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1、带有时滞和脉冲扰动的Hopfield神经网络的稳定性质带有时滞和脉冲扰动的Hopfield神经网络的稳定性质 摘要 本文考虑的是带有时滞脉冲扰动的Hopfield神经网络的平衡点的一致渐近稳定性、全局渐近稳定性和全局指数稳定性。用Lyapunov函数方法和LMI技术可得到关于此系统稳定性的一些新法则。结论与时滞和扰动的大小有关。本文结果比已有文献的结果条件要弱。最后给出两个数值例子说明此结果的有效性。 关键词 Hopfield神经网络；一致渐近稳定；全局渐近稳定；全局指数稳定；时滞；脉冲扰动 1 引言 Hopfield神经网络(HNN)被认为是信息处理系统的候补者，已经成功应用于联想记忆、模式
2、识别、自动控制、模型分析、优化问题等领域1-21。因而，HNN的稳定性的研究引起了很多学者的关注。时滞Hopfield神经网络已经广泛地被研究很多年了，通过各种不同的方法也得到了关于此类型神经网络平衡点的稳定性的各种充分条件。在1，Liu用固定点定理和微分不等式技巧得到了带有连续分布时滞的HNN的殆周期解的存在性和指数稳定性的充分条件。在4，Zhang运用Lyapunov函数方法和LMI技术得到了关于时滞HNN的全局渐近稳定性的一些结果。 另一方面，脉冲扰动可使得不稳定的系统变得稳定，使稳定的系统变得不稳定，因而它被广泛的应用在许多领域，如人口动力学、化学、工业机器人学、生物学等领域。HNN的
3、目标是瞬间扰动系统或使系统状态突变，也就是呈现出脉冲效应 6,7,9,19 。此种系统不能用单纯的连续HNN或离散HNN模型很好的描述出来。最近，通过不同的方法得到了脉冲时滞HNN模型的稳定性的一些结果。例如，Zhang12用Lyapunov函数方法和分析技巧得到了关于脉冲时滞HNN系统的平衡点的一致稳定性的一个结果。然而，12的结果仅仅只涉及到一致稳定。因而，时滞和脉冲的效应被忽略。事实上，时滞和脉冲可导致系统稳定性的很多性质。在14中，Long用Lyapunov-Krasovskii泛函方法和负定矩阵的性质和柯西准则得到了关于具有脉冲效应的时滞HNN系统的全局指数稳定性和全局渐近稳定性的充
4、分条件。然而，在14中，时滞和脉冲的条件具有很大的限制性和保守性，因而还存在很大的改进空间。 在本文，我们考虑一类带有时滞和脉冲扰动的HNN模型。通过Lyapunov函数方法和LMI技术得到了关于此系统平衡点的一致渐近稳定性、全局渐近稳定性和全局指数稳定性的一些新的充分条件。解的脉冲效应和时滞效应在本文得到了充分的体现。全局指数稳定性的条件比一些已有的结论更加简单，约束性较小。最后，给出两个例子来说明所得结果的优点所在。 2 预备知识 令R代表实数集，R+代表非负实数集，Z+代表正整数集，Rn代表具有欧几里得范数的n维实空间。 考虑下面带有脉冲的时滞HNN模型： nn&i(t)=-cixi(t
5、)+aijfj(xj(t)+bijgj(xj(t-t(t)+Ii,ttk,tt0 (2.1) xj=1j=1Dxit=t=xi(tk)-xi(tk-),iL,kz+k其中，L=1,2,L,n,n2对应于神经网络中的实数单元，脉冲时间tk满足：0t0t1LtkL,limtk=+;xi表示单元i在时刻t的膜电位；ci为正常数；kfj,gj分别表示单元j在时刻t和t-t(t)的输入位势的驱动或相应度量；常数aij表示单元j和单元i在时刻t的突触连接权值；常数bij表示单元j和单元i在时刻t-t(t)的突触连接权值；Ii表示单元i的输入；t(t)是传输时滞且&(t)r1,tt0,t,r均为常数。 0t
6、(t)t,t系统(2.1)的初始条件如下： x(s)=f(s)，st0-t,t0 (2.2) 其中x(s)=(x1(s),x2(s),L,xn(s)T,f(s)=(f1(s),f2(s),L,fn(s)TPC(-t,0,Rn), PC(-t,0,Rn)=y:-t,0Rn除了在点tk外是处处连续的，y(tk+)和y(tk-)均存在且y(tk+)t,R0n,，则y的范数为=ytk(. )由于yPC(-yt=supyq(. 对任意的)t00,有PCd(t0)=y(-t,0,Rn):y-tq0t0(A0,t00,存在d=d(e,t0)0使得jPCd(t0)，y(t0,j)(t)0存在d0,T=T(ed
