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1、第2章 控制系统的数学模型,本章主要内容与重点控制系统的时域数学模型控制系统的复域数学模型控制系统的结构图,本章主要内容,本章重点,本章介绍了建立控制系统数学模型和简化的相关知识。包括线性定常系统微分方程的建立、非线性系统的线性化方法、传递函数概念与应用、方框图及其等效变换、梅逊公式的应用等。,通过本章学习，应着重了解控制系统数学模型的基本知识，熟练掌握建立线性定常系统微分方程的建立、传递函数的概念和应用知识、控制系统方框图的构成和等效变换方法、典型闭环控制系统的传递函数的基本概念和梅逊公式的应用。,2-1 控制系统的时域数学模型1、系统的数学模型描述物理系统的物理模型的数学方程式2、物理模型
2、一个理想化的物理系统,一、系统微分方程的方法,求质量m在外力F的作用下，质量m的位移x的运动。设系统已处于平衡状态，相对于初始状态位移、速度、加速度为零,弹簧-质量-阻尼器（S-M-D）机械位移系统,列写元件微分方程的步骤：（1）一定条件下简化系统为物理模型（2）确定元件的输入量、输出量（3）由物理或化学规律，列写微分方程；（4）消去中间变量，得到输入、输出之间关系的微分方程一般列写数学模型有分析法和实验法两种方法分析法：分析系统内部各部分运动机理，然后列写相应 的方程，最后求取系统的数学模型实验法：人为加入测试信号，记录输出用数学模型逼近。,控制系统微分方程的建立基本步骤：（1）由系统原理图
3、画出系统方框图或直接确定系统中各个基本部件（元件）（2）列写各方框图或各元件的输入输出之间的微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应（齿轮系对电机的转动惯量的影响）和信号传递的单向性。（3）消去中间变量得到输入输出的数学方程,速度控制系统的微分方程,运放2的数学模型,物理模型ua=ub=0,U1,R1,R2,c,U2,R1,a,b,R2,c,a,U1,U2,i1,i2,i3,系统输出 系统输入参考量,控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机,运放1,运放2,功放,直流电动机,减速器（齿轮系）i为传动比,测速发电
4、机,消去中间变量,控制系统数学模型（微分方程），令以下的参数为,*比较 R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统运动方程,相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系。,线性系统的性质：具有可叠加性、均匀性（齐次性）,两个或多个外作用加于系统产生的输出等于各个外作用分别作用于系统产生的输出之和。例如,例题：机械系统如下,阻尼器系数及输入输出如图列写数学模型 输入为xi输出为x0初态为零,c1,c2,xi,x0,m,b,a,fc1,fc2,二、非线性元件微分方程的线性化,实际的物理元件都存在一定的非线性，例如,弹簧系数 是位移的函数电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电动本身的摩擦、死区,
5、小偏差线性化法 设连续变化的非线性函数,平衡状态A为工作点,在平衡状态点运用台劳级数展开为,A,f(x),x,x0,具有两个自变量的非线性函数的线性化,增量线性方程,缺点只能列写平衡点方程,三、拉氏变换及应用,1、定义 如 为复变量存在称为f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）记作F(s)=或F(s)=Lf(t)称F(s)为f(t)的象函数，f(t)为F(s)的原函数。2、积分限问题正常函数的积分下限为0但对于一些特殊函数的,的积分下限为 例如单位脉冲函数,表达式如下积分限不同相应的积分值不同实际应用中 意味着外作用未作用于系统系统状态可知一般为零,0+则外作用已加上系统状态变化初态不确定,3
6、、拉氏反变换定义如下拉氏变换的性质(1)线性性质 已知 a,b为常数,则他们的组合为,2、微分性质,积分性质（参见相关教材）,初值定理如函数f(t)及一阶导数是可以拉氏变换的终值定理（用于计算误差）,位移定理,卷积定理拉氏反变换（部分分式展开法）,系数均为常数mn，先因式分解成部分分式,我们考虑无重根情况查表即可求出f(t)有重根情况设,分解如下,系数如下,其余系数同无重根计算一样,查表结果为拉氏变换表如书中。例,方程两端拉氏变换,带入初状态有,2-2 控制系统的复域数学模型复域数学模型 传递函数传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的概念一、传递函数的定义与性质定义设线性定常系统由n阶线性定
