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1、小增益定理第三章 44 其它数学基础 无论是模式跟随或极点安置的设计，皆须要寻找适当的多项式(z)及(z)以满足Diophantine Equation，也就是(z)(z)+(z)(z)=(z)，在此我们将讨论(z)及(z)存在的条件。 我们将证明，只要(z)及(z)为互质(coprime)，也就是(z)及(z)没有相同的根，则对于任意的(z)，一定存在一组适当的(z)及(z)来满足(z)(z)+(z)(z)=(z)。 首先，我们可以将(z)、(z)、(z)、(z)及 (z) 分别展开如下： nn(z)=l=0aizn-i,(z)=l=0bizn-i,a0=1,b0=0 其中p为(z)及(z)
2、的阶数，而ai、bi、gi、si及mi皆为实常数。 则我们可以将 (z)(z)+(z)(z)=(z) 展开成如下的系数方程式： (z)=l=0sizp-i,(z)=l=0mizp-i,(z)=l=0gizn+p-i,g0=1 ppn+p三.1 Diophantine Equation的相关数学 b0a0MOg0s0m0MOPsWP=D,D=M,Q=ana0bnb0,P=,Ps=M,Pm=M (3.1) Pmgp+nspmpOMOManbn 接着，问题就变成是对系数矩阵W跟系数向量D求系数向量P。显然地，问题的解必为 P=W-1D (W为方阵, p=n-1) (3.2) 系数矩阵W有n+p+1列
3、跟2(p+1)行，因此将在p=n-1成为方阵。此时，如果W的逆矩阵存在，则系数向量P的解便是如(3.2)式所示。 45 但要确保矩阵W为可逆(invertible)，其条件如下面的定理一所示： 定理一：矩阵W为左面可逆的充分条件为pn-1以及(z)跟(z)互质。 证明：我们将以反证的方式，以其逆为伪来证明定理为真。 假设矩阵W=0，则将存在一个向量P使得WP=0。 r 其次，P的元素可以组成两个多项式(z)及(z)。 r 又由于WP=0，因此(z)及(z)将满足 (z)(z)+(z)(z)=0(z)(z)。 =-(z)(z)r 然而，若(z)跟(z)为互质，则上面的分式恒等式要成立，(z)必须
4、与(z)同阶；r换言之，(z)的阶数必须为n。 这意谓着在所有pn-1，则p从p=n-1起每加一阶，矩阵W将增加一列暨两行，而且新增的两行皆与前行线性独立，因此pn-1之后的矩阵W将保持为可逆。 - 在pn-1之后，矩阵W的行数将多于其列数，此时，W为可逆的意思是指理论上P的解仍然存在，但是因为这时候(3.1)式的未知数将多于其限制条件，因此P将有无穷多的解。 另外，定理一之中矩阵W为左面可逆的条件皆为充分但非必要。换言之，(3.1)式的解有可能于pn-1之际存在。 - 在p2n。 (3.8) 范例3.3： - 将范例 3.2的u(k)及y(k)代入(3.8)式，则可计算得： Z=-QQ-1Q
5、Y=0.90.80.70.610.5-0.5-0.7 - 50 在实务上，以(3.8)式来倒求ai跟bj有以下的几点注意事项： (1) 要将u(k)及y(k)代入Q矩阵，必须知道系统的阶数n的值。然而，我们之所以要倒求ai跟bj，必是因为系统的模式为未知。既然如此，则我们又如何知道n的值为何？ (2) 为此，我们可使用一个猜测的n值进行计算，然后以所得的Z，计算E=QZ+Y，再以e=EE的值来评估答案。若e0则所得的Z为正确；否则尝试下一个n值的解。 (3) 有时候，虽然用于计算的n值小于系统的阶数，却是仍然让e0。通常，这代表系统的极零点之间有近乎对消的情形，因此系统的实际阶数小于分母多项式
6、的阶数。 范例3.4： - 将范例3.1的四阶系统取单位步阶响应u(k)及y(k)，然后将这些数据在n=2跟n=3的假设条件下分别代入(3.8)式。则当我们取n=3之时，Z的解跟这个解的误差分别为 Z=0.25380.36230.60831-0.1462-0.6866 这结果代表着范例3.1的四阶系统若以下列的三阶系统来近似 y(z)z2-0.1462z-0.6866=3， 2u(z)z+0.2538z+0.3623z+0.6083则其近似误差将只有 4.510。至于以n=2用在(3.8)式的解 Z=-0.52270.770210.9069 更代表着范例3.1的四阶系统甚至可以下列的二阶系统来
