工程试验设计 回归正交试验设计.docx

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1、工程试验设计 回归正交试验设计第八章 回归正交试验设计 第一节 一次回归正交设计 一 正交设计和回归设计的特点 1 正交设计的特点 正交设计是一种很实用的试验设计方法，它利用较少的试验次数获得较好的试验结果；但是通过正交设计得到的优方案只是局限在确定的水平组合中，而不是一定试验范围内的最优方案。 2 回归设计 回归分析是一种有效的数据处理方法，通过所确定的回归方程，可对试验结果进行预测和控制；但是，它只能对试验数据进行被动的分析和处理，不涉及对试验设计的要求。 如果把两者的优势统一起来，不仅有合理的试验设计和较少的试验次数，还能建立有效的数学模型，这就是回归正交设计方法。 二 一次回归正交设计

2、基本方法 一次回归正交设计就是利用回归正交设计原理，建立试验指标y与m个因素x1、x2、xm之间的一次回归方程： =a+bjxj+bkjxkxj(jk) yj=1kk,k=1,2,.,(m-1) 式中，zji表示zj列各水平的编码，i表示zkzj列各水平的编码。 通过计算得到回归系数之后，可以直接根据它们绝对值的大小来判断各因素和交互作用的相对重要性，而不用转换成标准回归系数。另外，回归系数的符号反应了因素对试验指标影响的正负。 四 回归方程及偏回归系数的方差分析 1 无零水平试验 1.1 计算离差平方和 总平方和 1nSST=Lyy=(yi-y)=y-(yi)2 ni=1i=1i=122in

3、n回归平方和 SSR=SSj+SSkj 因素的偏回归平方和： SSj=mcb2j 4 第八章 回归正交试验设计 交互作用的偏回归平方和： 残差平方和 1.2 计算自由度 总自由度 回归自由度 因素的自由度： 交互作用的自由度 残差自由度 1.3 计算均方 1.4 F检验 SS=m2kjcbkjjk,k=1,2,.,(m-1) SSe=SST-SSR dfT=n-1 dfR=dfj+dfkj dfj=1 dfkj=1 dfe=dfT-dfR MSSSjj=df jMSSSkjkj=dfjk,k=1,2,.,(m-1) kjMSSSee=df eFMSjj=MS eFMSkjkj=MS e5 第八

4、章 回归正交试验设计 Fj服从自由度为(dfj，dfe)的F分布，对于给定的显著性水平a，若FjFa(dfj，dfe)，说明因素zj对试验指标有显著影响；否则无显著影响。 Fkj服从自由度为(dfkj，dfe)的F分布，对于给定的显著性水平a，若FkjFa(dfkj，dfe)，说明交互作用zkzj对试验指标有显著影响；否则无显著影响。 2 有零水平试验 如果零水平的试验次数m02，则可进行回归方程的失拟性检验。 2.1 F检验的缺点 对回归方程进行显著性检验，只能说明相对于残差平方和而言，各因素对试验结果的影响是否显著。即使所建立的回归方程是显著的，也只是反映了回归方程在试验点上与试验结果拟合

5、得较好，不能说明在整个研究范围内的拟合情况，应安排零水平试验，进行回归方程的失拟性检验，或称拟合度检验。 2.2 失拟性检验方法 设m0次零水平试验结果为y01、y02、y0m0，根据m0次重复试验，可计算重复试验的误差为 1m0SSe1=(y0i-y0)=y-(y0i)2 m0i=1i=1i=1220im0m0试验误差的自由度为 dfe1=m0-1 则，失拟平方和为 SSLf=SST-SSR-SSe1 或 SSLf=SSe-SSe1 失拟的自由度为 dfLf=dfe-dfe1 所以，有 SST=SSR+SSe=SSR+SSLf+SSe1 dfT=dfR+dfe=dfR+dfLf+dfe1 这

