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1、导数的综合应用精典例题解析导数的综合应用精典例题解析 题型一：利用导数研究函数的单调性、极值、最值 例1：已知函数f(x)=lnx+a x若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线x-y-1=0平行，求实数a的值；求函数f(x)的极大值； 解：函数f(x)的定义域为x|x0, 所以f(x)=1-lnx-a. x2又曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与直线x-y-1=0平行， 所以f(1)=1-a=1,即a=0. 令f(x)=0,得x=e1-a. 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： x f(x) f(x) (0,e1-a) + e1-a 0 极大值 (e1-a,+)
2、 来源学。科。网Z。X。X。K由表可知：f(x)的单调递增区间是(0,e1-a)，单调递减区间是(e1-a,+) 所以f(x)在x=e1-a处取得极大值，f(x)极大值=f(e1-a)=en-1. 例2：已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c 过曲线y=f(x)上的点P(1,f(1)的切线方程为y=3x+1 。 若函数f(x)在x=-2处有极值，求f(x)的表达式；在的条件下，求函数y=f(x)在3，1上的最大值； 若函数y=f(x)在区间2，1上单调递增，求实数b的取值范围 解：由f(x)=x3+ax2+bx+c,求导数得f(x)=3x2+2ax+b. 过y=f(x)上点P(1,f(1)的
3、切线方程为： y-f(1)=f(1)(x-1),y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1). 而过y=f(x)上P1,f(1)的切线方程为y=3x+1 1 3+2a+b=3故a-c=-32a+b=0 y=f(x)在x=-2时有极值,故f(-2)=0,-4a+b=-12 即a-c=-3 由得 a=2，b=4，c=5 f(x)=x3+2x2-4x+5. f(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2). 当-3x0;当-2x2时,f(x)0; 32 当0.f(x)极大=f(-2)=13 又f(1)=4,f(x)在3，1上最大值是13。3y=f(x)在2，1上单调递增，又f(x)=3x2+
4、2ax+b,由知2a+b=0。 依题意f(x)在2，1上恒有f(x)0，即3x2-bx+b0. b1时,f(x)min=f(1)=3-b+b0,b6； 6b 当x=-2时,f(x)min=f(-2)=12+2b+b0,bf； 6612b-b20,则0b6. 综上所述， 当-21时,f(x)min=参数b的取值范围是b12 当x=0,+) 例3：已知f(x)= (1)当|a| 23x-2ax2-3x (aR). 311)内是减函数; 时, 求证：f(x)在(-1, 41)内有且只有一个极值点, 求a的取值范围. (2)若y=f(x)在(-1, 23x-2ax2-3x,f(x)=2x2-4ax-3
5、. 31f(-1)=4(a-)014|a|, , 4f(1)=-4(a+1)04又二次函数f(x)的图象开口向上, 在(-1, 1)内f(x)014(2)设极值点为x0(-1x时, , 4f(1)=-4(a+1)041)内f(x)0, 在( x0, ( x0, 1)内是减函数. 1当a时f(x)在(-1, 1)内有且只有一个极值点, 且是极大值点. 41当a-时, 同理可知, f(x)在(-1, 1)内且只有一个极值点, 且是极小值点. 42 当-11a时, 由(1)知f(x)在(-1, 1)内没有极值点. 故所求a的取值范围为4411(-, -)U(, +) 44例4：已知函数f(x)=aI
6、nx-ax， 求f(x)的单调递增区间； 32/若f(2)=1，记函数g(x)=x+x(f(x)+)，若g(x)在区间上总不单调，求m2实数m的范围； 解：Qf(x)=-a(x-1)；a0,递增区间为x增区间。 依题意a=-2,g(x)=x+3m+2x2(-2x)，所以g(x)=3x2+(m+4)x-2=02有正负两个根，依题意必有正根在区间上，由根的分布可得g(1)0得：-37m-5 3练一练： 1、已知函数f(x)=x2eax,其中a0,e为自然对数的底数. 讨论函数f(x)的单调性； 求函数f(x)在区间0，1上的最大值. 2ax解：f(x)=(2x+ax)e,a0 1a=0，f(x)=