7、近似 y(z)z+0.9069， =2u(z)z-0.5227z+0.770210.80.60.40.20-0.2-0.4-0.60Plantn = 3n = 2e=4.510-4 -45101520253035404550圖 3.151 而其近似误差也将只有e=0.0024。 - 52 对闭回路系统而言，由于控制器u(z)=F(z)r(z)-Q(z)y(z)的使用，造成系统里的变量除了输出y(k)及控制u(k)之外，还加上指令讯号r(k)。因此，数据之间的关联方程式将更形复杂。 m0zp+L+mp(z)zp=p 首先，因为Q(z)=及F(z)=，使得下式成立： p-1(z)(z)z+s1z+
8、L+spz1+s1zp(-1+L+spzp-p 将上式通除以zp，并透过f(kl)zlf(z)的特性，则y(k)、u(k)及r(k)将满足 p)u(z)=z r(z)-zp(m0+m1z-1L+mpz-p)y(z)。 (3.9) p 假设r(k)在k=0开始，则因果律的限制将使得u(0)=r(0)以及y(0)=0。如此，则所有k0的y(k)、u(k)及r(k)序号将因为上述的恒等式，而得以组成下列的矩阵方程式： u(0)MOu(0)MMMMMu(k+p)Lu(k)0l=0u(k-l)sl+l=0y(k-l)ml=r(k),k,s0=1。 (3.10) s0My(1)Or(0)MO0spm=M。
9、 (3.11) My(1)0r(k)MMMmy(k+p)Ly(k)p 注意上面的y(k)、u(k)及r(k)皆为闭回路之下的数据。 这个矩阵恒等式即称为闭回路系统的时域数据关联方程式。 53 范例3.5： - 对于如下的开回路系统 z2+z+1y(z)=32u(z)， z+z+z+1其数字控制器设计为 z2r(z)+0.9z2+0.7z+0.1y(z)u(z)=， 2z+0.8+0.6则其闭回路系统可写成 z2(z2+z+1)y(z)=5r(z)。 432z+0.9z+0.8z+0.7z+0.6z+0.5令r(k)1,k0，则y(k)及u(k)的闭回路响应可以列如下表： k0123456789
10、10r(k)11111111111u(k)11.11.211.3310.46410.51050.96160.99771.03151.06200.6884y(k)011.11.210.3310.36410.40050.84060.86460.88510.5010 将上面的r(k)、u(k)及y(k)代入(3.11)式以为验证，如下： 000001111.1101000.811.211.111.1100.61= = 完全吻合 1.211.11.211.11-0.911.3310.46411.3311.210.3311.211.1-0.710.51050.46411.3310.36410.3311.
11、21-0.11 - () 54 另一方面，开回路系统，y(z)=W(z)u(z)，的单位脉冲响应(unit pulse response，记为h(k)，乃系统在u为单位脉冲(图3.2a)之下的响应，并且h(k)满足以下的线性条件： (1) 若u的脉冲时序改变，则h(k)的时序也随着改变(图3.2.b)。 (2) 另外，若脉冲的振幅变了，则h(k)也成比例变化(图3.2.c)。 u01123圖3.2.a.k01u23y(k)=h(k-2)0123.k01圖3.2.b.k0u三.3 时域数据之回归(Convolution)运算 s圖3.2.cky(k)=h(k)0123.k123.y(k)=s h
12、(k-2)123.k在这些线性条件之下，我们另外可以列出 t 在k=0的单一u(0)脉冲之下： y(k)=y0(k)=u(0)h(1)u(0)h(2)u(0)h(3)u(0)h(4)L tk=1 在的单一u(1)脉冲之下： y(k)=y1(k)=0u(1)h(1)u(1)h(2)u(1)h(3)L t 在k=2的单一u(2)脉冲之下： y(k)=y2(k)=00u(2)h(1)u(2)h(2)L 最后，若是u(0),u(1),u(2),L,u(k)接连著作用，则输出y(k)将满足 tttty(k)=y0(k)+y1(k)+y2(k)+L+yk(k),k (3.12) 以矩阵的型式表示，则(3.
