对
5、称轴对称的点，1所以该抛物线对称轴为x= 2 ，结合A是抛物线y轴的交点，即函数的一般表达式中的常数项应为1，据此可设所求函数表达式为 1a2Y=a+1- 4 将B=代入求得a=1 所求函数解析式为y=x2+x+1 例3：O的内接四边形ABCD的对角线ACBD于P，又OEAB于E，求证CD=2OE C思路 如何将看似联系不紧密的OE、CD拉到一起？A或者说如何构造2AE？这里应用“对称”效果就很好。 证明 如图，以O为中心作A关于O的对称点A，D则AA为直径，连AB、AC，则ACAC，又BDAC，故ACBD.所以CD=AB.另易知AB=2OE，从而OPCD=2OE。 E22例4：ABC中，C=
6、2B，求证：AB=AC+ACBC。 BA思路 待证式中出现平方，联想到直角三角形，作ADBC，有勾股定理推知，只要证BD2=CD2+ACBC，移项后整理知，只要证BD-CD=AC。 证明 如图，作ADBC，以D为中心作C关于DA的对称点C，则有AC=AC,故C=ACC，又C=2B，ACC=B+BAC，于是B=BAC，故BC=AC=AC 此时BD-CD=BD-CD=BC=AC BC=ACBC =ACBC BD2=CD2+ACBC BCDC AD2+BD2=AD2+CD2+ACBC AB2=AC2+ACBC 命题得证。 例5：已知锐角AOB，P点位于角的内部，试在角的两边上各确定一点M、N，使PM
7、N的周长最小。 P思路 将三条线围成的封闭折线打开，结合两点间A以线段最短的性质加以研究。 解 如图，作P点关于AO的对称点P；再作P点M关于BO的对称点P，由对称性易知：PM=PM，PN=P”N，P此时PM+MN+PN= PM+MN+ P”N。欲使周长最小，M、ON应在PP”上，取M、N点为PP、与AO与BO的N交点，此时PMN的周长最小。 例6：已知平行四边形ABCD中，BC=6，AC=3+3，AB=23，将平行四边形折叠，使A点与C点重合，求折痕的长度。 思路 首先要找出折痕位置，根据A与C重合的折叠要求，我们知道折痕为AC的中垂线。 解 如图，过对角线交点O作EFAC分别交AB、CD于
8、E、F，再作CGAB交AB延长线于G，设CG=x，DFPBCOAEBG在RtAGC中有 2=x2+2 整理得：4x2=12+63 2x=12+63 2x=3+3 即x=3+3 233+3 32所以CAG=30，在RtOAE中，OE=OAtg30=于是EF=2OE=1+3。 下面的三个题留作思考题，请读者朋友思考： 1、 如图，长方形纸片ABCD中，AD9，AB=3，将其折叠，使其点D与点B重合，点C至点C/，折痕为EF求BEF的面积 A BC/FCED2、已知O的半径为5，两条平行弦长分别为6和8，则两条平行弦间的距离是 _。 3、矩形ABCD中，AB=5，BC=12，将对角线BD绕点B旋转，
9、点D落在BC的延长线上的点D处，那么tgBDA的值等于 。 二、初中数学题型的设计中对称变换法的运用。 加强初中数学思想和方法的训练应该落实到平时的教学中，总复习时应注重双基、注重数学思想方法培养的基础上，能力的培养也必不可少。当然能力的培养是多方面的，这里主要是谈谈如何在题型的设计中，体现对称变化法，使数学的复习更加有效，达到举一反三、事半功倍的效果。 例1、如图DABC中，D为BC中点，E为AD中点，连BE延长交AC于F， 求AF：FC的值； A F E G B D C 分析： 1、要解决这个问题，方法多种。一般地只要过点作相应的平行线，构造“A”字型或“X”字型，通过三角形全等，得到AF
10、=DG,把AF：FC的问题转化为DG：FC=BD:BC=1:2即可。 2、学会对称变换。在DADC中，由AD中点E，就可“对称”的联想到AC中点时，问题得到了变式转化为：如下图在DABC中，D为BC中点，F为AC中点，连结BF交AD于E，求AE：ED的值；过F点作FGAD交BC于G，过程请读者思考后自己完成。 A E F B D G C 例2、如图：G是RtDABC斜边AB上任意一点，GDAB于G，交BC的延长线于D，交AC于F，以AB为直径的半圆交GD于E， 求证;GE2=GFGD D E C F A G B 分析： 1、要解决本题方法多种，利用基本的三角形的相似即可。如DAFGDBDG，得到AGBG =GFGD，再连接AE、BE，易得DAEGDEBG,从而得到GE2=AGBG，等量代换得到结论。 2、若将图形BDFA视作“对称”图形，那么GE2=GFGD只是在一条边上的结论，对称的看问题，另一边AF上还应有这样的规律。于是有问题： 请在AC上找一点X，使CX2=CFCA成立。此题最简单的方法是，利用“对称”的方法以BD为直径作半圆，交AC于一点就是所求的X点。