7、,)0(P使得对t00有3) 一致吸引，如果对任意jPCBd(t0),y(t0,j)(t)0,b1使得对任意初始值j，有 y(t0,j)(t)bjre-a(t-t0),tt0. 本文有引理如下： 引理2.1(13) 对任意向量a,bRn，有不等式2aTbaTXa+bTX-1b成立，其中X是nn矩阵且X0. 引理2.2(31) XRnn，则对任意aRn有lmin(X)aTaaTXalmax(X)aTa，其中X是对称矩阵。 3 主要结果 可得到关于系统(2.1)的一致渐近稳定性、全局渐近稳定性、全局指数稳定性的充分条件的一些定理。首先考虑全局指数稳定性。 定理3.1. 假设存在常数e0,s0和nn
8、阶正定矩阵P,Q1,Q2使得se-et且 (i) eP-PC-CP+PAQ1-1ATP+lmax(Q1)ME+恒等矩阵； (ii) 存在常数v0,d0e,使)得Nlmax(Q2)1-1TE+PBQ2BP0,E为1-rsxklnmax1dtm-(t0v)对任意,-(P)k=1lminmmZ+都成立，其中xk是DkPDk,kZ+的最大特征值。 则系统(2.1)的平衡点是全局指数稳定的，且其近似指数收敛域为(e-d)2. 证明 在这里只需要证明系统(2.4)的零解是全局指数稳定的。设对任意t00，y(t)=y(t0,j)(t)是系统(2.4)关于(t0,j)的解。构造下列Lyapunov函数如下：
9、V(t)=eetyT(t)Py(t)+1tesTeG(y(s)Q2G(y(s)ds. t-t(t)1-r2则有 lmin(P)eety(t)V(t) lmax(P)eetlmax(Q2)Neet(1-e-et(t)2y(t)+y(t)t e(1-r)2lmax(Q2)N(1-e-et(t)et2 lmax(P)+ (3.1) ey(t)te(1-r)由引理2.1和引理2.2可得： 2yT(t)PAF(y(t)=2FT(y(t)ATPy(t) FT(y(t)Q1F(y(t)+yT(t)PAQ1-1ATPy(t) T lma(F(y+(t)T)yxQ)1F(y(t)1 P(t(-P)1ATQAy)
10、t yT(t)PAQ1-1ATP+lmaxQ(MEyt ( ) (3.2) 1)且 2yT(t)PBG(y-(tt(=t)T2G-t(y(t1( )1T Pyt(t)B) =2Gy(t(-tts)TBTPy(ts)-1TyT(t)PBQ2BPy(t) (3.3) sGT(y(t-t(t)Q2G(y(t-t(t)+s由(3.2)和(3.3)可知V(t)(ttk,tk+1),k=1,2,L)沿系统(2.4)的解的导数有： D+V(t)&T(t)Py(t)+yT(t)Py&(t)+=eeteyT(t)Py(t)+eety1e(t-te1-r1etTeG(y(t)Q2G(y(t)1-r(2.4) -(
11、t)TG(y(-tt(t)2)QG(-yt(tet&)(1(-t)t t) eeteyT(t)P(y+)te-(C+(y)tA(F+(y)t) )Py-BtG(ytTt(t) +yT(t)P(-Cy(t)+ +AF(y+)t)BG(t-(yt (t1etT)TeG(y(t)Q2G(y(t)-ee(t-tt(G(y(t-t(t)Q2G(y(t-t(t) 1-ret eeteyT(t)P(y+)teTy(-)t(-CP1(t)+)1-retP)+C(y)tT2 AytP(F(y)t(y(-tt +2yT(t)PBGeTG(yQ G(y(t)2(t) -ee(t-t(t)TG(y(-tt(t)2)Q
