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1、导数应用含参函数的单调性讨论导数应用：含参函数的单调性讨论(一) 一、思想方法： f(x)0xAUBU.f(x)增区间为A,B和.f(x)0f(x)在区间D上为增函数 xD时f(x)0(x0)恒成立， 此时f(x)在(-,0)和(0,+)都是单调增函数， 即f(x)的增区间是(-,0)和(0,+); II) 当a0时 f(x)0(x0)xa f(x)0(x0)-ax0或0x0) (它与g(x)=x+a同号) I）当a0时，f(x)0(x0)恒成立， 此时f(x)在(0,+)为单调增函数， 1 即f(x)的增区间为(0,+)，不存在减区间; II) 当a0(x0)x-a; f(x)0)0x0)
2、(它与g(x)=ax+1同号) xx1没有意义） a 此时f(x)在(0,+)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,+) 当a=0时，f(x)0(x0)恒成立 1不在定义域内，没有意义） a此时f(x)在(0,+)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,+) 1 aIII) 当a0) , 它与g(x)=ax2+1同号. 令f(x)=0ax2+1=0(x0)， 当a0时，无解；当a0(x0)恒成立 此时f(x)在(0,+)为单调增函数，即f(x)的增区间为(0,+) ii)当a0时，f(x)0(x0)恒成立， (此时 方程ax2+1=0判别式D0,方程无解) 此时f(x)在(0,+)为单调增函
3、数，即f(x)的增区间为(0,+) iii) 当a0时, 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号) x (0,-11a) -a (-1a,+) f(x) + 0 - f(x) 增 减 所以， 此时f(x)在(0,-1a)为单调增函数，f(x)在(-1a,+)是单调减函数， 即f(x)的增区间为(0,-1a);f(x)的减区间为(-1a,+). 小结： 一般最后要综合讨论情况，合并同类的，如i),ii)可合并为一类结果。 对于二次型函数讨论正负一般先根据二次项系数分三种类型讨论。 例3 求f(x)=a2x3+ax2-x-1的单调区间 解：f(x)=a2x3+ax2
4、-x-1的定义域为R， f(x)=3a2x2+2ax-1=(3ax-1)(ax+1) I) 当a=0时，f(x)=-10，f(x)是开口向上的二次函数， 令f(x)=0得x11=3a,x12=-a(a0), 因此可知 i) 当a0时，x1x2 f(x)0x1113a;f(x)0-ax3a3 所以此时，f(x)的增区间为(-,-)和(ii) 当a0时，x1-;3aa11f(x)0x0x0a2时 2-a-a2-4-a+a2-4,x2=,x10,(f)x在(0,+上单调递增；) 若-a0即a0得x-a由,f(x)得0x-af(x)在(-a,+上单调递增),在(0,-a)上单调递减. 总之，当a0时，
5、f(x)在(0+,上单调递增；) 当a0x1;f(x)00x0即a1时， 若a-1=1即a=2时，f(x)=(x-1)2 x0, 故f(x)在(0,+)单调递增. 若0a-11,即1a2时， 由f(x)0得，a-1x0得，0x1 故f(x)在(a-1,1)单调递减，在(0,a-1),(1,+)单调递增. 若a-11,即a2时， 由f(x)0得，1x0得，0xa-1 故f(x)在(1,a-1)单调递减，在(0,1),(a-1,+)单调递增. 综上所述，当a1，f(x)单调增区为 (1,+),减区间是(0,1); 当1a2时，f(x)的减区间是(1,a-1)，在增区间是(0,1),(a-1,+). 注意：必须问什么答什么，分类讨论最后必须有综述. 5