6、时，有 6 第八章 回归正交试验设计 FLf=SSLf/dfLfSSe1/dfe1对于给定的显著性水平a，如果FLfFa(dfLf，dfe1)，说明失拟平方和中除误差外，还有其它因素的影响，需要进一步查明；如果FLfFa(dfLf，dfe1)，说名，失拟平方和基本是由误差引起的。这时可把失拟平方和与误差平方和合并，进行下一步的F2检验。 F2=SSR/dfRSS/dfR =R(SSLf+SSe1)/(dfLf+dfe1)SSe/dfe对于给定的显著性水平a，如果F2Fa(dfR， dfe)，说明方程检验显著，即方程拟合得好；反之，说明方程拟合得不好，这可能是由于误差过大，或没有什么因素对y有显

7、著影响。 例题8-1 用石墨炉原子吸收分光光度计法测定食品中的铅，为提高测定灵敏度，希望吸光度y越大越好。试验中，讨论了x1、x2和x3三个因素对吸光度的影响，并考虑交互作用x1x2和x1x3。已知：x1=300-700，x2=1800-2400，x3=8-10mA。试通过一次回归正交试验确定吸光度与3个因素之间的函数关系式。 解： 确定因素变化范围 因为x1=300-700，所以其下水平x11=300，x12=700，则零水平 x+x300+700x10=1112=500，变化间距D1=x12-x10=700-500=200 。22同理，可确定其他因素的下水平、上水平、零水平及变化区间。 因

8、素水平编码 根据公式zj=xj-xj0Dj，对各因素进行编码，编码结果如表8-5所示。 表8-5 例8-1因素水平编码表 因素xi 上水平 下水平 零水平 变化间距j x1 700 300 500 200 x2 2400 1800 2100 300 x3 10 8 9 1 正交表的选择和试验方案的确定 依题意，可以选用正交表L8，经编码转换后，得到表8-2所示的回归正交表。入表8-6所示，将z1、z2、z3分别安排在第1，2和4列，则第3和第5列分别为交互作用z1 z2，z1 z3列。不进行零水平试验，故总试验次数n7 第八章 回归正交试验设计 8，试验结果也列在表8-6中。 回归方程的建立

9、依题意，m0=0，nmc=8。根据回归系数的计算公式，将有关计算列在表8-7中。 表8-6 例8-1 三元一次回归正交设计试验方案及试验结果 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 z1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 z2 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 z1z2 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 z3 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 z1z3 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 x1/ 700 700 700 700 300 300 300 300 x2/ 2400 2400 1800 1800 2400 2400 1800 1800 x3/mA 10 8

10、 10 8 10 8 10 8 yi 0.552 0.554 0.480 0.472 0.516 0.532 0.448 0.484 表8-7 例8-1 三元一次回归正交设计计算表 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 z1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 z2 z1z2 z3 z1z3 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 y 0.552 0.554 0.480 0.472 0.516 0.532 0.448 0.484 y2 0.304704 0.306916

11、 0.230400 0.222784 0.266256 0.283024 0.200704 0.234256 z1y 0.552 0.554 0.480 0.472 -0.516 -0.532 -0.448 -0.484 z2y 0.552 0.554 -0.480 -0.472 0.516 0.532 -0.448 -0.484 z3y 0.552 -0.554 0.480 -0.472 0.516 -0.532 0.448 -0.484 (z1z2)y 0.552 0.554 -0.480 -0.472 -0.516 -0.532 0.448 0.484 0.038 (z1z3)y 0.5

12、52 -0.554 0.480 -0.472 -0.516 0.532 -0.448 0.484 0.058 4.038 2.049044 0.078 0.270 -0.046 由表8-7得： 1n4.038a=yi=y=0.50475 ni=18b1=zi=1nn1iyi=mc0.078=0.00975 8b2=zi=12iyi=mc0.270=0.03375 8b3=zi=1n3iyi=mc-0.046=-0.00575 88 第八章 回归正交试验设计 b12=(zz)y12ii=1nimc=0.038=0.00475 8b13=(zz)y13ii=1nimc=0.058=0.00725

