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1、常微分方程王高雄著课后习题答案21dy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 dx解：dy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x2+c y2y=ex+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= ex2. 2. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y2dx=-(x+1)dy dydy=-1dx y2x+1两边积分: -1=-ln|x+1|+ln|c| y=y1 ln|c(x+1)|另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=1 ln|c(
2、x+1)|3dy=1+y2 解：原方程为：dy=1+y21 dxxy+x3ydxyx+x31+y2dy=1dx 两边积分：x(1+x2)(1+y2)=cx2yx+x34. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： 1-ydy=-x+1dx yx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：dy=-x-y dxx+y令y=u 则dy=u+xdu 代入有：-u+1du=1dx xdxdxu2+1xln(u2+1)x2=c-2arctgu 即 ln(y2+x2)=c-2arctgy. x26. xdy-y+x2-y2=
3、0 dx 解：原方程为： dy=y+|x|-1-(y2 dxxxx)则令y=u dy=u+ xdu xdxdx1 du=sgnx 1dx arcsiny=sgnx ln|x|+c 1-u2xx7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：dy=dx tgyctgx两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=1=c另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. ccosxcosx所以原方程的通解为sinycosx=c. 28 dy+ey2+3x=0 解：原方程为：dy=eye3xdxydxy2 e3x2-3e-y=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：
4、原方程为：dy=ylny dxxx令y=u ,则dy=u+ xdu u+ xdu=ulnu xdxdxdxln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lny=cy. x10. dy=ex-y解：原方程为：dy=exe-y ey=cexdxdx11 dy=(x+y)2 解：令x+y=u,则dy=du-1 dxdxdxdu-1=u21du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c dx1+u212. dy=1解：令x+y=u,则dy=du-1 dx(x+y)2dxdxdu-1=1 u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. dxu213. dy=2x-y+1 解: 原方程
5、为：dy=(2x-y+1)dx dxx-2y+1 xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y2-y)-dx2+x=c xy-y2+y-x2-x=c 14: dy=x-y+5 解：原方程为：dy=(x-y+5)dx dxx-y-2 xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(1y2+2y)-d(1x2+5x)=0 22 y2+4y+x2+10x-2xy=c. 15: dy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy+1解：原方程为：dy=2+3 dxdx令x+4y=u 则dy=1du-1 1du-1=u2+3 dx4dx44dx4du=4 u2+13
