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1、巧用三线合一证题巧用“三线合一”证题 “三线合一”是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用，供参考。 一. 直接应用“三线合一” 例1. 已知，如图1，AD是DABC的角平分线，DE、DF分别是DABD和DACD的高。 求证：AD垂直平分EF A 1 2 E F B D C 图1 分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD垂直平分EF，因为有1=2，所以只要证DAEF为等腰三角形即可 证明：QDEAB，DFAC 1=2，AD=AD RtDAEDRtDAFDAE=AF 又1=2 AD垂直平分EF 例2. 如图2，DABC中，ABAC，AD为BC边上
2、的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K，求证：AB=3AK A K M E B D C 分析：可考虑作DE/CK交AB于E，因为M是AD的中点，所以K是AE的中点，只要证E是BK的中点，问题可得到解决。由于有AB=AC，ADBC，所以就想到用“三线合一”。 证明：过点D作DE/CK交BK于点E QAB=AC，ADBC BD=DC，BE=EK QAM=MD，AK=KE AK=KE=EB AB=3AK 1 图2 W二. 先连线，再用“三线合一” 例3. 如图3，在DABC中，A=90，AB=AC，D是BC的中点，P为BC上任一点，作PEAB，PFAC，垂足分别为E、F 求证：DEDF；DE
3、DF oA E F B D P C 图3 分析：欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。观察DE为DBDE或DPDE的一边，DF为DDFP或DDFC的边，但它们都没有全等的可能。由于D为等腰直角三角形的底边BC上的中点，于是我们想到连结AD一试，这时容易发现DAEDDCFD或DBDFDADF 问题得证。 欲证DEDF，只要证ADE+ADF=90，即可 但由已证出ADE=CDF 又ADF+CDF=90，故问题解决 证明：连结AD。QD是BC的中点 BAC=90，AB=AC ooo1BC 2 DA平分BAC，ADBC 1o DAB=DAC=BAC=45 2o B=45 QABAC，PFAC，PEA
4、B AD=BD= 四边形PEAF是矩形 PE=FA BPE=45=B oBE=PE=AF 又QAB=AC，AE=CF 又EAD=FCD=45，AD=DC DAEDDCFD DE=DF QDAEDDCFD ADE=CDF o 又QADF+CDF=90 ADF+ADE=90 即DEDF 三. 先构造等腰三角形，再用“三线合一” oo 2 W 例4. 如图4，已知四边形ABCD中，ACB=ADB=90，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MNCD D A M B oN C 分析：由于MN与CD同在DMCD中，又N为CD的中点，于是就想到证DMCD为等腰三角形，由于MD、MC为RtDADB、RtDAC
5、B斜边AB上的中线，因此图4 MD=MC=1AB，所以，问题容易解决。 2o 证明：连结DM、CM QACB=ADB=90，M是AB的中点 DM=CM=1AB 2 DCMD是等腰三角形 又QN是CD的中点，MNCD 例5. 如图5，DABC中，BC、CF分别平分ABC和ACB，AEBE于E，AFCF于F，求证：EF/BC A F E 1 2 B N M C 图5 分析：由BE平分ABC、AEBE容易想到：延长AE交BC于M，可得等腰DBMA，E为AM的中点；同理可得等腰DCAN，F是AN的中点，故EF为DAMN的中位线，命题就能得证。 证明：延长AE、AF分别交BC于M、N Q1=2，AEBE DBAM为等腰三角形 即AB=MB，AE=EM 同理AF=FN EF为DAMN的中位线 EF/MN，EF/BC 3 W年级 内容标题 主题词 供稿老师 录入 初中 学科 数学 版本 期数 辅导与自学 栏目名称 学法指导 审稿老师 巧用“三线合一”证题 分类索引描述 巧用“三线合一”证题 韩秋荣 一校 康纪云 二校 分类索引号 G.622.46 审核 4 W
