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1、对称性在各种积分中的定理对称性在积分计算中的应用 定理2.1.13 设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于(x,y)D，即f(x,-y)=-f(x,y)， x轴对称.如果函数f(x,y)是关于y的奇函数，则f(x,y)ds=0；如果f(x,y)是关于y的偶函数，即f(x,-y)=f(x,y)， D(x,y)D，则f(x,y)ds=2f(x,y)ds. DD1其中D1是D在x轴上方的平面区域. 同理可写出积分区域关于y轴对称的情形. 则由定理2.1.1知y3sin2xds=0. D由定理2.1.1可得如下推论. 推论2 设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，若
2、积分区域D既关于x轴对称，又关于y轴对称，则 若函数f(x,y)关于变量x,y均为偶函数，则f(x,y)ds=4f(x,y)ds. DD1其中D1是区域D在第一象限的部分，D1=(x,y)D|x0,y0. 若函数f(x,y)关于变量x或变量y为奇函数，则f(x,y)ds=0. D当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理. 4定理2.1.2 设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于原点对称.如果f(-x,-y)=-f(x,y)，(x,y)D，则s=f(x,y)dDD20；如果f(-x,-y)=f(x,y)，(x,y)D，则f(x,y)ds=2f(x,y)ds=2f(x
3、,y)ds，DD1其中D1=(x,y)D|x0，D2=(x,y)D|y0. 为了叙述的方便，我们给出区域关于x,y的轮换对称性的定义. 定义2.1.1 设D为一有界可度量平面区域，如果对于任意(x,y)D，存在(y,x)D，则称区域D关于x,y具有轮换对称性. 关于区域的轮换对称性，有如下定理. 定理2.1.35 设函数f(x,y)在xoy平面上的有界区域D上连续，且D关于x,y具有轮换对称性，则f(x,y)ds=f(y,x)ds. DD定理2.2.16 设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域W上的连续函数，且W关于坐标平面x=0对称，则 (1) 若f(x,y,z)是关于变量x的奇函数，则
4、f(x,y,z)dV=0； W(2) 若f(x,y,z)是关于变量x的偶函数，则 f(x,y,z)dV=2f(x,y,z)dV. WW1其中W1是W的前半部分，W1=(x,y,z)W|x0. 同理可写出W关于坐标平面y=0对称时的情形. 与二重积分类似，我们也可得到如下结论. 定理2.2.2 设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域W上的连续函数，且W关于原点对称，则 (1) 若f(-x,-y,-z)=-f(x,y,z)，(x,y,z)W，则f(x,y,z)dV=0； W(2) 若f(-x,-y,-z)=f(x,y,z)，(x,y,z)W，则 f(x,y,z)dV=2f(x,y,z)dV=2
5、f(x,y,z)dV=2f(x,y,z)dV. WW1W2W3其中W1=(x,y,z)W|x0，W2=(x,y,z)W|y0，W3=(x,y,z)W|z0 为了方便叙述，我们先给出一个空间几何体关于x,y,z的轮换对称性定义. 定义2.2.17 设W是一有界可度量的集几何体，且它的边界光滑，若对任意的(x,y,z)W，都存在(y,z,x)W，存在(z,x,y)W，则称W关于x,y,z具有轮换对称性. 关于空间区域的轮换对称性，我们有如下的定理. 定理2.2.3 设函数f(x,y,z)是定义在空间有界区域W上的连续函数，且W关于x,y,z具有轮换对称性，则f(x,y,z)dV=f(y,z,x)d
6、V=f(z,x,y)dV. WWW3.1 对称性在第一型曲线积分计算中的应用 本文只讨论平面曲线，对于空间曲线有类似的结论. 定理3.1.19 设平面分段光滑曲线L关于y轴对称，且f(x,y)在L上有定义、可积，则 (1) 若f(x,y)为关于x的奇函数，则f(x,y)ds=0； L(2) 若f(x,y)为关于x的偶函数，则f(x,y)ds=2f(x,y)ds. LL1其中L1=(x,y)L|x0(或y0). 由定理3.1.1可得如下推论. 推论3 设平面分段光滑曲线L关于x轴对称且关于y轴对称，且f(x,y)在L上有定义、可积，则 若f(x,y)关于x,y均为偶函数，则f(x,y)ds=4f
7、(x,y)ds， LL1其中L1=(x,y)L|x0,y0. (2) 若f(x,y)关于x或y为奇函数，即f(x,-y)=-f(x,y)或 f(-x,y)=-f(x,y)，(x,y)L，则f(x,y)ds=0. L当曲线L关于原点对称时，我们可以得到如下的定理. 定理3.1.2 设平面分段光滑曲线L关于原点对称，且f(x,y)在L上有定义、可积，则 (1) 若f(-x,-y)=-f(x,y)，(x,y)L，则f(x,y)ds=0； L(2) 若f(-x,-y)=f(x,y)，(x,y)L，则f(x,y)ds=2f(x,y)ds. LL1其中L1为L的上半平面或右半平面. 关于曲线的轮换对称性，
8、我们有如下结论. 定理3.1.3 设平面分段光滑曲线L关于x,y具有轮换对称性，且f(x,y)在L上有定义、可积，则Lf(x,y)ds=Lf(y,x)ds. 定理3.2.1 设L为平面上分段光滑的定向曲线，P(x,y),Q(x,y)为定义在L上的连续函数； 当L关于x轴对称时： 若P(x,y)是关于y的偶函数，则P(x,y)dx=0； L 若P(x,y)是关于y的奇函数，则P(x,y)dx=2P(x,y)dx， LL1 若Q(x,y)是关于y的奇函数，则Q(x,y)dy=0； L 若Q(x,y)是关于y的偶函数，则LQ(x,y)dy=2LQ(x,y)dy； 1其中L1是L位于x轴上方的部分.