7、常微分方程描述：,定义：线形定常系统在零初始条件下，系统的输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。,例1RLC 串联无源网络的传递函数(零状态),由微分方程导出传函系统如图,先列写微分方程 零状态方程拉氏变换由上两式看出一一对应关系,R,i,c,ui,uo,1/（1+RCs）,ui,uo,（3）传递函数与微分方程可相互转换。（4）传递函数 的Laplace反变换是系统的脉冲响应。提供了求取传函的一种方法利用输入为单位脉冲函数测得输出响应r(t),对其进行拉氏反变换，可得系统的传递函数。,例：(as+b)c(s)=dr(s)得出时域模型,二、传递函数的零点与极点,p2,p3,p4,p1,零极点分布图
8、,Zj为分子多项式的零点为传递函的零点，Pi为分母多项式的零点为传递函数的极点,称为传递系数或根轨迹系数,传递函数写成因子连乘积的形式,称为传递系数或增益或放大系数,传递函数的极点就是微分方程的特征根或系统特征方程的根，极点决定了系统自由运动的模态，而且在强迫运动中也会包含这些自由运动的模态。,三、传递函数极点和零点对输出的影响,极点作用:用2取代分子6(s+4)，输入为阶跃函数,1、极点产生自由运动模态,为系统固有，其系数的大小与输入函数形式有关，传函极点受输入函数激发输出响应中形成自由运动模态。2、一般情况下离虚轴最近的极点对应的自由运动模态在系统的响应中占比重最大。,零点作用,传递函数的
9、零点影响各模态在响应中所占的比重，例如,输入信号，零状态响应分别为,各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，取决于零点相对于极点的距离。距离越近影响越大。例如：,四、典型环节传递函数,传函的通式应用不便所以数学上要进行分解,2P+Z+V=n,每个基本因子为一个典型环节,1、比例环节其数学模型为G(s)=K其特点为响应快。例如齿轮传动，比例放大器、永磁测速发电机。,Xo(s),2、惯性环节,其数学模型为G(s)=K/（Ts+1）T为时间常数阶跃响应如图输出不能立刻响应输入有滞后T越大滞后越大直流发电机视为惯性环节,t,X0(t),T1,T2T1,3、积分环节,其数学模型为G(s)=/TsK=
10、1/T是积分常数响应特点如图惯性延滞输出线形增长快慢由积分时间常数T决定。,t2,X0(t),t,记忆功能t1和t2间输入为零但输出不变,例如旋转机械轴近似为积分环节、微分环节G(S)=S其中为微分时间常数响应如图该环节动态过程起作用输出量反映输入量的变化趋势,t2,t1,t2,X0(t),物理系统中无纯微分环节只能近似实现,应用中一般结合比例环节使用5、振荡环节当 时其阶跃响应如图,输出量时间响应是衰减振荡过程，称为,振荡环节他励直流电动机一定条件下近似为振荡环节,t,Xi(t),X0(t),t,6、纯滞后环节,输出滞后输入时间，不失真反映输入输入环节。其数学模型如下 当 较小时,时滞环节近
11、似为一个惯性环节。,阶跃响应如图带式运输机就是一个时滞环节复杂系统看作典型环节的组合。典型环节按数学共性建立不一定与实际元件一一对应。,Xi（t）,Xo(t),一个物理系统数学模型由若干个典型,环节数学模型组合而成，掌握典型环节的特性为系统设计提供良好的基础。典型环节的概念适用于线形定常系统。,2-3 控制系统的结构图,控制系统的结构图：描述系统各元部件之间的信号传递关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系统的信号传递过程给出了一种直观的描述。,一、系统结构图的组成与绘制系统结构图一般有四个基本单元组成：（1）信号线；（2）引出点（或测量点）；（3）比较点（或信号综合点）表示对信号进行叠加；（
12、4）方框（或环节）表示对信号进行变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。输出等于输入和传函的乘积。,电压测量系统结构图,无源网络的方框结构图（结构图画法实例）,结构图过程如下,，用信号线按信号流向把各结构图连接起来得到系统的结构图,1/R1,R2,R1,Cs,(b),Uo,I1,Uo,I,Ui,I2,I1,I1,I2,I,(a),(c),(d),结构图的绘制方法,（1）列写各元件的微分方程或传递函数用方块图表示（2）根据各信号的流向用信号线依次连接得到系统的结构图。实质：系统原理图和数学方程式的结合，利用结构图可以求取系统的传递函数。注意：结构图不唯一，方框与元件可以不是一一对应的,二、结构图
13、的等效变换和简化,任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。,等效变换的原则：变换前后的变量之间关系保持不变（1）串联等效,（2）并联,（3）反馈,闭环传递函数：,前向通道传递函数：输入端对应比较器输出 E(s)到输出端输出 C(s)所有传递函数的乘积，记为 G(s)反馈通道传递函数：输出 C(s)到 输入端比较器的反馈信号 B(s)之间的所有传递函数之乘积，记为 H(s)开环传递函数：反馈引入点断开时，输入端对应比较器输出 E(s)到输入端对应的比较器的反