13、12)式可以写为 y(1)h(1)u(0),U=M (3.13) Y=HU,Y=M,H=MOy(k)h(k)Lh(1)u(k-1)第(3.13)式即称为离散动态系统的回归(convolution)运算。 55 注意在(3.13)式里，这是由于因果律的关系，使得y(k)u的值是从0到k-1但y的值则是从1到k，的值只受u(0),L,u(k-1)的影响，而不受u(k)的影响。 另外，第(3.13)式里的y(k)序列必须是在系统初始状态为零之下所取得的数据，如果系统初始Y=HU的公式就必须予以调整，兹讨论如下： 状态不为零，则 首先，如果初始状态不为零，则即便在u(k)0之下，系统仍会有如下的响应输
14、出： - 以(3.3)式的开回路系统为例，假设其有初始状态，y(0)=u0,L,y(1-n)=u1-n，则在u(k)0之下的系统输出可根据(3.5)式产生如下： ty(1)=-a1y(0)-L-any(1-n)=-a1u0-L-anu1-ny(2)=ay(1)-ay(0)-L-ay(1-n)=ay(1)-au+L+au 12n120n-12-nMt- 注意上面这些因为初始状态而滋生的系统输出是用y(k)表示，以便让它跟因为控制输入所激发的系统输出相区别。 t 这些y(k)由于是因为初始状态所滋生，因此称为初始状态响应。 t 又由于y(k)由于是在控制输入为零的状态下所产生，因此又称为零输入响应
15、。 当系统的初始状态不为零之时，这些初始状态响应将附加在控制输入所激发的系统输出，而使得第(3.13)式必须修正为以下的型式： y(1)Y=HU+Z,Z=M (3.14) y(k) 第(3.14)式即为包含了初始状态响应的完整回归方程式。 56 对于如(3.3)式所示的数字系统 y(z)=W(z)u(z),W(z)=(z)=zn+a1zn-1+L+an,(z) (z)(z)=b1zn-1+L+bn 将存在有两种方法来计算其在任意的初始状态以及任意u(k)序列下的系统输出响应。 (1) 准备初始状态，y(0),L,y(1-n)，以及控制讯号u(k)，然后根据第(3.5)式的ARMA法则来依次计算
16、y(1),y(2),L,y(k)。 t(2) 分开计算系统的初始状态响应y(k)跟W(z)的单位脉冲响应h(k)，然后以(3.14)式来计算y(1),y(2),L,y(k)。 以单次计算而言，方法(1)较方法(2)简单，但如果是同时要对几组不同的控制讯号u(k)计算则对每一个u(k)序列，整个方法(1)的计算都必须重新做一次，但在方法(2)，y(1),y(2),L,y(k)，则相同的H跟Z可以重复地用于(3.14)式，因此较为省事。 方法(2)，或说(3.14)式，可以让我们执行数值化的设计(第六章)。 57 范例3.6： - 以范例3.2的系统来说，它的开回路的转移函数显示了 或 z4(1+
17、0.9z-1+0.8z-2+0.7z-3+0.6z-4)y(z)=z-4(z-1+0.5z-2-0.5z-3-0.7z-4)u(z)， y(k)=-0.9y(k-1)-0.8y(k-2)-0.7y(k-3)-0.6y(k-4) +u(k-1)+0.5u(k-2)-0.5u(k-3)-0.7u(k-4)。 假设初始状态，y(0)=1及y(k)=0,k1 其次，HCL(jw)E(jw)1,w 代表着下面两者之一为真： HCL(jw)E(jw)1,w 或者 HCL(jw)E(jw)1,w。HCL(jw)E(jw) =1 - 基本上，频宽的限制将使得limwHCL(jw)=0，造成 HCL(jw)E(
18、jw) 1,w 的情况不可能成立。 - 所以，唯一的可能是让 HCL(jw)E(jw)1,w。 因此，HCL(s)的稳定条件便成为 HCL(jw)E(jw)1,w。= 小增益定理 - 这个强轫稳定条件之所以称为小增益定理，是由于 HCL(jw)E(jw)1 将表示 62 D(jw)H(jw)，因此只适用于当D(jw)是一个小的误差之时。 原则上，上述小增益定理的强轫稳定条件同样适用于数字控制系统，如下所示： 根据一个估测出来的数字开回路系统 y(z)=W(z)u(z) (3.23) 所设计的数字控制器， u(z)=Q(z)(r(z)-y(z) (3.24) 在真正的开回路系统实为 y(z)=(
19、W(z)+(z)u(z) (3.25) 之下，将仍然保证闭回路系统的稳定，只要下列条件成立： (a) WCL(z)=W(z)Q(z) 为稳定； 1+W(z)Q(z)三.4.1数字控制系统的小增益定理 (b) WCL(z)X(z)1,j,X(z)=z=exp(jj)(z) W(z)上式的下标z=exp(jj)代表WCL(z)X(z)在单位圆上的值。在离散系统的数据运算里，这些值常常以它们的离散序列之数字傅立叶转换(DFT)来近似。 -附录五 条件(a)意味着根据(3.23)式所设计的 WCLz)，又称为名义上闭回路系统，必须 是稳定的。而条件(b)则限制开回路模式误差(z)必须只是一个小误差。
