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1、一、函数列的一致收敛,函数列的逐点收敛,2 一致收敛,定义：,2 一致收敛,定理1.,通常用于证明不一致收敛,例3.,证明：,例4.,解：,一致收敛,故在(0,1)上不一致收敛.,定理2.,二、函数项级数的一致收敛,1.定义:,2.Cauchy收敛原理:,3.推论(Cauchy定理中 p=1),逆否:,例5.,解:,故级数在(0,+)上不一致收敛!,三、一致收敛的判别,优级数,强级数,控制级数,2.Dirichlet和Abel判别法,Dirichlet判别法,若在I上,例10,证明：,一致有界,Abel判别法,设,则,例11.,解：,10.3 极限函数与和函数的性质,一、连续性,定理1.,定理
2、1,例1.,.,.,例2.内闭一致收敛,.,.,二、逐项积分,1.函数列：,定理3：,极限与积分交换,推论,2.级数形式：,定理3,推论,基本要求:,一致收敛+可积,可逐项积分,三、逐项求导,1.函数列形式：,定理4：,设,定理4,2.函数项级数形式：,即：,(Dini定理),定理2,定理2,定理2（级数形式）,二、幂级数的性质,1.代数性质,2.内闭一致收敛性,定理4：,内的任何闭子区间,上一致收敛.,则在,注:,但收敛域可能会改变,在端点处的收敛性可能变“坏”,但不可能变“好”.,定理5：,3.分析性质-连续、逐项可导,(Abel第二定理),定理6：,3.分析性质-收敛区间端点处的左，右连续,积分后幂级数收敛半径不变,定理7：,但收敛域可能会改变,在端点处的收敛性可能变“好”,但不可能变“坏”.,注:,3.分析性质-逐项可积,