13、8所以回归方程为 y=0.50475+0.00975z1+0.03375z2-0.00575z3+0.00475z1z2+0.00725z1z3y 由该回归方程中偏回归系数的大小，可以得到各因素和交互作用的主次顺序为：x2x1x1x3x3x1x2，这与6-5中正交试验的分析结果一样的。 方差分析 1n4.03822SST=(yi-y)=y-(yi)=2.049044-=0.010864 n8i=1i=1i=1n2n2i2 SS1=mcb12=80.00975=0.00076122 SS2=mcb2=80.03375=0.00911322 SS3=mcb3=80.00575=0.00026522

14、 SS12=mcb12=80.00475=0.00018122 SS13=mcb13=80.00725=0.000421SSR=SSj+SSkj=0.000761+0.009113+0.000265+0.000181+0.000421=0.010741SSe=SST-SSR=0.010864-0.010741=0.000123 方差分析的结果见表8-8。 由表8-8，对于显著性水平a=0.05，只有因素z2对试验指标y有非常显著的影响，其他因素和交互作用对试验指标都无显著影响，故可以将z1，z3，z1z3，z1z2的平方和及自由度并入残差项，然后进行方差分析，这时的方差分析为一元方差分析，分析

15、结果见表8-9。 表8-8 例8-1方差分析表 差异源 z1 z2 SS 0.000761 0.009113 df 1 1 9 MS 0.000761 0.009113 F 12.27 146.98 显著性 * * 第八章 回归正交试验设计 z3 z12 z13 回归 残差e 总和 0.000265 0.000181 0.000421 0.010741 0.000123 0.010864 1 1 1 5 2 7 0.000265 0.000181 0.000421 0.002148 0.000062 4.27 2.92 6.97 * 表8-9 例8-1第二次方差分析表 差异源 回归 残差e 总

16、和 SS 0.009113 0.001751 0.010864 df 1 6 7 MS 0.009113 0.000292 F 31.21 显著性 * 由表8-9，因素z2对试验指标y有非常显著的影响，因此原回归方程可以简化为： y=0.50475+0.03375z2 可见，只有原子化温度x2对吸光度有显著影响，两者之间存在显著的线性关系，而且原子化温度取上水平时试验结果最好。 根据编码公式，将上述线性回归进行回代： x-2100y=0.50475+0.03375(2) 300整理后得到：y=6.49525+0.0001125x2 例8-2 从某种植物中提取黄酮类物质，为了对提取的工艺进行优化

17、，选取了三个相对重要的因素：乙醇浓度、液固比、和回流次数进行了回归正交试验，不考虑交互作用。已知x1=60%80%，x2=812，x3=13次。试通过回归正交试验确定黄酮提取率与三个因素之间的函数关系式。 解：因素水平编码及试验方案的确定 由于不考虑交互作用，所以本例要求建立一个三元线性方程，因素水平编码如表8-10所示。选正交表L8(27)安排试验，将三个因素分别安排在回归正交表的第1，2，4列，试验方案及试验结果见表8-11，表中的第9，10，11号试验为零水平试验。 表8-10 例8-2因素水平编码表 编码zj -1 0 乙醇浓度x1 60 70 10 液固比x2 8 10 回流次数x3

18、 1 2 第八章 回归正交试验设计 1 j 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 z1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 z2 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 0 0 0 80 10 z3 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 0 x1 80 80 80 80 60 60 60 60 70 70 70 12 2 x2 12 12 8 8 12 12 8 8 10 10 10 x3 3 1 3 1 3 1 3 1 2 2 2 3 1 y/% 8.0 7.3 6.9 6.4 6.9 6.5 6.0 5.1 6.6 6.5 6.6 表8-11 例

19、8-2试验方案及试验结果 回归方程的建立 将有关计算过程列在表8-12中。 表8-12 例8-2试验结果及计算表 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 z1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 0 0 0 z2 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 0 0 0 z3 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 0 y/% 8.0 7.3 6.9 6.4 6.9 6.5 6.0 5.1 6.6 6.5 6.6 72.8 y2 64.00 53.29 47.61 40.96 47.61 42.25 36.00 26.01 43.56 42.25 43.56 487.1