6、 u=3tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=2(x+4y+1). dx2316:证明方程xdy=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程：ydx1） y(1+x2y2)dx=xdy 2） xdy=2+x2 y2 ydx2-x2y2 证明： 令xy=u,则xdy+y=du 则dy=1du-u，有：xdu=f(u)+1 dxdxdxxdxx2udx1du=1dx 所以原方程可化为变量分离方程。 u(f(u)+1)x1） 令xy=u 则dy=1du-u (1)原方程可化为： dxxdxx21 2） dydx=yx1+2 将1代入2式有： 1du-u=u(1+u2) u=u2
7、+2+cx xdxx2x17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。 解：设为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y(x- x )+ y 则与x轴，y轴交点分别为： x= x0 - y y= y0 - x0 y 0y则x=2 x = x - y0所以 xy=c 5:(y+x)dy+(y-x)dx=0dyy-xydydu解：=,令=u,y=ux,=u+xdxy+xxdxdxduu+1u+11则u+x=,变量分离，得：-du=dx2dxu+1xu+1两边积分得：arctgu+12ln(1+u)=-lnx+c。2y18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中a
8、=p 。 解：由题意得：y= 002dy2=y+x-ydxydydu解：令=u,y=ux,=u+x,则原方程化为：xdxdx6：xay 1dy=1 dx ln|y|=ln|xc| y=cx. 4xyaxx 所以 c=1 y=x. =p 则y=tgdu=dxx2(1-u)x211,分离变量得：du=sgnxdx2x1-u-y=sgnxlnx+cx419.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y=kx 则：y=kx两边积分得：arcsinu=sgnxlnx+c代回原来变量，得arcsin另外，y=22 +c 即为所求。 x2也是方程
9、的解。常微分方程习题2.1 1.dy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 7：tgydx-ctgxdy=0解：变量分离，得：ctgydy=tgxdx两边积分得：lnsiny=-lncosx+c.y2dx=2xy 解：对原式进行变量分离得 212dy=2xdx,两边同时积分得：lny=x+c,即y=cex把x=0,y=1代入得 ydy8:=-dxe+3xy解：变量分离，得c=1,故它的特解为y=ex。2ey13xdy=-e+c23y2.ydx+(x+1)dy=0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得： 2-1111dx=2dy,当y0时，两边同时积分得；lnx
10、+1=+c,即y=x+1yc+lnx+1y9:x(lnx-lny)dy-ydx=0yy解：方程可变为：-lndy-dx=0xxy1lnu令u=,则有：dx=-dlnuxx1+lnuy代回原变量得：cy=1+ln。xdyx-y10：=edx解：变量分离edy=edx两边积分e=e+c yxyx当y=0时显然也是原方程的解。当x=0,y=1时，代入式子得c=1,故特解是1y=。1+ln1+xdy=dxex-y解：变量分离，edy=yexdx3 1+dy=dxxy+yx2y两边积分得：e=11.dy=dxyex+c3 解：原式可化为： 1+ydy1+y1y1=显然0,故分离变量得dy=dx323dx
11、yyx+xx+x1+y1两边积分得ln1+222(x+y)2dydt=+1dxdxdt1原方程可变为：=+12dxt解：令x+y=t,则2y2=lnx-21ln1+22x22+lnc(c0),即(1+y2)(1+x)=cx2变量分离得：21+1tdt=dx,两边积分arctgt=x+c故原方程的解为代回变量得：arctg(x+y)=x+c4：(1+x)ydx+(1-y)xdy=01+x1-y解：由y=0或x=0是方程的解，当xy0时，变量分离dx=dy=0xy两边积分lnx+x+lny-y=c,即lnxy+x-y=c,故原方程的解为lnxy=x-y=c;y=0;x=0. 12dy1=dx(x+
12、y)2解令x+y=t，则2dydtdt1=-1，原方程可变为=2+1dxdxdxt变量分离tdt=dx，两边积分t-arctgt=x+c，代回变量t2+1x+y-arctg(x+y)=x+c 2 13.dy2x-y-1=dxx-2y+111,y=332-2t2=0时，即t=1，是方程(2)的解。得y2=x2-2或y2=-x2是原方程的解 解：方程组2x-y-1=0,x-2y+1=0;的解为x=-令x=X-令11dY2X-Y,y=Y+,则有=33dXX-2Y2当3+2t12-2t20时，分离变量得dt=dz两边积分的y2+x2=(y2-x2+2)5cz2-2t22-2U+2UYdU=U，则方程可