12、G(-yt(t (t)Nlma(xQ)2E 1-rt(-t) + eetyT(t)eP-CP-PC+PAQ1-1ATP+lma(Qx)ME1 +1s 0 (3.4) 更进一步，令： 1tkV(tk)=ey(tk)Py(tk)+eesGT(y(s)Q2G(y(s)ds 1-rtk-t(tk)etkT-1TPBQ2BPy(t)+GT(y(t-t(t)Q2G(y(t-t(t)seet-ee1=ey(tk)DkPDky(tk)+1-retkT-tk-tk-t(tk-)eesGT(y(s)Q2G(y(s)ds 1exky(tk)y(tk)+1-retkT-tk-tk-t(tk)eesGT(y(s)Q2G
13、(y(s)ds eetk1tk-esTy(tk)Py(tk)+eG(y(s)Q2G(y(s)ds -t-t(t)kklmin(P)1-rT-xkxkmax,1V(tk-) (3.5) lmin(P)由(3.4)和(3.5)可知对k1,lmin(P)eety(t)V(t)V(t0)2xkmax,1.另l(P)t0tktminlmax(Q2)N(1-e-et)et02一方面，由(3.1)可知V(t0)lmax(P)+ejr. 因而， e(1-r)lmax(P)lmax(Q2)N(1-e-et)-e(t-t0)y(t)+jele(1-r)lminmin222xkmax,1. 考虑到rl(P)t00,
14、s0使得se-et且 *-e-M-(i) lmax1N*，其中lmax是-2C+AAT+BBT的最大特征值； s1-rm2(ii) 存在常数v0,d0,e)使得lnmaxmax(1+dk(i),1-dtv对任意m-t00,s0使得se-et且lmax-e-M-1N*，其中lmax是-2C+AAT+BBTs1-r的最大特征值。 *注3.1. 推论3.2.中，如果lmax满足上述不等式，则不带脉冲的系统(2.1)的平衡点是全局指数稳定的且其近似指数收敛域为e2. 因而推论3.2可以说是不带脉冲效应的系统(2.1)的平衡点的全局指数稳定性的一个新的准则。 下面的定理给出了关于系统(2.1)的一致稳定
15、性、一致渐近稳定性、全局渐近稳定性的充分条件。 定理3.2. 假设存在常数e*(0,1,s0和nn阶正定矩阵P,Q1,Q2使得 (i) st2+4-tt2+4t+4+tt+422； 1(ii) e*P-CP-PC+PAQ1-1ATP+lmax(Q1)ME+s-1TPBQ2BP+lmax(Q2)NE0； 1-rxkmax,1l(P)tttmin,t+，其中x是DPD,kZ的最大特征值。 (iii) 0kkkk+1+e*(t-t0)2则系统(2.1)的平衡点是一致稳定的。 如果在条件(i)-(iii)中， xkmax,1l(P)tttmin0,t+， (iv) 0k1+e*(t-t0)2则系统(2
16、.1)的平衡点是一致渐近稳定的和全局渐近稳定的。 证明 首先证明系统(2.4)的零解是一致稳定的。从条件(iii)可知，存在一个常数M*xkmax,1l(P)t0，选择d=lmin(P)lmax(Q2)Nt3lmax(P)+(t+)M*1-r3e,则可证得当jPCd(t0)时有y(t)vmin，即 (3.11) 1+t2t4+4+tt4+41+(t-t(t)21其次，对t0,t)，有u(t)B (3.12) 221+t1+t由(3.11)和(3.12)可知对t0,t)有(3.10)成立。因而对t0,+)有(3.10)成立。 由s的定义及(3.9) (3.10)可知，D+V(t)(2.4)0 (
17、3.13) 另一方面， V(tk)=(1+e*(tk-t0)2)yT(tk)Py(tk)+1tk2T(1+(s-t)G(y(s)Q2G(y(s)ds0t-t(t)1-rkk1=(1+e(tk-t0)y(tk)DkPDky(tk)+1-r*2T-*2T-tk-tk-t(tk)(1+(s-t0)2)GT(y(s)Q2G(y(s)ds1tk-(1+e(tk-t0)xky(tk)y(tk)+(1+(s-t0)2)GT(y(s)Q2G(y(s)ds -1-rtk-t(tk)1tk-2T(1+e(tk-t0)y(tk)Py(tk)+(1+(s-t)G(y(s)Q2G(y(s)ds0-lmin(P)1-rt
