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1、导数与单调性利用导数处理与不等式有关的问题 邮编： 浙江宁波鄞州区正始中学 王伍成 导数是研究函数性质的一种重要工具。例如求函数的单调区间、求最大值、求函数的值域等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质；因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。 一、 利用导数证明不等式 、利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于0时，则该函数在该区间上单调递增。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的
2、。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式： 1、直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增区间，自变量越大，函数值越大，来证明不等式成立。 x2例1：x0时,求证；x-ln(1+x)0 2x2x2证明：设f(x)= x-ln(1+x) (x0), 则f(x)=- 21+xx0,f(x)0时,f(x)f(0)=0，即x-ln(1+x)ae, 求证:abb a, (e为自然对数的底) 证：要证abb a只需证lnablnba 即证：blnaalnb0 a设f(x)=xlnaalnx (xae)；则f (x)=lna, xaae,xa lna1,0,因
3、而f(x)在上递增 xba,f(b)f(a)；故blnaalnbalnaalna=0；即blnaalnb 所以abb a成立。 lnbxlnbbb上的增减性要由e与的大小而定，当然由题可以推测e lnblnbb故f(x)在区间上的递减,但要证明e则需另费周折，因此，本题还lnb是选择以a为自变量来构造函数好，由本例可知用函数单调性证明不等式时， Page 1 of 5 如何选择自变量来构造函数是比较重要的。） 、利用导数求出函数的最值后，再证明不等式。 导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大值时不等式都
4、成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。 例3、求证：nN*,n3时，2n 2n+1 证明：要证原式，即需证：2n2n10,n3时成立 设f(x)=2x2x1(x3),则f(x)=2xln22(x3), x3,f(x)23ln320 f(x)在3，+ )上是增函数， f(x)的最小值为f(3)=23231=10 所以，nN*,n3时，f(n)f(3)0, 即n3时,2n2n10成立， xb例4、gA(x)=(-1)2+(-1)2的定义域是A=a,b)，其中a,bR+,a k(k+1)IkIk+12x22b2b2-+-证明：由题知g(x)= 223aaxx2x22b2
5、b2-+-g(x)= =0时x4ax3a2b2+a2bx=0 a2ax2x3即(x4a2b2)ax(x2ab)=0,化简得(x2ab)(x2ax+ab)=0 所以x2ax+ab =0或x2ab=0，0a0时xab,b), g(x) k(k+1)IkIk+13、利用导数求出函数的值域，再证明不等式。 14例5：f(x)=x3x, x1,x21,1时，求证：|f(x1)f(x2)| 332证明：f(x)=x1, x1,1时,f(x)0, 2f(x)在1,1上递减.故f(x)在1,1上的最大值为f(1)= 3222最小值为f(1)=-,即f(x)在 1,1上的值域为-,； 33322所以x1,x21
6、,1时，|f(x1)|, |f(x2)|, 33224即有 |f(x1)f(x2)|f(x1)|+ |f(x2)|+= 333二、利用导数解决不等式恒成立问题 不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为mf(x) (或m0时，解得0x, h(x)0时x 99 Page 3 of 5 439439所以h(x)在上递增，在上递减, 9944394 故h(x)的最大值为h=，所以a 999三、利用导数解不等式 例8：函数f(x)=x2+1-ax(a0),解不等式f(x)1 解：由题知f(x)=122x1+x2-a=x1+x2-a -1x1+x21 a1时,f(x)1a0恒
7、成立，故f(x)在R上单调递减， 又f(0)=1，所以x0时f(x)f(0)=1， 即a1时f(x)1的解为 x|x0 0a0时解得x(-,-a1-a2a)(a1-a2a) ,+), f(x)f(x)0时解得x(-1-a2,1-a2故f(x)在(-a1-a2a,a1-a2)或()上单调递减， af(x)在(-,-1-a21-a22a1-a2,+)上单调递增， 又f(x)=1时解得x=0或x=， 且0a1时0a1-a22a1-a22a1-a2所以0a1时f(x)1的解为x|0x Page 4 of 5 由上得，a1时f(x)1的解为 x|x0 0a1时f(x)1的解为x|0x2a1-a2 总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决。这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现。 参考资料： 赵大鹏：3+X高考导练.数学，中国致公出版社 王宜学：沙场点兵.数学，辽宁大学出版社 状元之路.数学 Page 5 of 5
