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1、平行四边形典型例题平行四边形典型例题 1已知如图12-1-19，所示ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE上AD于E，OFBC于F 求证：四边形AECF是平行四边形 错证：在AOE和COF中 OEAD，OFBC AEO=CFO=90 四边形ABCD为平行四边形 OAOC，ADBC EACACF AOECOF OF=OE 四边形AECF是平行四边形 错误分析：上面证明由OFOE，OA=OC不能说明EF与AC互相平分，因为原题设中没有说明E、O、F三点共线，因此先证E、O、F三点共线 正确证明：在AOE和COF中 OEAD OFBC AEOCFO90 四边形ABCD为平行四边形 OAOC，AD
2、BC EAC=ACF AOECOF OFOE 又ADBC，OEAD，OFBC E、O、F三点共线 四边形AECF是平行四边形 2如图12-1-22所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形 分析：运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明F，E，D共线 解：取AC、BC的中点E、D连结ED，则沿ED切割下来，如图使点E不变，点C与点A重合，再焊接上去最简单 证明：在RtABC中 ACBC B=45 又E、D分别为AC、BC的中点 ECDC CEDCDE45 AE
3、FCED45 AEF+AED=CED+AED180 F、E、D在一条直线上 EAFC90 AFCD 又AFCDDB 四边形AFDB是平行四边形，且B45 3如图12-1-23，在ABCD的对角线上取两点E、F，且BFDE，请至少用两种不同的方法证明四边形AECF是平行四边形，并指出哪种方法最简便 分析：可证两组对边分别相等，也可证对角线互相平分 证明方法 在ABF和CDE中，ABCD，BFDE，ABFCDE ABFCDE AFCE 同理可证AECF，故四边形AECF是平行四边形 方法 连AC交BD于O 在ABCD中，OAOC，OBOD BFDE OE=OF 四边形AECF为平行四边形 4如果一
4、块木板两边是线段，把两把曲尺的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，这是为什么？ 分析：这是一道生活实践题，运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题，此题就是运用平行四边形的识别方法来判断两边是否平行 解：如果曲尺的刻度相等，则木板的两个边缘就平行，因为，两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形，当曲尺的刻度相等，则四边形中就有一组对边平行且相等，所以四边形为平行四边形，则木板的两边缘平行 如果曲尺的刻度不相等，则木板的两个边缘就不平行，因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形 5已知如图12-1-4所示，ABCD中，AB的延长线上
5、取一点E，使BEAB，在CE上取一点M使CMCD，连结DM并延长交AE的延长线于点F 求证：BDBF 分析：由于BD，BF是BDF的两边，所以要证BDBF，可由证BDF中BDFF入手，易知FCDM=CMDEMF，故只要证BDCE，由此由证法一又注意到BFBE+EF，易知BEABCDCM，EFEM，故BFCE，从而只要证BDCE，由此有证法二 证法：四边形ABCD为平行四边形 AB又E点在AB延长线上，且BEAB ABCD CD 四边形BECD是平行四形 BDCE BDFEMF EMFCMD BDFCMD 又CMCD CMD=CDM BDFCDM AFCD CDMF BDFF 即BDBF 证法：
6、四边形ABCD为平行四边形 AB又E点在AB延长线上且BEAB BECD CD 四边形BECD是平行四边形 BDCE，BECD 又EMF=CMD，CDCM CMD=CDM EMF=CDM BECD FEMF EFEM BFBE+EFCD+EM=CM+EMCEBD 即BFBD 习题精选 一、填空题 1过ABCD的顶点A、C分别作对角线BD的垂直线，垂足为E、F，则四边形AECF是 . 2延长ABC的中线AD到E，使DEAD 则四边形ABEC是 四边形 3在四边形ABCD中A50欲使四边形为平行四边形，则B= ，C ，D . 4在四边形中，任意相邻两个内角互补，则这个四边形是 四边形 5如图12-
7、1-29，在ABCD中，E、F为AB、CD的中点，连结DE、EF、BF则图中共有 个平行四边形 6在ABCD中连结BD作AEBD，CFBD，垂足分别为E、F，连结CE、AF，点P、Q在线段BD上，且BPDQ，连结AP、CP、AQ、CQ，MN分别交AB、CD于M、N连结AM、CM、NA、NC，那么图中平行四边形有 个，它们是 . 二、判断题 1平行四边形的对边分别相等 2平行四边形的对角线相等 3平行四边形的邻角互补 4平行四边形的对角相等 5平行四边形的对角线互相平分一组对角 6对角线平分平行四边形的四个三角形的面积相等 三、选择题 1能判断四边形是平行四边形的条件是 A一组对边平行，另一组对