14、馈信号 B(s)之间所有传递函数的乘积，记为GK(s),GK(s)=G(s)H(s),（4）比较点和引出点的移动,移动前后保持信号的等效性,x1,x0,G(s),x2,比较点前移,，,x1,x2,x0,G(s),1/G(s),x1,x2,x0,引出点前移,X1,x3=x1,x0,G(s),x0,x1,1/G(s),X3,引出点前移,x1,G(s),x2,x3,G(s),x3,x1,x2,实例求系统闭环传函,简化过程：（1）G3(s)和G4(s)之间的引出点后移，由G3(s)、G4(s)和H3(s)组成的内反馈回路计算等效传递函数：,G1,G2,G3,G4,H2,H3,H1,R(s),C(s),
15、a,第一,，,G1,G2,G3,G4,H3,H1,H2/G4,（2）将G2(s)、G34(s)和H2(s)*1/G4(s)组成的内反馈回路简化，计算等效传递函数,（3）将G1(s)、G23(s)和H1(s)组成的主反馈回路简化，计算系统的传递函数,第二,，,G1,G2,H1,H2/G4,G3G4/（1+G3G4H3）,试简化图示系统结构图，并求系统闭环传递函数和开环传函。,过程图示,化简过程如图,，,第二步,，,G2/(1+G2),H1+(1+1/G2),两个主反馈是并联的,先化简局部内环然后与G1串联，最后,三、闭环系统的传递函数,输入信号作用下的闭环传递函数,扰动作用下的闭环传递函数,输入
16、和扰动共同作用式，系统输出响应为,闭环系统的误差传递函数,，,则有,以 为输出量时的传递函数 误差传递函数,若,并且,G1G2H,R(s),E(s),求取此系统的开环传函,根究开环传函的定义：有开环传函为 Gk(s)=G1G2H上述各种闭环传函分母形式一致均为=1+称为系统的特征方程，或信号流图的特征式系统的结论：系统结构、参数不变系统的特征方程不变（可见开环传函重要）,系统的开环传递函数实例：,开环传递函数等效于主反馈断开偏差作为输入到主反馈输出的传递函数（例）,G2,H1,G3,Xi,X0,B（s）,E(s),断开主反馈后如图,偏差作为输入量主反馈B(s)为输出开环传函为特征方程为,G2,
17、H1,B(s),E(s),2-4系统的信号流图,一、信号流图的绘制：由结构图绘制信号流图 典型的信号流图如下与结构图类似由信号和结构两部分组成。,x1,x2,x3,x4,x5,1,a,b,c,-1,-1,节点代表信号，分为源节点(只有输入)，汇(阱)（只有输出）节点，,混合节点（既有输入又有输出）。支路带箭头的线段代表结构，线段上表增益。例题,G1,G2,G3,xi,xo,x1,x2,x3,x4,x5,x6,1、结构图上前向通道上的每个线段可以,认为是一个信号（节点）共8个，同一点的引出线用一个节点表示。2、按信号的传递关系用支路把节点连接好,标出相应的传函。,x2,x1,xi,x4,x3,x
18、6,x5,x0,-1,1,-1,-1,1,-1,1,1,G1,1,G2,1,G3,二、MASON增益公式,从源点到阱点的传递函数（或总增益）从源点到阱点的前向通路总数从源点到阱点的第k条前向通路总增益,流图特征式,所有单独回路之和(起点和终点是同一节点的回路)两、两不接触回路增益的乘积之和三、三不接触回路增益的乘积之和流图余因子,1、前向通路数n=4,2、前向通路增益分别为3、四个独立回路分别为,流图特征式,单独回路增益和为-(G1+G2+G3+G1G2),单独回路中所有任意两个不接触单独回路增益积之和。同理 所有任意3个不接触单独回路中互不接触单独回路 增益乘积之和,第k条前向通道的特征式余
19、因子,中去掉与 第K条前向通道相接触各回路增益（可令相接触各回路增益为0），剩余项。,结构图简化系统实例,已知结构图图下求取，开环传函，系统传函，误差传函，扰动传函,G2,G3,G4,G1,E,B,R,C,N,对输入的传递函数,令N(s)=0,G2,G4,G1,B,R,G3,R,G3,比较器后移,，,R,G2+G4,G2G1,G3,C,比较器前移,，,(G2+G4)G3,G2G1/(G2+G4),r,c,扰动的传函,另r(t)=0,G2+G4,G3,N,c,G3,N,G2+G4,c,误差传函,N=0,R,G2+G4,G2G1,G3,C,a,E,b,比较器前移顺反馈通道与a合并,，,G1G2G3,（G2+G4）G3,r,E,开环传函和特征方程为,开环传函=（G2+G4）G3特征方程D（S）=1+（G2+G4）G3=0=1+开环传函=0,本章小结,一、四种数学模型微分方程、传递函数、系统结构图、信号流图二、基本概念系统的物理模型、数学模型、线形化、传递函数、传递函数的零点、极点，典型环节、系统的结构图、信号流图、,系统的闭环传递函数及开环传递函数,三、四个方法 建立系统微分方程的一般方法、绘制系统结构图的方法、由结构图求取闭环传函和开环传函的方法、绘制信号流图及应用梅孙公式求取闭环传函。,