7、2xe0x0，f(x)在(-,0)上单调减，在(0,+)上单调增； 2a0) x(0,1,减区间为1,+) 当a0时,f(x)的单调增区间为当a0时,f(x)的单调增区间为1,+),减区间为(0,1; 当a=1时，f(x)不是单调函数 3a3=得a=-2,f(x)=-2lnx+2x-3 f(4)=-421mg(x)=x3+(+2)x2-2x,g(x)=x2+(m+4)x-2 32Qg(x)在区间(1,3)上不是单调函数,且g(0)=-2 解：f(x)=g(1)0.m,3 求函数f(x)的单调递减区间； 当a0时，若对x0,3有f(x)4恒成立，求实数a的取值范围 解：f(x)=3x-12ax+
8、9a=3(x-a)(x-3a)0，不成立 当a3a，即a0时，单调减区间为(3a,a) 当a0时，单调减区间为(a,3a) f(x)=3x2-12ax+9a2=3(x-a)(x-3a)，f(x)在(0,a)上递增，在(a,3a)上递减，在(3a,+)上递增 当a3时，函数f(x)在0,3上递增，所以函数f(x)在0,3上的最大值是f(3)， 若对x0,3有f(x)4恒成立，需要有f(3)4,解得a a3,当1a3时，有a33a，此时函数f(x)在0,a上递增，在a,3上递减，所以函数f(x)在0,3上的最大值是f(a)， 若对x0,3有f(x)4恒成立，需要有f(a)4, 解得a=1 1a3,
9、当a3a，此时函数f(x)在a,3a上递减，在3a,3上递增， 所以函数f(x)在0,3上的最大值是f(a)或者是f(3)由f(a-)2f(=3)a-(3，a-) (43)f(3)4,30a时，f(a)f(3)，若对x0,3有f(x)4恒成立，需要有3 40a,4解得a1-233, 94f(a)4,3af(3)，若对x0,3有f(x)4恒成立，需要有3 4a0). 令F(x)=xf(x)，讨论F(x)在内的单调性并求极值； 求证：当x1时，恒有xln2x-2alnx+1. 5 x (0，2) 2 (2，+) 解：根据求导法则有2lnx2af(x)=1-+，x0，故 xxF(x) - 0 极小值
10、F(2) + F(x) F(x)=xf(x)=x-2lnx+2a，x0，于是F(x)=1-2x-2=，x0，列表如右： xx2)内是减函数，在(2，+)内是增函数， 所以，在x=2处取得极小值故知F(x)在(0，F(2)=2-2ln2+2a 证明：由a0知，F(x)的极小值 F(2)=2-2ln2+2a0+)，于是由上表知，对一切x(0，恒有F(x)=xf(x)0从+)内单调增加所以当x1时，而当x0时，恒有f(x)0，故f(x)在(0，f(x)f(1)=，即0x-1-ln2x+2alnx0 故当x1时，恒有xlnx-2alnx+1 例3：若存在实常数k和b，使得函数f(x)和g(x)对其定义
11、域上的任意实数x分别满足：已知f(x)kx+b和g(x)kx+b，则称直线l:y=kx+b为f(x)和g(x)的“隔离直线”2h(x)=x2，j(x)=2elnx 求F(x)=h(x)-j(x)的极值； 函数h(x)和j(x)是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由 解：(1) QF(x)=h(x)-j(x)=x-2elnx(x0)， 2F(x)=2x-2e2(x-e)(x+e) =xx当x=e时，F(x)=0 Q当0xe时，F(x)e时，F(x)0，此时函数F(x)递增；当x=e时，F(x)取极小值，其极小值为0 e处有公共点，因此若存在h(x)和j(x)的隔离直线
12、，则该直线过这个公共点设隔离直线的斜率为k，则直线方程为y-e=k(x-e)，即 (2)由可知函数h(x)和j(x)的图象在x=y=kx+e-ke 由h(x)kx+e-ke(xR)，可得x2-kx-e+ke0当xR时恒成立 6 由D0，得k=2e 下面证明j(x)2ex-e当x0时QD=(k-2e)2，恒成立 令G(x)=j(x)-2ex+e=2elnx-2ex+e，则G(x)=2e2e(e-x)， -2e=xx当x=e时，G(x)=0 当0x0，此时函数G(x)递增； e时，G(x)0)恒成立 当x函数h(x)和j(x)存在唯一的隔离直线y=2ex-e qp例4：设 f (x) = px 2
13、 ln x，且 f (e) = qe 2 xe(I) 求 p 与 q 的关系； (II) 若 f (x) 在其定义域内为单调函数，求 p 的取值范围； (III) 设 g(x) = 值范围. qp1解：(I) 由题意得 f (e) = pe 2ln e = qe 2 (pq) (e + ) = 0 eee0 p = q px 22x + ppp2 (II) 由 (I) 知 f (x) = px 2ln x f(x) = p + 2 = xxxx 2令 h(x) = px 22x + p，要使 f (x) 在其定义域 (0,+) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+) 内满足：h(x)0