20、z1y 8.0 7.3 6.9 6.4 -6.9 -6.5 -6.0 -5.1 0 0 0 4.1 Z2y 8.0 7.3 -6.9 -6.4 6.9 6.5 -6.0 -5.1 0 0 0 4.3 Z3y 8.0 -7.3 6.9 -6.4 6.9 -6.5 6.0 -5.1 0 0 0 2.5 由计算表8-12得： 1n72.8a=yi=6.6182 ni=111b1=zi=1n1iyi=mc4.1=0.5125 8 11 第八章 回归正交试验设计 b2=zi=1n2iyi=mc4.3=0.5375 8b3=zi=1n3iyi=mc2.5=0.3125 8所以回归方程为 y=6.6182+

21、0.5125z1+0.5375z2+0.3125z3 由该回归方程偏回归系数绝对值的大小，可以得到各因素的主次顺序为：x2x1x3，即液固比乙醇浓度回流次数。又由于各偏回归系数都为正，所以这些影响因素取上水平时，试验指标最好。 回归方程显著性检验 有关平方和的计算如下： 1n72.822SST=y-(yi)=487.1-=5.296 n11i=1i=1n2i2SS1=mcb12=80.5125=2.101 22SS2=mcb2=80.5375=2.311 22SS3=mcb3=80.3125=0.781 SSR=SSj=2.101+2.311+0.781=5.193 SSe=SST-SSR=5

22、.296-5.193=0.103 方差分析结果见表8-13。 表8-13 例8-2 方差分析表 差异源 z1 z2 z3 回归 残差e 总和 SS 2.101 2.311 0.781 5.193 0.103 5.296 df 1 1 1 3 7 10 MS 2.101 2.311 0.781 1.731 0.0147 F 142.9 157.2 53.1 117.8 显著性 * * * * 可见，三个因素对试验指标都有非常显著的影响，所建立的回归方程也非常显著。 失拟性检验 12 第八章 回归正交试验设计 本例中，零水平试验次数m0=3，可以进行失拟行检验，有关计算如下： 1m0SSe1=y-

23、(y0i)2=(43.56+42.25+43.56)-(6.6+6.5+6.6)2=0.00667m0i=1i=120im0 SSLf=SSe-SSe1=0.103-0.00667=0.0963 dfe1=m0-1=3-1=2 dfLf=dfe-dfe1=7-2=5 这时，有 FLf=SSLf/dfLfSSe1/dfe1=0.0963/5=5.775F0.1(5,2)=9.29 0.00667/2检验结果表明，失拟不显著，回归模型与实际情况拟合得很好。 回归方程的回代 根据编码公式： x3-2x1-70x2-10z=z1=，z2=，3 1102带入上述回归方程得： x-70x-10y=6.61

24、82+0.5125(1)+0.5375(2)+0.3125(x3-2) 102整理后得： y=-0.2818+0.5125x1+0.26875x2+0.3125x3 13 第八章 回归正交试验设计 第二节 二次回归正交组合设计 在实际生产和科学试验中，试验指标与试验因素之间的关系往往不宜用一次回归方程来描述，所以当所建立的一元回归方程经检验不显著时，就需用二次或更高次方程来拟合。 一 二次回归正交组合设计表 1 组合设计试验方案的确定 假设有m个试验因素xj(j=1，2，m)，试验指标为因变量y，则二次回归方程的一般形式为： mm=a+bjxj+bkjxkxj+bjjx2yjk=1,2,.,m

25、-1(jk) j=1kjj=1其中a、bj、bkj、bjj为回归系数，可以看出该方程共有1+m+m(m-1)/2+m=(m+1)(m+2)/2项，要使回归系数的估算成为可能，必要条(m+1)(m+2)件为试验次数n；同时，为了计算出二次回归方程的系数，2每个因素至少要取3个水平，所以用一元回归正交设计的方法来安排试验，往往不能满足这一条件。 例如，当因素数m=3时，二次回归方程的项数为10，要求试验次数n10，如果用正交表L9(34)安排试验，则试验次数不符合要求，如果进行全面试验，则试验次数未33=27次，试验次数又偏多。为解决这一矛盾，可以在一次回归正交试验设计的基础上再增加一些特定的试验