13、化为：X=XdX1-2U变量分离另外 y2=x2-2，或y2=-x2，包含在其通解中，故原方程的解为y2+x2=(y2-x2+214,dyx-ydx=+5x-y-2解：令x-y=5=t,则dydtdx=1-dx,原方程化为：1-dtdx=tt-7,变量分离(t-7)dt-7dx两边积分122t-7t=-7x+c代回变量12(x-y+5)2-7(x-y+5)=-7x+c.15dydx=(x+1)2+(4y+1)2+8xy+1解：方程化为dy=x2+2x+1+16y2+8y+1+8xy+1=(x+4y+1)2+2 dx令1+x+4y=u，则关于x求导得1+4dydu1du9dx=dx，所以4dx=
14、u2+4，分离变量14u+9=dx，两边积分得arctg(23+282du3x+3y)=6x+c，是原方程的解。16dyy6-2x2解： dx=2xy5+x2y2dy(y3)2-2x2dy33(y3)2-2x2dx=y2(2xy3+x2=dx=2xy3+x2，令y3=u，则原方程化为 3u2-6，这是齐次方程，令 du22dx=3u-6x2xu+x2=x22ux+1ududz3z2-6dzdzz2-x=z，则dx=z+xdx，所以2z+1=z+xdx，xdx=z-62z+1，.(1)当z2-z-6=0，得z=3或z=-2是方程的解。即y3=3x或y3=-2x是方程的解。当z2-z-60时，变量
15、分离2z+1z2-z-ddz=1xdx，两边积分的；令Z=v-1，Y=u+1， 则有y 2z+3y=02+，从而方程化为=dzy03+2z令=y，则有dydz=t+zdtdz，所以t+zdt2+3tdt2-2t2tdz=3+2t，zdz=3+2t，.(2) z 18. xy=dydx=f(xy) xy=u 1 .y(1+x2y2)dx=xdy(2).xdy2+x2y2ydx=2-x2y2证明：因为xy=u,关于x求导导得y+xdudx=dydx,所以xdydudx=dx-y得：1duydx-1=f(u),dudx=y(f(u)+1)=ux(f(u)+1)=1x(uf(u)+u)故此方程为此方程
16、为变程。解(1):当x=0或y=0是原方程的解，当xy0s时，方程化为xdy22ydx=1+xy令xy=u,则方程化为dudx=1x(2u+u3),变量分离得：du12u+u3=xdx22两边同时积分得：u42u2+2=cx,即yx2y2=c,y=0也包含在此通解中。 +2x2故原方程的解为原y=cx2x2y2,x=0.+2 (2) xy=u dudx=12+u214ux(u2-u2+u)=x2-u22-u2 4udu=1yx2y2xdx lnx=4+c 19. 已知f(x)x. f(x)dt=1,x0,试求函数f(x)的一般表达式0解：设f(x)=y, 则原方程化为xf(x)dt=1 两边求
17、导得y=-10yy2y-y3=dydx;dx=-1111y3dy;两边积分得x+c=2y2;所以y=2x+c1x把y=2x+c代入f(x)dt=1 0yx1=2x+c;(2x+c-c)=2x+c得c=0,所以y=1 02t+cdt2x20.求具有性质 x(t+s)=x(t)+x(s)的函数x(t),已知x(0)存在。 1-x(t)x(s)解：令t=s=0 x(0)=x(0)+x(0)=2x(0) 若x(0)0 得x2=-1矛盾。 1-x(0)1-x(0)x(0)所以x(0)=0. x(t)=limx(t+Dt)-x(t)x(Dt)(1+x2Dt=lim(t) Dt1-x(t)x(Dt)=x(0
18、)(1+x2(t)dx(t)=x(0)(1+x2(t) dx(t)dt1+x2(t)=x(0)dt两边积分得arctg x(t)=x(0)t+c 所以x(t)=tgx(0)t+c 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以x(t)=tgx(0)t 求下列方程的解 3 dx1dy=y+sinx 解： y=e (dxsinx-dxedx+c) =ex-1e-x(sinx+cosx)+c =c ex-1 (sinx+cosx)是原方程的解。 222dx+3x=e2t解：原方程可化为：dx=-3x+e2t dtdt所以：x=e-3dt (e2t e-3dtdt+c) =e-3t (1e5t+c) =c