8、边相等 B一组对边平行，一组对角相等 C一组对边平行，一组邻角互补 D一组对边相等，一组邻角相等 2能确定平行四边形的大小和形状的条件是 A已知平行四边形的两邻边 B已知平行四边形的两邻角 C已知平形四边形的两对角线 D已知平行四边形的两边及夹角 3平行四边形一边为32，则它的两条对角线长不可能为 A20和18 B40和50 C60和30 D32和50 4如图12-1-30所示，已知ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点且平行于BC，直线GH过O且平行AB，则图中有个平行四边形 A5个B6个C7个D10个 5能判定四边形为平行四边形的是 A一组对角相等 B两条对角线互相垂直 C两条对角线互
9、相平分 D一对邻角互补 6以下结论正确的是 A对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形 B一边长为5，两条对角线分别是4和6的四边形是平行四边形 C一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形 D对角线相等的四边形是平行四边形 7在ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，如果点E，F分别由下列各种情况得到的，那么四边形AECF不一定是平行四边形的是 AAE、CF分别平分DAB、BCD BAE，CF使BEACFD CE、F分别是BC、AD的中点 DBEBC，AFAD 8ABCD对角线交点为O，OBC的周长为59cm，且AD28cm，两对角线之差为14cm，则对角线长为 A12cm和
10、9cm B24cm和38cm C85cm和225cm D155cm和295cm 四、解答题 1如图12-1-31所示，在ABCD中，AE平分BAD，CF平分BCD，四边形AECF是平行四边形吗？ 2如图12-1-32所示，四边形ABCD中BD，12，则四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？ 3如图12-1-33所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OD、OB上一点，若ECDFAB，ECAF，则四边形AECF是平行四边形吗？为什么？ 4如图12-1-34所示，四边形ABCD中AB=CD，DBC90，FDAD于D，求证四边形ABCD是平行四边形 5如图12-1-35所示，A
11、BC中DE在BC边上，N、M在AB、AC上，且EN与DM互相平分，MDAB，NEAC求证：BDDECE 五、证明题 1已知：如图12-1-18，在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF. 求证：AECF AECF 2已知：如图12-1-19，四边形ABCD为平行四边形，E、F是直线BD延长线上的两点，且DEBF，求证AECF 参考答案 一、填空题 1平行四边形 点拨：由一组对边平行且相等，即可判断 2平行四边形 3130，50，130 4平行四边形 点拨：由题意可得两组对边分别平行 54个 点拨：ABCD，ADFE，EFCB，EDFB 63个 AECF，APCQ，AMCN 二、判
12、断题 1 2点拨：对角线不一定相等，但互相平分 3 4 5点拨：对角线不平分一组对角，只是自己互相平分 6 三、选择题 1B 2D 3A 4D 5C 6C 7B 8B 四、解答题 1解：四边形AECF是平行四边形 点拨：由ABCD知BCDBAD，又AE平分BAD，CF平分BCD，故EAFECF，又AFEC，故AEC+EAF18O，即AEC+ECF18O，所以AECF，故四边形AECF是平行四边形 2解：四边形ABCD是平行四边形 由12得DCAB，所以D+DAB18O，又BD，所以DAB+B180，所以ADBC，即四边形ABCD为平行四边形 3解：是平行四边形 点拨：ABCD，故ACDCAB，
13、又ECDFAB，故ACD-ECDCAB-FAB，即ACECAF，所以CE=AF，CEAF，故AFCE是平行四边形 4证明：BDAD BDA=90 DBC90，DCAB，DBDB ADBCBD ADBC 四边形ABCD是平行四边形 5证明：NE，MD互相平分 四边形MNDE为平行四边形 MNDE 又MDAB，NEAC 四边形MNBD、MNEC为平行四边形 MNBD，MNCE BD=DECE 五、证明题 1证明：四边形ABCD为平行四边形 ABDC ABECDF 在ABE和CDF中 ABECDF AECF AEBCFD AEDBFC AECF 2证明：如图所示 四边形ABCD是平行四边形 ADBC，ADBC 12 BD是直线 1+3180，2+4180 34 ADECBF AECF
