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1、导数恒成立问题导数恒成立问题 1已知函数f(x)=ax2+2ln(1-x) 若f(x)在x=-1处有极值，求a的值； 若f(x)在-3，-2上是增函数，求a的取值范围。 由已知得f(x)的定义域为(-，1) 又f(x)=2ax-2 1-x 3分 由题意得f(-1)=-2a-1=0 a=-1 2 5分 解法一：依题意得 f(x)0对x-3，-2恒成立，2ax- 2ax20 1-x 7分 1 9分 121-(x-)+24121121 Qx-3，-2，-(x-)+的最大值为-(-2-)+=-6 242411 的最小值为- 12分 1216-(x-)+241 又因a=-时符合题意 61 a-为所求 1
2、4分 62设函数f(x)=lnx+x+ax. 若x=221，a0, 即a22时， 要使f(x)在定义域(0，+)内为增函数, 只需在(0，+)内有2x+ax+10即可, 2设h(x)=2x2+ax+1， h(0)=10,由 得 a0, 所以a22. a-022由(1) (2)可知,若f(x)在其定义域内为增函数，a的取值范围是-22,+). 9分 3设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x). 求f (x)的单调区间； 若当x1-1,e-1时，不等式f (x)0，得x0；由f/(x)0，得-1x12+2. eee 当x1-1,e-1时，f (x)的最大值为e2-2. e2故当me-2时，不
3、等式f (x)0,得x1或x-1. 由g/(x)0, 得-1x1. 2 g(x)在0,1上递减, 在1,2上递增. 为使方程f(x)=x2+x+a在区间0, 2上恰好有两个相异的实根， g(0)0, 只须g(x)=0在0,1和(1, 2上各有一个实数根,于是有g(1)0, g(2)0. 2-2ln23-2ln3, 实数a的取值范围是 2-2ln20) x若f(x)在1,+)上单调递增，求实数a的取值范围； 220 解：由f(x)=ax+112-2lnx，得f(x)=2ax-2-. 2分 xxx 由函数f(x)为1,+)上单调增函数，得f(x)0在1,+)上恒成立， 12 即不等式2ax-2-0
4、在1,+)上恒成立. xx11+ 也即a在1,+)上恒成立. 4分 2x3x211+令g(x)=，上述问题等价于ag(x)max 322xx113+g(x)=g(1)=1,+)而g(x)=为在上的减函数，则 max22x3x23于是a为所求. 6分 225已知函数f(x)=xlnx. 求f(x)的最小值； 若对所有x1都有f(x)ax-1，求实数a的取值范围. 18. 解： f(x)的定义域为(0，+)， . 1分 f(x)的导数f(x)=1+lnx. . 3分 令f(x)0，解得x11；令f(x)0，解得0x1时，因为g(x)=11x1-x0， 故g(x)是(1，+)上的增函数， g(1)=1， . 12分 从而a的取(-，1. 4 . 10分 所以 g(x)的最小值是值范围是 . 13分