19、e-3t+1e2t 是原方程的解。 553ds=-scost+1sin2t 解：s=e-costdt(3dt21tedt+c ) dt2sin2=e-sint(sintcostesintdt+c) = e-sint(sintesint-esint+c) =ce-sint+sint-1 是原方程的解。 4dydx-xny=exxn ， n为常数. 解：原方程可化为：dyx dx=ny+exxnnny=exdx(exxne-xdxdx+c) =xn(ex+c) 是原方程的解. 5dy+1-2x=dxx2y-10 解：原方程可化为：dy=-dx1-2xx2y+1 -1 y=e2xx2dx(lnx2+
20、1(e1-2xx2dxdx+c) =e2)(e-lnx2-1xdx+c) 1=x2(1+cex) 是原方程的解 6 dyx4+x3 解：dy433y dx=x+x =x+xy2dx=xy2y2x令y=u 则 du xy=ux dy=udx+xdx因此：xdu=x du1 u2du=dx 1dxu2dx=u23u3=x+c u3-3x=x+c 将y=u带入 中 得：y3-3x4=cx3是原方程的解. x9.dyayx+1dx=x+x,a为常数解：=-3 Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式 dx=x+x2xx2-3T=exdx(-1x2e3xdxdx+c) =x-3(-12 =1-1-3 2
21、x+c)-2x+cxz(-1x-1+cx-3)=1 ey(-1x-12+cx-3)=1 2-1x2ey+cey=x3 1x2+x3e-y=c 2215dy1 dxdx=xy+x3y3dy=yx+y3x3这是n=3时的伯努利方程。 两边同除以x3 1dx=y+y3令x-2=z dz=-2x-3dx x3dyx2dydy dz=-2yz-2y3 P(y)=-2y Q(y)=-2y3=-2y x2-2y3dy 由一阶线性方程的求解公式 z=e-2ydy(-2y3e-2ydydy+c)=e-y2(-2y3ey2dy+c)=-y2+1+ce-y2x2(-y2+1+ce-y2)=1 x2ey2(-y2+1
22、+ce-y2)=ey2 ey2(1-x2+x2y2)=cx2 16 y=ex+xy(t)dt dyxdy0dx=e+y(x) =y+ex dxP(x)=1 Q(x)=ex 由一阶线性方程的求解公式 y=e1dx(exe-1dxdx+c) =ex(exe-xdx+c) =ex(x+c) 5 ex(x+c)=ex+ex(x+c)dx c=1 y=e(x+c) 0xx于是 -得 d(y1-y)=P(x)(y1-y) dx17 18 19 设函数j(t)于-t+上连续，j(0)存在且满足关系式 2从而 y1-y=ce设P(x)dx=cy 即 y1=y+cy 所以，命题成立。 j(t+s)=j(t)j(
23、s) 试求此函数。令t=s=0 得j(0+0)=j(0)j(0) 即j(0)=j(0) 故j(0)=0或j(0)=1 当j(0)=0时 j(t)y3，y4是的任意两个解 =j(t+0)=j(t)j(0) 即j(t)=0 ct(-,+) (2) 当j(0)=1时 j(t)=limj(t+Dt)-j(t)=j(t)j(Dt)-j(t) Dt0DtlimDt0Dt =limj(t)(j(Dt)-1)=j(Dt+0)-j(0)t) Dt0DtlimDt0Dtj(t) =j(0)j(于是dj 积分 jdt=j(0)j(t) 变量分离得djt j=j(0)dt=cej(0)由于j(0)=1，即t=0时j=
24、1 1=ce0c=1 故j(t)=ej(0)t 20.试证1）一阶非齐线性方程的任两解之差必为相应的齐线性方程之解； 若y=y(x)是的非零解，而y=y(x)是的解， 则方程的通解可表为y=cy(x)+y(x)，其中c为任意常数. 方程任一解的常数倍或任两解之和仍是方程的解. 证明：dy=P(x)y+Q(x) dydxdx=P(x)y 设y1，y2是的任意两个解 则 dy1=P(x)y1）dy21+Q(x) dxdx-得 d(y1-y2)dx=P(x)(y1-y2) 即y=y1-y2是满足方程 所以，命题成立。 由题意得： dy(x)=P(x)ydy(x)=P(x)y(x)+Q(x) dxdx
25、1）先证y=cy+y是的一个解。于是 c(3)+(4) 得 cdydx+dydx=cP(x)y+P(x)y+Q(x) d(cy+y)dx=P(x)(cy+y)+Q(x) 故y=cy+y是的一个解。 2）现证方程的任一解都可写成cy+y的形式 设y1是(2.28)的一个解 则 dy1=P(x)y1+Q(x) dx 则 dy3dy4dx=P(x)y 3dx=P(x)y于是得cdy34dx=cP(x)y 3即d(cy3) 其中dx=P(x)(cy为任意常数 也就是y=cy3)c3满足方程 得 dy3dy4dxdx=P(x)y即 d(y)3P(x)y43y4=P(x)(y dx3y4)也就是y=y3y