18、k-t(tk)*2T-xkxkmax,1V(tk-) (3.14) lmin(P)由归纳假设，从(3.7) (3.13) (3.14)可知对k1有 lmin(P)(1+e*(tk-t0)2)y(t)V(t)V(t0)maxt0tkt2,1 (3.15) lmin(P)xklmax(Q2)Nt3(t0)2由(3.7)可知：V(t0)lmax(P)+t(t0)+jt 1-r3lma(Nt32xQ)2 lma(t+jt (3.16) xP)+1-r3由d的定义可知，将(3.16)代入到(3.15)中得： l(Q)N2y(t)lmax(P)+max2t1-rxkmax,13jl(P)tt0tktmin
19、 t+3lmin(P)1+e*(t-t0)22lmax(Q2)Nt3d2M*e2,tt0. lmax(P)+t+1-r3lmin(P)从而有y(t)e,tt0. 因而系统(2.4)是一致稳定的，从而系统(2.1)的平衡点是一致稳定的。 更进一步，由(3.15)和(3.15)知对任意yt0=j有： xkmax,1jtt0lmin(P)t3tkt+. 3lmin(P)1+e*(t-t0)222l(Q)Ny(t)lmax(P)+max2t1-r2由条件(iv)可知limsupt+y(t)=0. 则系统(2.1)的平衡点是一致渐近稳定和全局渐近稳定的。定理3.2.得证。 1则有： t2+3推论3.3.
20、 假设定理3.2中的条件(iii)成立，且： 如果定理3.2中P=Q1=Q2=E,s=l*-e*-M-maxN*,其中e*(0,1，lmax是-2C+AAT+(t2+3)BBT最大特征值。1-r则系统(2.1)的平衡点是一致稳定的。 如果P=Q1=Q2=E，t(0,31，则在定理3.2中令s=2，有： 2t+52推论3.4. 假设定理3.2中的条件(iii)成立，且： l*max2t2+5TNT*BB最大特征值。-e-M-,其中e(0,1，lmax是-2C+AA+31-r*则系统(2.1)的平衡点是一致稳定的。 如果xk*max,1，则当e=0时可得下列关于稳定性的准则： t00和nn阶正定矩
21、阵P,Q1,Q2使得 (i)st2+4-tt2+4t+4+tt+422； 1(ii)-CP-PC+PAQ1-1ATP+lmax(Q1)ME+s-1TPBQ2BP+lmax(Q2)NE0； 1-r(iii)xkmax,1,t+，其中xk是DkPDk,kZ+的最大特征值。 t00,使得定理3.2中的条件(ii) (iv)成立。 通过构造另外的Lyapunov函数方法，我们可得到系统(2.1)一致稳定的充分条件的一个定理。这里主要强调的是系统的脉冲效应。 定理3.3. 假设存在nn阶正定矩阵P,Q1,Q2使得下列条件 lmax(Q2)Nkxs-CP-PC+PAQAP+lmax(Q1)ME+E 1-r
22、s=1lmin(P)-11Tkxs-1T+PBQ2BP0 (3.17) s=1lmin(P)-1对所有的kZ+都成立。其中supkZ+s=1kxslmin(P) xk是DkPDk的最大特征值。 0，令 kelmin(P)xsd=，其中bBsupkZ+. l(P)l(Q)Nbts=1minblmax(P)+max21-r对任意t00,jPCd(t0), 设y(t)=y(t0,j)(t)为系统(2.4)关于(t0,j),t00的解，则可证明y(t)e,tt0. 构造下列Lyapunov函数： V(t)=yT(t)Py(t)+11-rxsTG(y(s)Q2G(y(s)ds. t-t(t)tstlmi
23、n(P)t则有： lmin(P)y(t)V(t) 2lmax(P)y(t)+2lmax(Q2)Nbt2y(t)t1-rl(Q)Nbt2 (3.18) lmax(P)+max2y(t)t1-r对ttk,tk+1),k=1,2,L,V(t)沿着系统(2.4)的解的导数为： D+V(t)(2.4)=(-Cy(t)+AF(y(t)+BG(y(t-t(t)TPy(t)+yT(t)P(-Cy(t)+AF(y(t) xsT1k+BG(y(t-t(t)+G(y(t)Q2G(y(t)1-rs=1lmin(P)xsT1k-G(y(t-t(t)Q2G(y(t-t(t)(1-t&(t) 1-rs=1lmin(P)-y