14、或 h(x)0 恒成立. 2x 当 p = 0时， h(x) = 2x， x 0， h(x) 0， f(x) = 2 0时，h(x) = px 22x + p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x = (0,+)，p 1h(x)min = p p1而 e + e2e ，若在 1,e 上至少存在一点x0，使得 f (x0) g(x0) 成立, 求实数 p 的取x1只需 p 1，即 p1 时 h(x)0，f(x)0 f (x) 在 (0,+) 内为单调递增，故 pp1适合题意. 1 当 p 0时，h(x) = px 22x + p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x = (0,+) p只需
15、h(0)0，即 p0时 h(x)0在 (0,+) 恒成立. 故 p 0 2 ) 0 pxx11maxx + x + xxp1 1x + 2x 22 = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ( ) = 1 1max1x + x xx122x2x p( 2 )，x 0 2 ) 0 p 2xxx + 1x + 1min2由 f(x)0 p (1 + 而 22x2x 0 且 x 0 时， 2 0，故 p0 综上可得，p1或 p0 x + 1x + 12e 在 1,e 上是减函数x = e 时，g(x)min = 2，x = 1 时，g(x)max = 2e 即x(III) g(x) = g(x) 2,
16、2e p0 时，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 递减 f (x)max = f (1) = 0 2，不合题意。 111 0 p 1 时，由x 1,e x 0 f (x) = p (x )2ln xx 2ln x，xxx右边为 f (x) 111当 p = 1 时的表达式，故在 1,e 递增 f (x)x 2ln xe 2ln e = e 2 xee2，不合题意。 p1 时，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 连续递增，f (1) = 0 g(x)min = 2，x 1,e f (x)max = f (e) = p (e )2ln e 2 e p 4e4e 综上，p 的取值范围是
17、 ( ,+) e 21e 21练一练： 1、已知函数f(x)=x+a+b(x0)，其中a,bR. x讨论函数f(x)的单调性； 若对于任意的a,2，不等式f(x)10在,1上恒成立，求b的取值范围. 24 2、已知二次函数f(x)满足：在x=1时有极值，图象过点，且在该点处切线与直线2x+y=0平行.求f(x)的解析式； 若曲线y=f(e)上任意两点的连线的斜率恒大于a+x111，求a的取值范围. a 8 3、设f(x)=a+xlnx, g(x)=x3-x2-3, x(I)当a=2时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程; (II)如果存在x1,x20,2, 使得g(x1)-g(x2)M成立
18、，求满足上述条件的最大整数M (III)若对于任意的s,t1,2, 都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围； 2题型三：利用导数研究方程的根 vv13例1：已知平面向量a=(3,1). b=(,). 22vvvvvuvvvu2若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t3)b，y=-ka+tb，xy，试求函数关系式k=f(t) ； 据(1)的结论，讨论关于t的方程f(t)k=0的解的情况. vvuvvuvvvvv22 解：(1)xy，xy=0 即a+(t-3) b(-ka+tb)=0. 整理后得-ka+t-k(t2-3) vvv22ab+ (t-3)b=0 vvv2v21ab=0，a=4
19、，b=1，上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3) 411(2)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)= t(t2-3)与直线y=k的交点个44数. 33于是f(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1). 令f(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f(t)、f(t)的变44化情况如下表： t f(t) F(t) (-,-1) + -1 0 极大值 (-1,1) - 1 0 极小值 (1,+ ) + 当t=1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=函数f(t)= 11. 当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值= 2212t(t-3)的图