26、4满足方程 所以命题成立。 21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。 曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方； 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项； 解：设p(x,y)为曲线上的任一点，则过p点曲线的切线方程为 Y-y=y(X-x) 从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(x-yy,0),(0,y-xy) 即 横截距为 x-y，纵截距为y-xy。由题意得： yy-xy=x2方程变形为 xdydx=y-x2 dydx=1xy-x 1dx(-1于是 y=ex(-x)ex)dxdx+c) =elnx(-x)e-lnxdx+c) =x(-x)x-1dx+c)
27、=x(-x1)dx+c) =x(-x+c) x=-x2+cx 所以，方程的通解为y=-x2+cx。 y-xy=x+y方程变形为 2xdy1 dx=y2-x dy2dx=12xy-2于是 111y=e2xdx(-1(-1)dxlnx1-lnx 2)e2xdx+c)=e2(-2)e2dx+c)11-1111=x21-2(-1)xdx+c) =x2(-x2)dx+c)=x2(-x2+c) 2211=-x+cx2 所以，方程的通解为y=-x+cx2。 22求解下列方程。(x2-1)y-xy+=0解：y=xy-12-1y-1 xx2-1xxy=ex2-1dx(-1-x2-1ex2-1dx+c) =1/x
28、2-1/2-11x2-11dx+c/x2-1/2 =1/x2-1/2-dx/1-x2/+x 3+c=c/x2-1/26 ysinxcosx-y-sin3x=0dyysin2x dx=sinxcosx+cosxP(x)=12Q(x)=sinx 由一阶线性方程的求解公式 sinxcosxcosxy=e1dx(sin2xe-1sinxcosxsinxcosxdxdx+c) =sinxcosx(sinxdx+c) cosx =sinx(-cosx+c) =tgxc-sinx cosx习题2.3 1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。 1. (x2+y)dx+(x-2y)dy=0解： M=1，N=
29、1 . yx则MN 所以此方程是恰当方程。 y=x凑微分，x2dx-2ydy+(ydx+xdy)=0得 ：1x3+xy-y23=C2 (y-3x2)dx-(4y-x)dy=0解：My=1，Nx=1 . 则My=N .所以此方程为恰当方程。凑微分， xydx+xdy-3x2dx-4ydy=0得 x3-xy+2y2=C 23 y11(x-y)-xdx+y-x2(x-y)dy=0解： 22M2y(x-y)2-2y2(x y=-y)(-1)2xy(x-y)4=(x-y)3N2x(x-y)2-2x2(x-y)2xy则MN . x=-(x-y)4=(x-y)3x=y因此此方程是恰当方程。uy21u1x x
30、=(x-y)2-2xy=y-(x-y)2对做x的积分，则u=y2(x-y)2dx-1 xdx+j(y)=y2-lnx+j(y)对做y的积分， x-y则u-(-1)y2+(x-y21x2y=-)2ydj(y)=-2xy+y(x-y)2+dy(x-y)2+dj(y)=dyy-(x-y)2则dj(y)1x2y2-2xy1x2dy=y-2xy+y21 (x-y)2-(x-y)2=y-(x-y)2=y-1j(y)=(1-1)dy=lny-y yu=-y2yy2+xy-y2x-y-lnx+lny-y=lnx-x-y=lnyx-xy x-y故此方程的通解为lnyx+xyx-y=C 4、 2(3xy2+2x3
31、)dx+3(2x2y+y2)dy=0解 My=12xy，N . x=12xyMy=N .则此方程为恰当方程。 x凑微分，6xy2dx+4x3dx+6x2ydy+3y2dy=0 3d(x2y2)+d(x4)+d(x3)=0得 ：x4+3x2y2+y3=C 5.(1sinx-ycosy+1)dx+(1 cosy-x sinx+1)dy=0 yyx2xxxy2yy2解： M=1sinx-ycosy+1 N=1 cosy-x sinx+1 yyx2xxxy2yy2M=-1 sinx-xcosx-1 cosy+ysiny yy2yy3yx2xx3xN=-1 sinx-xcosx-1 cosy+ysiny