26、点，通过适当的组合形成试验方案，即所谓的组合设计。 例如，设有两个因素x1和x2，试验指标为y，则它们之间的二次回归方程为： 2=a+b1x1+b2x2+b12x1x2+b11x12+b22x2 y该方程共有3个回归系数，所以要求试验次数n6，而二水平全面试验数为22=4次，显然不能满足要求，于是在次基础上再增加5次试验，试验方案如表8-14和图8-1所示。 可见，正交组合设计由三类试验点组成，即二水平试验点、星号试验点和零水平试验点。 二水平试验是一次回归正交试验设计中的试验点，设二水平试验的次数为mc，若为全面试验，则mc=2m；1/2实施时，mc=2(m-1)；1/4实施时mc=2(m-

27、2)。 14 第八章 回归正交试验设计 表8-14 二元二次回归正交组合设计试验方案 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 z1 1 1 -1 -1 - 0 0 0 z2 1 -1 1 -1 0 0 - 0 y y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 说明 二水平试验 星号试验 零水平试验 由图8-1可以看出，58号试验点都在坐标轴上，用星号表示，所以被称作星号试验，它们与原点的距离都为，称为星号臂或轴臂。星号试验次数m与试验因素数m有关，即m=2m。例如，对于二元二次回归正交组合设计，m=22=4。 零水平试验点位于图8-1的中心点，即各因素水平编码都为零时的试验，该试验

28、可只做一次，也可重复多次，零水平试验次数记为m0。 所以，二次回归正交组合设计的总试验次数为： n=mc+2m+m0 类似的，如果有三个因素x1，x2和x3，则它们的三元二次回归方程为： 22=a+b1x1+b2x2+b3x3+b12x1x2+b13x1x3+b23x2x3+b11x12+b22x2 y+b33x3三元二次回归正交组合设计的实验方案见表8-15和图8-2。 表8-15 三元二次回归正交组合设计试验方案 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 z1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 - 0 0 0 0 0 z2 1 1 -1 -1 1

29、 1 -1 -1 0 0 - 0 0 0 15 z3 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 0 0 - 0 y y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 y11 y12 y13 y14 y15 说明 二水平全面试验 mc=23=8 星号试验 2m=6 零水平试验m0=1 第八章 回归正交试验设计 如果将交互项列入组合设计表中，则可得到表8-16和表8-17。其中交互列和二次项列中的编码可直接由对应一次项的编码写出。例如，交互列z1z2的编码是对应z1和z2的乘积，而z12的编码是z1列编码的平方。 表8-16 二元二次回归正交组合设计 试验号 1 2 3 4 5

30、6 7 8 9 z1 1 1 -1 -1 - 0 0 0 z2 1 -1 1 -1 0 0 - 0 z1z2 1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 z12 1 1 1 1 2 2 0 0 0 z22 1 1 1 1 0 0 2 2 0 表8-17 三元二次回归正交组合设计 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 z1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 - 0 0 0 0 0 z2 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 0 0 - 0 0 0 z3 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 0 0 - 0 z1z2 1 1 -1 -1 -1

31、 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 z1z3 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 z2z3 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 z12 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 Z22 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 0 0 0 Z32 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 2 2 0 2星号臂长度与二次项的中心化 由表8-17和表8-18可以看出，增加了星号试验和零水平试验之后，二次项失去了正交性，就应该确定合适的星号臂长度，并对二次项进行中心化处理。 2.1 星号臂长度的确定

32、 根据正交性的要求，可以推导出星号臂长度必须满足如下关系式： 16 第八章 回归正交试验设计 g=(mc+2m+m0)mc-mc2可见，星号臂长度与因素m、零水平试验次数m0 及二水平试验mc次数有关。为了设计的方便，将由上述公式计算出来的一些常用的值列于表8-18。 表8-18 二次回归正交组合设计值表 m0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因素数m 2 1.000 1.078 1.147 1.210 1.267 1.320 1.369 1.414 1.457 1.498 3 1.215 1.287 1.353 1.414 1.471 1.525 1.575 1.623 1.668

33、 1.711 4 1.353 1.414 1.471 1.525 1.575 1.623 1.668 1.711 1.752 1.792 4 1.414 1.483 1.547 1.607 1.664 1.719 1.771 1.820 1.868 1.914 5 1.547 1.607 1.664 1.719 1.771 1.820 1.868 1.914 1.958 2.000 5 1.596 1.662 1.724 1.784 1.841 1.896 1.949 2.000 2.049 2.097 根据表8-18可知，对于二元二次回归正交组合设计，当零水平试验次数m0=1时，=1。 2.