20、象如图1321所示，可观察出： 411(1)当k或k时,方程f(t)k=0有且只有一解； 2211(2)当k=或k=时,方程f(t)k=0有两解； 2211 (3) 当k时,方程f(t)k=0有三解. 222例2：已知函数f(x)=-x+8x,g(x)=6lnx+m.问是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。 解：函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数j(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.因为 j(x)=x2-8x+6lnx+m, 9 62
21、x2-8x+62(x-1)(x-3)=(x0), 所以,j(x)=2x-8+=xxx当x(0,1)时，j(x)0,j(x)是增函数； 当x(1,3)时，j(x)0,j(x)是增函数； 当x=1,或x=3时，j(x)=0. 于是,j(x)max=j(1)=m-7,j(x)min=j(3)=m+6ln3-15. Q当x充分接近0时，j(x)0. 因此,要使j(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 j(x)极大=m-70, 即7m15-6ln3.所以存在实数m，使得函数j(x)极小=m+6ln3-150，使得方程等的实数根？若存在，求出a的取值范围？若不存在，请说明理由。 121ax2
22、+2x-1解：由已知，得h(x)= ax+2x-lnx, 且x0, 则h(x)=ax+2-=, 2xx 函数h(x)存在单调递增区间, h(x)0有解, 即不等式ax2+2x-10有x0的解. 当a0的解, 则方程ax2+2x-1=0至少有一个不重复正根, 而方程ax2+2x-1=0总有两个不相等的根时, 则必定是两个不相等的正根. 故只需=4+4a0, 即a-1. 即-1a0 时, y= ax2+2x-1的图象为开口向上的抛物线, ax2+2x-10 一定有x0的解. 综上, a的取值范围是(-1, 0)(0, +) g(x)lnxlnx=f(x)-(2a+1)即为=ax+2-(2a+1),
23、 =ax+(1-2a), 等价于方程xxx1ax2+(1-2a)x-lnx=0 . 设H(x)= ax2+(1-2a)x-lnx, 于是原方程在区间(,e)内根的问题, 转e1化为函数H(x)在区间(,e)内的零点问题. e方程12ax2+(1-2a)x-1(2ax+1)(x-1)=H(x)=2ax+(1-2a)-= xxx当x(0, 1)时, H(x)0, H(x)是增函数； 若H(x)在(,e)内有且只有两个不相等的零点, 只须 1e 10 1a21-2a(1-2e)a+e2+e0H(e)=e2+e+1=2ee2+e解得1a, H(x)min=H(1)=a+(1-2a)=1-a0所以a的取
24、值范围是(1, e2+e) 2e-1练一练： 1、已知函数f(x)=1413x+ax-a2x2+a4 (a0)若函数f(x)的图象与直线y=1恰有4332+x2-ax2x=xa+(xa2-)(=两个交点，求a的取值范围 解：令f(xx)=)0，得x1=-2a，x ，2=03x=a在a0的已知条件下，f(x)及f(x)随x的变化情况列表如下： x f(x) -2a) (-，- 减 -2a 0 极小值 0) (-2a，0 0 极大值 (0，a) - 增 a +) (a，+ 增 0 极小值 + 减 f(x) 所以f(x)的递增区间为(-2a, 0)与(a,+)，f(x)的递减区间为(-,-2a)与(
25、0,a) 要研究函数y=f(x)的图象与直线y=1的交点的情况,就要考虑函数y=f(x)的极4大值和极小值相对于y=1的位置.由得到f(x)极小值=f(-2a)=-a，53f(x)极小值=f(a)=74a，f(x)极大值=f(0)=a4， 12 y y-2a y = 1aO y = 1x-2aOax由图可知，要使f(x)的图象与直线y=1恰有两个交点，只需 (1) 两个极小值一个大于1且另一个小于1,即-a415374a; 12 11 4(2) 极大值小于1,即a2、已知x=412或0a0 0 x 函数 的单调增2xx2xxx/区间为,+g(x)=f(x)-=2x+lnx 设过点与曲线g (x
26、)的切线的切点坐标为(x0,y0) y0-5=g/(x0)(x0-2) 即2x0+lnx0-5=(2+121x21212)(x0-2) lnx0+-2=0 令h(x)=lnx+-2 h/(x)=-2=0 xx0x0xx12x=2 h(x)在上单调递减，在上单调递增 Q又h=2-ln20，h(2)=ln2-10 e2h(x)与x轴有两个交点 过点可作2条曲线y=g(x)的切线. 题型四：导数与不等式的综合 lnx+1 当x1时，求证：f(x)1 xlnx+1lnx+1.由于x1,+),要证f(x)=1, 只需证明lnx+1x. 解：当f(x)=xx1x-1. 因为x1，所以令h(x)=x-lnx