9、当L关于y轴对称时： 若P(x,y)是关于x的奇函数，则P(x,y)dx=0； L 若P(x,y)是关于x的偶函数，则P(x,y)dx=2P(x,y)dx； LL1 若Q(x,y)是关于x的偶函数，则Q(x,y)dy=0； L 若Q(x,y)是关于x的奇函数，则LQ(x,y)dy=2LQ(x,y)dy； 1其中L1是L位于y轴右方的部分. 当L关于原点对称时： 若P(x,y),Q(x,y)关于(x,y)为偶函数，即P(-x,-y)=P(x,y) 且Q(-x,-y)=Q(x,y)，(x,y)L，则P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0； L 若P(x,y),Q(x,y)关于(x,y)为奇函数，即
10、P(-x,-y)=-P(x,y) 且Q(-x,-y)=-Q(x,y)，则LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=2LP(x,y)dx+Q(x,y)dy. 1其中L1为对于轮换对称性，我们有如下定理. 定理3.2.2 设L为平面上分段光滑的定向曲线，P(x,y),Q(x,y)为定义在L上的连续函数.若曲线L关于x,y具有轮换对称性，则P(x,y)dx=P(y,x)dy. LLL的右半平面或上半平面部分. 4.1 对称性在第一型曲面积分计算中的应用 在第一型曲面积分的计算中，经常会碰到积分曲面关于某个坐标面对称的情形，与前几节类似，我们可以利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性来简化第一型曲面积分的
11、计算，下面给出相应的定理及例题. 定理4.1.111 设分片光滑曲面S关于坐标面x=0对称，且f(x,y,z)在S上有定义、可积，则 若f(x,y,z)为关于x的奇函数，则f(x,y,z)dS=0； S 若f(x,y,z)为关于x的偶函数，则f(x,y,z)dS=2f(x,y,z)dS. SS1其中S1=(x,y,z)S|x0. 同理可写出曲面S关于坐标面y=0对称的相应结论. 对于轮换对称性，我们有如下定理. 定理4.1.2 设分片光滑曲面S关于x,y,z具有轮换对称性，且f(x,y,z)在S上有定义、可积，则f(x,y,z)dS=f(y,z,x)dS=f(z,x,y)dS. SSS4.2对
12、称性在第二型曲面积分计算中的应用 与第二型曲线积分一样，我们可以根据第二型曲面积分积分的定义及物理背景，同样可以得到对称性在第二型曲面积分计算中的相关结论. 定理4.2.112 设积分曲面S光滑或分段光滑，且S=S1+S2，曲面S1和S2的法线方向相反，若曲面S1和S2关于xoy面对称，则 若R(x,y,-z)=R(x,y,z)，则R(x,y,z)dxdy=0； S 若R(x,y,-z)=-R(x,y,z)，则R(x,y,z)dxdy=2R(x,y,z)dxdy. SS1其中S1为S的z0的部分. 关于轮换对称性，我们有如下定理. 定理4.2.2 设积分曲面S光滑或分段光滑，函数P(x,y,z)在曲面S上有定义、可积，若积分曲面S关于x,y,z具有轮换对称性，则 P(x,y,z)dydz=P(y,z,x)dzdx=P(z,x,y)dxdy. SSS