34、2 二次项的中心化 设二次回归方程中的二次项为zj2 (j=1，2，m)，其对应的编码用zji2 (j=1，2，n)表示，可以用下式对二次项的每个编码进行中心化处理： 1n2zji=z-zji ni=12ji式中zji是中心化之后的编码。这样组合设计表中的zj2列就变为zj列。 表8-19是二次项中心化之后的二元二次回归正交组合设计编码表。 表8-19 二元二次回归正交组合设计编码表 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 z1 1 1 -1 -1 1 -1 0 0 0 z2 1 -1 1 -1 0 0 1 -1 0 z1z2 1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 17 z12 1 1

35、1 1 1 1 0 0 0 z22 1 1 1 1 0 0 1 1 0 z1 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 -2/3 -2/3 -2/3 z2 1/3 1/3 1/3 1/3 -2/3 -2/3 1/3 1/3 -2/3 第八章 回归正交试验设计 显然，中心化之后的二次项满足zj=0，也就是具有正交性。 对于三元二次回归正交组合设计，也可用同样的方法得到具有正交性的组合设计编码表，见表8-20。 表8-20 三元二次回归正交组合设计编码表 试验号 z1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1.215 -1.215 0 0 0 0 0 z2 1 1 -1 -1 1 1 -1

36、 -1 0 0 1.215 -1.215 0 0 0 z3 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 0 0 1.215 -1.215 0 z1z2 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 z1z3 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 z2z3 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 0 0 0 0 0 0 0 z10.270 0.270 0.270 0.270 0.270 0.270 0.270 0.270 0.747 0.747 -0.730 -0.730 -0.730 -0.730 -0.730 z2 0.270 0.27

37、0 0.270 0.270 0.270 0.270 0.270 0.270 -0.730 -0.730 0.747 0.747 -0.730 -0.730 -0.730 z30.270 0.270 0.270 0.270 0.270 0.270 0.270 0.270 -0.730 -0.730 -0.730 -0.730 0.747 0.747 -0.730 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二 二次回归正交组合设计的基本步骤 二次回归正交组合设计的基本步骤如下： 1因素水平编码 确定因素xj(j=1，2，m)的变化范围和零水平试验的次数m0，再根据星号

38、臂长的计算公式或表8-18确定的值，对因素水平进行编码，得到规范变量zj(j=1，2，m)。如果以xj2和xj1分别表示因素xj的上下水平，则它们的算术平均值就是因素xj的零水平，以xj0表示。 假设：xj和x-j分别为因素xj的上下星号臂水平，则xj和x-j是xj的上下限，于是有 xj0=xj1+xj22=xjg+x-jg2所以，该因素的变化间距为 Dj=xjg-xj0g然后对因素xj进行线性变换，得到各水平编码为 18 第八章 回归正交试验设计 zj=xj-xj0Dj这样，编码公式将因素的实际取值xj与编码值zj一一对应起来了，如表8-21所示。编码后，因素的水平分别为-、-1、0、1、。 表8-21 因素水平的编码表 规范变量zj 上星号臂 上水平1 零水平0 下水平-1 下星号臂- 变化区间j x1 x1 x12= x10+1 x10 x11= x10-1 x-1 1 自然变量xj x2 x2 x22= x20+2 x20 x21= x20-2 x-2 2 xm xm xm2= xm0+m xm0 xm1= xm0-m x-m m 2 确定合适的二次回归正交组合设计 首先根据因素数m选择合适的正交表进行变换，明