32、 xy2yy3yx2xx3x所以，M=N，故原方程为恰当方程 yx因为1sinxdx-ycosydx+dx+1 cosydy-x sinxdy+1dy=0 yyx2xxxy2yy2d(-cosx)+d (siny)+dx+d(-1)=0所以，d(siny-cosx+x -1)=0 yxyxyy故所求的解为siny-cosx+x -1=C xyy求下列方程的解： 262x(yex-1)dx+ex2dy=0 解：M= 2xex2, N=2xex2yx所以，M=N，故原方程为恰当方程 又2xyex2dx-2xdx+ex2dy=0 yx所以，d(yex2-x2)=0 故所求的解为yex2-x2=C 7
33、.(ex+3y2)dx+2xydy=0 解：exdx+3y2dx+2xydy=0 exx2dx+3x2y2dx+2x3ydy=0 所以，d ex( x2-2x+2)+d( x3y2)=0 即d ex( x2-2x+2)+ x3y2=0 故方程的解为ex( x2-2x+2)+ x3y2=C 8. 2xydx+( x2+1)dy=0 解：2xydx+ x2dy+dy=0 d( x2y)+dy=0 即d(x2y+y)=0 故方程的解为x2y+y=C 9、ydx-xdy=(x2+y2)dx解：两边同除以 x2+y2 得ydx-xdyx2+y2=dx即，darctgxy 故方程的通解为argtgx=x+
34、c =dxy10、ydx-(x+y3)dy=0 解：方程可化为：ydx-xdyy2=ydy 即， xx12 即：2() 故方程的通解为：dy=ydyy=2y+cx=yy2+c 同时，y=0也是方程的解。 11、(y-1-xy)dx+xdy=0解：方程可化为ydx+xdy=(1+xy)dx d(xy)=(1+xy)dx 即：d(xy)1+xy=dx故方程的通解为：ln1+xy=x+c 12、(y-x2)dx-xdy=0解：方程可化为：ydx-xdy=dx x27 yy-d=dx故方程的通解为 ：=c-x 即：y=x(c-x) xx13、此时，积分因子为m(x+y)=ej(z)dz . (x+2y
35、)dx+xdy=0解：这里M=x+2y,N=x ，MyN x(2) 令z=xyMxmdmzdm ，mdmzdm =y=xxdzxdzydzydzMN-1 方程有积分因子yx=Nxm=exdx1=x dmNM dmdmNM =m(-)-Ny=m(-)(Mx-Ny)dzxydzdzxy两边乘以m得：方程x(x+2y)dx+x2dy=0是恰当方程 ( x+2xydx+x2-x2+2xydxdy=cy2故方程的通解为：)()dmNM-xy 此时的积分因子为m(xy)=mMx-Ny=eNM-xydzMx-Ny32x3+x3y=c 即：x+3xy=c 318. 设f(x,y)及fy连续,试证方程dy-f(
36、x,y)dx=0为线性方程 xcos(x+y)+sin(x+y)dx+xcos(x+y)dy=0 解：这里M=xcos(x+y)+sin(x+y),N=xcos(x+y) 14、因为的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子. 证:必要性 若该方程为线性方程, -P(x)dx, =e则有MN=cos(x+y)-xsin(x+y) yxdy=P(x)y+Q(x) ,此方程有积分因子m(x)dx故方程的通解为： m(x)只与x有关 .充分性 若该方程有只与x有关的积分因子m(x) 则m(x)dy-m(x)f(x,y)dx=0为恰当方程 , 从而xcos(x+y)-xcos(x+y)+sin(x+y)dx
37、dy=cxcos(x+y)+sin(x+y)dx+y 即：15、(-m(x)f(x,y)dm(x)=ydx ,fy=-m(x) , m(x)xsin(x+y)=c =ycosx-xsinx,N=ysinx+xcosx MN yxf=-其中 . m(x)m(x)dy+Q(x)=-y+Q(x)=P(x)y+Q(x)m(x)m(x)(ycosx+xsinx)dx+(ysinx+xcosx)dy=o P(x)=-解：这里Mm(x) . m(x)于是方程可化为dy-(P(x)y+Q(x)dx20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)=0。即方程为一阶线性方程. MN- 方程有积分因子：myx=1-M方程ey故=edy=ey 两边乘以m得： 有积分因子u=(xyf(xy)-g(xy)得： ：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0 则uyf=uf+uyf+yfu=g(u),，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 -1证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u(ycosx-xsinx)dx+ey(ysinx+xcosx)dy=0为恰当方程 通解为 yye(ycosx-xsinx)dx+N-ye(ycosx-xsinx)dxdy=c即：ey16、