27、-1,则h(x)=1-=xx例1：已知函数f(x)=h(x)0,故h(x)在1,+)上单调递增， 当x1有时,h(x)h(1)=0,即lnx+1x成立。故当x1时，来源学。科。网lnx+11,即f(x)1. x例2：已知f(x)=xlnx 求函数f(x)在t,t+2(t0)上的最小值 证明对一切x(0,+)，都有lnx12-成立 exex12 解：11tt+2，即t时，f(x)在t,t+2单调递增， eef(x)min110tx-成xeee问题等价于证明xlnx立 例3：已知函数f(x)=ex-x ； 求f(x)的最小值； 设不等式f(x)ax的解集为P，且x|0x2P，求实数a的取值范围；
28、nkne设nN，证明：0，解得x0;令f(x)0,解得xax的解集为P，且x|0x2P，所以对于x0,2，不等式f(x)ax恒成立 x又由f(x)ax得(a+1)xe，当x=0时，上述水等式显然成立，故只需考虑x(0,2exex-1，令g(x)=-1，则g(x)的导数的情况，将(a+1)xe变形为a0得x1,令g(x)0得x1,从而得g(x)在(0,1)内单调x2递减，在(1,2)内单调递增；所以当x=1时，g(x)取得最小值e-1，从而得实数a的取值范围是(-,e-1) 由得对于xR，都有ex-x1，即1+xex，令 13 ii-inx=-(nN*,i=1,2,3,L,n-1)则01-e n
29、ni-nin(1-)(e)n=e-i(i=1,2,3,L,n-1)nkn1n2n3nn-1nnn-(n-1)-(n-2)-(n-3)=+=e+e+e+L+e-1+1 nnnnnk=1n又因为en-(n-1)n+e-(n-2)+e-(n-3)1-e-n1e+L+e+1= 1-e-11-e-11-e-1所以ekn0，求函数f(x)在m,2m的最大值； 证明：对于任意的nN，不等式ln( 2、已知函数f(x)=2x,g(x)=alnx(a0) 若不等式f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围； *1+ne1+n)成立 nnn2+n-2(n2,nN*)成立 证明：不等式ln2+ln3+ln4+L+l
30、nn2e题型五：导数与线性规划的结合之处 例1:已知函数f(x)=13x+bx2+cx的两个极值点分别为a,b，f(x)在点3处的切线为l1，其斜率为k1；在点处的切线为l2，其斜率为k2 若l1l2，|a-b|=1，求b,c; 若a(-3,-2),b(0,1)，求k1的取值范围。 14 32例2:已知函数f(x)=ax-bx+(2-b)x+1在x=x1处取得极小值，在x=x2处取13得极大值，且0x11x20; (2)求a+2b的取值范围； 题型六：导数与平面解析几何的结合之处 例1：设抛物线y=x2与直线y=x+a有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l1，l2，求值a变化时l1与
31、l2交点的轨迹。 解答：将y=x+a代入y=x2整数得x2xa=0,为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须= (1)24a0，所以a1 4设此两交点为(，2)，(, 2)，由y=x2知y=2x，则切线l1，l2的方程为y=2x2，y=2x2. a+bx=两切线交点为(x，y) 则 2 y=ab因为，是的解，由违达定理可知=1，=a 11，y=a 2411从而，所求的轨迹为直线x=上的y的部分 24由此及可得x= 例2：已知双曲线C:y=m(m0)与点M. x求证：过点M可作两条直线，分别与双曲线C两支相切； 设中的两切点分别为A、B，其MAB是正三角形，求m的值及切点坐标。 解答：证明：设Q(
32、t,m)C，要证命题成立只需要证明关于t的方程y|x=t=kMQt15 有两个符号相反的实根。 y|x=t=kMQ2m-1mt-2=t2-2mt+m=0，且t0，t1。 tt-1设方程t-2mt+m=0的两根分别为t1与t2，则由t1t2=m0，知t1，t2是符号相反的实数，且t1，t2均不等于0与1，命题获证。 设A(t1,mm),B(t2,)，由知，t1+t2=2m，t1t2=m，从而 t1t2t1+t21mmm(t1+t2)2m2 =m,(+)=m，即线段AB的中点在直线y=x上。22t1t22t1t22mmm-m(t1-t2)t2t1=-1，AB与直线y=x垂直。 t2-t1t2t1(t2-t1)又QkAB故A与B关于y=x对称， 设A(t,mm)(t0)，则B(,t) tt有t2-2mt+m=0 由kMAmt2=-2,kMB=-,AMB=60及夹角公式知 tm-t2m+2mt2mttan60=，即2-=23 t2mtm1+2mtt2由得m=