20、The unitcircle ofthe Z-planej1ejj63 从波得图看小增益定理： 根据古典理论的波得图分析法， 1+HCl(s)E(s 是否有稳定的根，要看HCL(s)E(s)|s=jw的波得三.4.2对小增益定理的其它观点 一般的波得圖0dbD(jw)/H(jw)GM0o图是否有足够的增益边限(Gain margin, GM)PM及相角边限(Phase margin, PM)。 D(jw)/H(jw)o 在这个观点之下，小增益定理的稳定条件， 180 0.1110 HCL(s)E(s)s=jw1,w， 小增益定理的波得圖 变成是要求HCL(s)E(s)|s=jw的绝对值曲线，都
21、0dbw100保持在0db线之下。 D(jw)/H(jw) 小增益定理的实际意义： PM- 这使得波得图没有cross over，因此其相角边限0.11将变成无穷大(PM)。 - 至于其增益边限则至少为 GM=20log10(1-maxwHCL(jw)E(jw)。 10w100 通常，D(s)或(z)的实际函数大都无法得知，因此造成对闭回路系统稳定的疑虑。 然而，D(s)/H(s)或(z)/W(z)等误差，却大都会直接显现在系统的响应数据里，因此透过对响应数据的傅立叶转换附录五，我们通常可以很容易地估计到D(s)/H(s)或(z)/W(z)的频谱(spectrum)，也就是D(jw)/H(jw
22、)或(ejw)/W(ejw)的值。 于是，闭回路系统的稳定问题，便可以透过小增益定理来予以确定。 64 三.4.3小增益定理的其它型式 (z)(z)也将会是稳定的多项式， 定理II：已知 (s)为一个稳定的多项式，则任意的多项式 (z)，满足maxw(ejw)/(ejw)1。 (z)跟(z)的差，定义为(z)=(z)-只要 定理II证明： (z)=(z)+(z)，则(z)写成(z)的根将随而变化，而形成 将根轨迹，并且这根轨迹将满足下列叙述： (z)的根轨迹延伸单位圆的内跟外，则必然包含单位圆。 (a) 若(z)的根轨迹不包含单位圆，则(z)的根轨迹必然只(b) 反之，如果挶限在单位圆的内或外
23、，视=0之下的根位置而定。 (z)=(z)；这时，它的根将在单位圆内。 (c) 在=0之下，(z)必为稳定。 因此，只要(z)+(z)没有在单位圆上的根，则possible locus 1單位圓 另一方面，(z)+(z)有根在单位圆上的必要条件为 (ejw)+(ejw)=1+(ejw)/(ejw)=0(ejw)/(ejw)=-1， possible locus 2小增益定理II的应用： 对于如下的数字控制系统， y(z)=(z)将不会有根在单位圆上，因此必为稳定 所以，只要 maxw(ejw)/(ejw)1，则(z)(z)u(z)，u(z)=(r(z)-y(z), (z)(z) 其闭回路系统的
24、分母项为 (z)(z)+(z)(z)=(z)， 并且(s)会被设计为稳定的多项式 (z)(z)， 但若因为(z)跟(z)的估计有误或其它缘因，使闭回路系统的分母项成为(z)的稳定。 则我们可以透过对(ejw)/(ejw)的估计，并根据小增益定理II来分析65 在连续时间领域，如果函数h(t)满足h(t),t，则其Fourier转换跟Laplace转换分别为： H(w)=h(t)exp(-jwt)dt 跟 H(s)=h(t)exp(-st)dt。 (A5.1) 00 因此，H(w)即是H(s)在虚数轴(s=jw)上的值。 意义上，H(w)是系统H(s)在受到频率为w的正弦输入之下，所造成的稳态响
25、应。 附录五：离散数据之数字傅立叶转换(DFT) 类似的定义也存在于离散数据。换言之，任意的离散序列，h(0),h(1),L,h(N)，只要若满足 h(k),k，则其数字傅立叶转换(Discrete Fourier Transform, DFT)可以定义如下： Npklj) (A5.2) HD(k)=l=0h(l)exp(-2NN 我们也曾定义h(k)的Z-转换为W(z)=l=0h(l)z-k，因此，HD(k)其实就是W(z)在单位圆pkj)上的值。换言之，H(k)=W(z)(z=exp(2NDz=exp(2pNkj),k=0,L,N。 至于HD(k)在工程上的意义，则模拟于H(w)。 必须注意的是： (A) HD(k)的定义其实只有在N之际方成立。但在实际应用上，我们只能处理NN。 (A5.3) (B) 虽然HD(k)是W(z)在单位圆上的值，但由于HD(k)可直接利用h(k)的数据来