24、T(t)(CP+PC)y(t)+2yT(t)PAG(y(t)+2yT(t)PBG(y(t-t(t) lma(NkxsTxQ)2 +y(t)y(t) 1-rs=1lmi(P)nkxsT-G(y(t-t(t)Q2G(y(t-t(t) (3.19) s=1lmin(P)由引理2.1及引理2.2可知(3.2)成立且 2yT(t)PBG(y(t-t(t)=2GT(y(t-t(t)BTPy(t) T=2G(y(t-t(t)l(P)s=1minkxsBTPy(t)1 kxss=1lmin(P)kxsTG(y(t-t(t)Q2G(y(t-t(t) l(P)s=1minkxsT-1T+y(t)PBQ2BPy(t
25、) (3.20) s=1lmin(P)-1将(3.2) (3.20)代入到(3.19)中，并由条件(3.17)可知，对ttk,tk+1),k=1,2,L,有 D+V(t)(2.4)-yT(t)(CP+PC)y(t)+yT(t)PAQ1-1ATP+lmax(Q1)MEy(t) kxsTlmax(Q2)NkxsT-1T+y(t)PBQBPy(t)+y(t)y(t)2l(P)1-rl(P)s=1mins=1minlma(Nkxs-1TxQ)2 =y(t)-CP-PC+PAQ1AP+lma(xQ)ME+E 11-rl(P)s=1minT-1-1kxs-1T+PBQ2BPy(t)0 (3.21) s=1
26、lmin(P)更进一步，可得： 1V(tk)=y(tk)Py(tk)+1-rTT-xsTG(y(s)Q2G(y(s)ds tk-t(tk)l(P)tstkmintk1=y(tk)Py(tk)+1-rT-xsTG(y(s)Q2G(y(s)ds tk-t(tk)tstklmin(P)tk-tk-xkxsT1xky(tk)y(tk)+G(y(s)Q2G(y(s)ds 1-rlmin(P)tk-t(tk)l(P)tstk-1mintk-xkxsT1y(tk)Py(tk)+G(y(s)Q2G(y(s)dslmin(P)1-rlmin(P)tk-t(tk)l(P)tstk-1minxkT- =xklmi(
27、nP)V(tk-) (3.22) 由归纳假设，从(3.21) (3.22)可证对k1有： lmin(P)y(t)V(t)V(t0)由(3.18)，可得： 2xklmin(P). t0tktlmin(P)y(t)lmax(P)+2lmax(Q2)Nb2jtb,tt0. 1-r也就是y(t)e,tt0.因而，系统(2.4)的零解是一致稳定的。从而系统(2.1)的平衡点是一致稳定的。则定理3.3证毕. 推论3.6. 系统(2.1)的平衡点是一致稳定的，如果存在nn阶正定矩阵P,Q1,Q2lmax(Q2)kxs使得下列条件成立：mk-lmax(Q1)M-. 1-rs=1lmin(P)kxs-1T-1T
28、其中mk是-CP-PC+PAQ1AP+PBQ2BP的最大特征值。 s=1lmin(P)-1如果定理3.3中的P=Q1=Q2=E，则有： 推论3.7. 系统(2.1)的平衡点是一致稳定的，如果下列条件： -1NkkT(i)2(i)2T-2C+AA+ME+max(1+d)E+max(1+d)BB0 ssiLiL1-rs=1s=1对任意kZ+均成立。其中supkZ+max(1+ds(i)20,d*0使得对任意的mZ+，均有lnk=1mxklmin(P)+d*(tm+1-t0)b，其中xk(kZ+)是DkPDk的最大特征值。 4 例子 这里给出两个数值例子来说明本文的结论比已有的结果5,14更加可行。 例4.1. 考虑带有脉冲的二阶时滞神经网络5如下： x&1(t)=-0.8x1(t)+0.1g1(x1(t-t)+0.3g2(x2(t-t)+5,ttk&2(t)=-5.3x2(t)+0.9g1(x1(t-t)+0.1g2(x2(t-t)-3,t0 (4.1) x-(i)-*Dx=x(t)-x(t)=d(x(t)-x),i=1,2,k=1,2,Liikikkikit=tk其中t=0.058，激活函数为gi(u)=0.5(u+1-u-1)，且dk(1)=1+1-1，25kdk(
