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1、,9.4 相对稳定性和Nyquist稳定性判据,在s平面上，用每个根或每对根的相对调节时间来度量相对稳定性。,本节将在频域内确定相对稳定性的度量方法。Nyquist稳定性判据不仅提供了确定绝对稳定性的信息，而且还能够用于定义和估算系统的相对稳定性。,Nyquist稳定性判据是以极坐标图上的(-1,0)点，或者Bode图和对数幅-相图上的 点为基础的。显然，的轨迹与这个临界稳定点的接近程度是系统相对稳定性的度量。,考虑,图9.18,该轨迹与轴的交点为,时，系统在 轴上存在特征,或,根。随K值从该临界值下降，稳定性将随之增加，并且在临界增益 与增益 之间的裕量就是相对稳定性的度量。这种相对稳定性的
2、度量称为增益裕量（gain margin），它定义为相角达到（即）时的增益 的倒数。增益裕量是 的轨迹通过 点之前系统能够增加多少倍增益的度量。,当,1）通过幅值定义相对稳定性,对于图9.18所示的增益，增益裕量等于 时 的倒数。由于当相角为 时，有，所以增益裕量为,增益裕量可以用对数形式（分贝）定义为,增益裕量是当相位为 时，系统的Nyquist曲线与 点相交而变成临界稳定系统之前能够增加的最大增益量。,相对稳定性的另一种度量可以利用特定系统和临界稳定系统之间的相角差来定义。当,2）通过相位定义相对稳定性,于是，作为相对稳定性的一种度量相位裕量定义为 轨迹在单位幅值 点上通过 平面上的 点时
3、所转过的相角量。这种相对稳定性的度量等于系统变成不稳定之前需要的附加相位滞后量。,该信息可以从图9.18所示的Nyquist曲线确定。当增益 时，系统变成不稳定之前可以增加一个相位角。而对于增益，相位裕量等于，如图9.18所示。,相位裕量是当幅值为1时，系统的Nyquist曲线与 点相交而变成临界稳定系统之前能够增加的相位量。,3)由Bode图判断稳定性,考察开环频率特性函数,4)由对数幅-相图图判断相对稳定性,第一个更稳定些。,5)确定二阶系统的增益裕量，以及相位裕量与欠阻尼系统的阻尼比 的关系。,考虑图9.1所示的系统，其中开环传递函数为,该二阶系统的特征方程为,频率传递函数为,在频率 处
4、，频率响应的幅值等于1，于是有,于是，该系统的相位裕量为,提供了阻尼比与相位裕量之间的关系式，提供了频率响应和时间响应之间的关系。,，其中相位裕量的单位为度。,考察具有如下开环传递函数的系统,相位裕量为,9.5 在频域中规定的时域性能判据,：令系统的输出等于H(s)的输出,则频域传递函数为,1)令,于是，闭环响应的幅值为,圆心为,半径为的 圆,随K值增加，极坐标图的曲线接近(-1,0)点.,于是可以估计出闭环频率响应的幅值曲线，,2)类似地，可以得到闭环相角为常数的圆。,常数,3)Nichols图等M圆和等N圆可以在极坐标平面用于分析和设计控制系统。但是，由于绘制系统的Bode图要比极坐标图更
5、容易，所以希望将等M圆和等N圆绘制在对数幅-相图上。N.B.Nichols最早将等M圆和等N圆绘制在对数幅-相位图上，所以得到的图称为Nichols图（Nichols图）。在图9.26的Nichols图上，等M和等N圆似乎变成了曲线，而对数幅-相图的坐标与8.6节采用的一样。等M线的单位为分贝，而等N线的单位为度。,图9.26,例7 利用Nichols图估计相对稳定性,考察具有如下开环传递函数的反馈系统：,在图9.27所示的Nichols图上，绘制了 轨迹。,图9.27,由图判断：,最大幅值：,带宽：,谐振频率：,闭环相角:,闭环相角:,Nichols图可以用于设计控制系统，在Nichols图
6、上，通过改变的轨迹，便可得到希望的相位裕量和。于是，通过调整系统的增益，可提供合适的相位裕量和。,9.6 系统带宽,闭环控制系统的带宽是系统响应重现能力的极好度量。在Bode图上，对于低频幅值为 的系统，带宽是在幅值下降至 时的频率值。阶跃响应的速度大致与 成正比，而调节时间与 成反比。于是，在系统的元件容许情况下，希望系统具有较大的带宽。,考虑,，,这两个系统的频率响应如图9.29(a)所示，系统的阶跃响应如图9.29(b)所示，而斜坡响应如图9.29(c)所示。具有较大带宽的系统能够提供较快的阶跃响应和较高的斜坡响应重现能力。,考虑,，,两个系统阻尼比相同均为，两个闭环系统的频率响应如图9
7、.30(a)所示。两系统的自然频率分别为10和30。带宽分别为15和40。两者的超调量都为，但系统 的峰值时间为 秒，而系统 的峰值时间为 秒，如图9.30(b)所示。系统 的调节时间为0.37秒，而系统 的调节时间为 秒。因此，具有较大带宽的系统能够提供较快的响应。,9.7 时延系统的稳定性（略）,9.8 频域中的PID控制器,PID控制器的传递函数为,通常，当有一个或二个极点(或可以用一个二阶对象近似)时，PID控制器对减少稳态误差和改善瞬态响应特别有用。,当 和 时，上式的Bode图如图9.37所示。PID控制器是一种具有可变增益的陷波型（或带阻型）校正器。,具有复零点的PID控制器为,
8、其中,9.9 设计实例：遥控侦察车,期望的速度 由无线电传送给侦察车，扰动 表示路面的凹凸不平。目标是实现良好的控制效果，即使系统对阶跃输入命令 的稳态误差和超调量都很低。,1）考察系统对阶跃输入的稳态误差：,，稳态误差为10%,2）开环传递函数为,表9.4 该设计实例的频率响应数据,由Nichols图可知，为，相位裕量为,超调量为61%。,为了降低阶跃响应的超调量，可以减少增益来实现预期的超调量。若要求将超调量限制在25%以下，则主导根的阻尼比选为0.4，。,为了减少增益，可以在图9.35所示的Nichols图上将频率响应曲线垂直向下移动。在 处，正好与 的闭环曲线相切。增益的减少量（垂直下
9、降量）等于13dB或4.5倍。于是。此时，阶跃输入下的稳态误差为,此时，超调量为。,将 时的响应向下移至，便可得到 时的频率响应曲线，超调量为，而稳态误差为。,作为适当的折衷，选取K=10.,由K=10时的Nichols图可知，最大幅值为 和相位裕量为。于是，所估计主导根的阻尼比为，超调量为。实际响应性能如表9.5所示。系统的带宽为。于是预计的调节时间（2%基准）为,秒,实际的调节时间约为5.4秒，如图9.36所示。,图 9.36,设R(s)=0，并运用终值定理，可求出单位阶跃扰动的稳态响应为,于是单位扰动减少了 倍。对于，有 或稳态扰动降低到扰动幅值的。因此，采用 得到的结果是比较合理的。,
