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1、常微分方程课后习题部分答案18. 设f(x,y)及f连续,试证方程dy-f(x,y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的y积分因子. 证:必要性 若该方程为线性方程,则有dydx=P(x)y+Q(x) , 此方程有积分因子m(x)=e-P(x)dx,m(x)只与x有关 . 充分性 若该方程有只与x有关的积分因子m(x) . 则m(x)dy-m(x)f(x,y)dx=0为恰当方程 , 从而(-m(x)f(x,y)dm(x)fm(x)y=dx ,y=-m(x) , f=-m(x)m(x)dy+Q(x)=-m(x)m(x)y+Q(x)=P(x)y+Q(x) . 其中P(x)=-m(x)m(
2、x) .于是方程可化为dy-(P(x)y+Q(x)dx=0 即方程为一阶线性方程. 20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)g(u),，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 有积分因子u=(xyf(xy)-g(xy)-1 证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得： uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0 yfx(f-fg则uyfy=uf+uyfy+yfuy=fg)+xy+xyxy(f-g)+yxy(f-g)-yfyyx2y2(f-g)2 yfgfgxyf=y-gyyfxyy-gxyxy(f-g)2=xyyx(f-g)2 fg=xy-gfxy(f-g
3、)2 xgy(f-gfg而uxggugx)+xy-xyx=ug+uxx+xgx=xy(f-g)+xy(f-g)- xgxxx2y2(f-g)2 1 xf=gfgxyfxyf-g-xgxyxyxyxxyx= 22(f-g)xy(f-g)故uyfuxg=，所以u是方程得一个积分因子 xy21假设方程中得函数MN(x,y)满足关系MN= -yxNf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数，试证方程 有积分因子u=exp(f(x)dx+g(y)dy) 证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 即证Nuu(uM)(uN)M=+M=u+Nu xxyyyxu(f(x)dx+g(y
4、)dyuuMNMN-)=N- M-)=Nef(x) u(xyyxyxf(x)dx+g(y)dyMN-)=e(Nf(x)-Mg(y) yx-M ef(x)dx+g(y)dyg(y)u(由已知条件上式恒成立，故原命题得证。 22、求出伯努利方程的积分因子. dy=P(x)y+Q(x)yn,yo; 解：已知伯努利方程为：dx两边同乘以y-n，令z=y-n， dz=(1-n)P(x)z+(1-n)Q(x),线性方程有积分因子： dx-(1-n)P(x)dx(n-1)P(x)dxm=e=e，故原方程的积分因子为： -(1-n)P(x)dx(n-1)P(x)dxm=e=e，证毕！ 23、设m(x,y)是方
5、程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的积分因子，从而求得可微函数U(x,y)， x,y)也是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的积分因子的充要条件是使得dU=m(Mdx+Ndy).试证m(x,y)=mj(U),其中j(t)是t的可微函数。 mM)(mj(u)M)(mM)(mm=j(u)+mMj(u)yyy=mj(u)，则y证明：若m (mM)=j(u)+mMj(u)mNy2 N)(mj(u)N)(mN)(m=j(u)+mNj(u)mMxxx又 M)(mM)(m=j(u)+mNj(u)mM=yy为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的一个积分因子。 即m24、设m1(x,y),m2
6、(x,y)是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的两个积分因子，且m1m2常数，求证m1m2=c是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的通解。 证明：因为m1,m2是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的积分因子 所以miMdx+miNdy=o (i=1,2) 为恰当方程 即 NmimMNx-Miy=miy-x，i=1,2 下面只需证m1m的全微分沿方程恒为零 2事实上： m2m1dm1xdx+m1ydy-m1m2m2xdx+ydym2=m22mm1Mm2m2Mm22=xdx-Nydx-m1xdx-Nydxm22=dxm1m2m2Nm2Nm1-Mm2-N-Mm12xyxy=dxNm2m1m2M-N-mmM-N=02yx12yx即当m1mc时，m1=c是方程的解。证毕！ 2m2 3
