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1、平面向量知识点总 平面向量的概念及线性运算 1平面向量的实际背景及基本概念 了解向量的实际背景. 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. 理解向量的几何表示. 2、向量的线性运算 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义. 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 了解向量线性运算的性质及其几何意义. ruuur1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。一般用a或AB表示。 2、有向线段的定义：带有方向的线段叫有向线段。有向线段包括起点、方向、长度。所以向量可以用有向线段来表示。 uuuruuur3、模的定义：向量AB的长度叫向量的模，记作AB. 4、几个特殊的向量
2、 零向量：长度为零的向量。零向量的方向是任意的。零向量和任意一个向量的方向平行。 单位向量：长度为1个单位长度的向量。 5、向量的关系 平行向量：方向相等或相反的向量，叫平行向量。由于平行向量可以自由平移到一条直线上，所以平行向量又叫共线向量。共线向量不一定在一条直线上。 相等向量的定义：长度相等方向相同的向量叫做相等向量。 相反向量的定义：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 6、向量的加法和减法运算 向量的运算 几何表示 代数表示 C uuuruuuruuurAB+BC=AC A 向量的加法 B D A B C uuuruuuruuurAB+AD=AC 向量的减法 C uuuruuuruu
3、urAC-AB=BC A B 向量加法的三角形法则可推广到多个向量相加：AB+BC+CD+PQ+QR=AR 7、向量的数乘 rr定义：求实数l与向量a的乘积的运算叫向量的数乘，记作la。 向量的数乘结果还是一个向量。 rrrr当l0时，la与a的方向相同，且la=la； rrrr当l0时，la与a的方向相反，且la=-la。 结论 rrr向量共线定理:如果向量a为非零的向量，那么向量b与向量a共线有且只有一个rr实数l，使得b=la； uuuruuurA,B,C三点共线AB=lBC uuuruuurAB向量uuur表示与向量AB方向相同的单位向量。 AB8、温馨提示 向量手写体必须在字母的上方
4、加一个“”。 注意零向量这个特殊的向量。它的方向是任意的，长度是零。 注意向量它既有方向，又有长度。 解向量题时，由于向量属于几何范畴，所以要注意画图分析，注意平面几何知识的运用，利用数形结合的思想分析解答。 (5)a|ba=lb,只有b0才是正确的。而当b=0时，a|b是a=lb的必要非充分条件。 相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件。 向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线，而向量平行则包括共线的情况。 平面向量的基本定理及坐标运算 1、了解平面向量的基本定理及其意义. 2、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3、会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4、
5、理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 1、平面向量基本定理 uruur如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只ruruururuur有一对实数l1,l2，使得a=l1e1+l2e2，不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 2、平面向量的坐标表示 rr在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底。由平面 rrrrr向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量a可表示成a=xi+yj，由于a与数对(x,y)rrr是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上r的坐标，y叫作a
6、在y轴上的坐标，规定： 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量。 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位 置有关系。 3.平面向量的坐标运算 rrrr(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2). rrrr(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1-x2,y1-y2). uuuruuuruuur (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB=OB-OA=(x2-x1,y2-y1). rr(4)设a=(x,y),lR，则la=(lx,ly). rr(5)设a=(x1,y1),b=(x2,
7、y2)，则a|bx1y2-x2y1=0 rr设a=(x,y),则a=x2+y2 4、两个向量平行的充要条件 rrrrrr如果a0，则aPb的充要条件是有且只有一个实数l，使得b=la rr如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a|b的充要条件是x1y2-x2y1=0(坐标背景) 5、三点共线的充要条件 uuuruuurA,B,C三点共线的充要条件是AB=lBC uuuruuur(2)设OA,OB不共线，点P,A,B三点共线的充要条件是uuuruuuruuur1OP=lOA+mOB(l+m=1,l,mR),特别地，当l=m=时，P是AB中点。 26、温馨提示 向量的坐标表示体现了数形结合
8、的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题，因此解题过程中应注意使用数形结合的思想方法。 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关。 平面向量的数量积 1、平面向量的数量积 理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 2、向量的应用 会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 1、两个非零向量的夹角的概念 rruuurruuurr已知非零向量a与
9、b，作OA=a,OB=b,，则AOB=q(0qp)叫a与b的夹角。rrrrrrrrp当q=0时a与b同向；当q=p时，a与b反向；当q=时，a与b垂直，记ab。 22、平面向量的数量积 rr平面向量的数量积的定义：已知两个非零的向量a与b，它们的夹角是q，rrrrrrrrrr则数量|a|b|cosq叫a与b的数量积，记作ab，即有ab=|a|b|cosq。 r对于0,不谈它与其它向量的夹角问题。 rrrrrra与b的夹角，记作,确定向量a与b的夹角时，必须把两个向量平移到同一个起点。如：=A 但是B =p-B 平面向量的数量积是一个实数，可正，可负，可零，它不是一个向量。 rrrrrra在b上
10、的“投影”的概念：acosq叫做向量a在b上的“投影”， 向量a在向rrrr量b上的投影acosq，它表示向量a在向量b上的投影对应的有向线段的数量。它是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零。 A a q OBb OB=|a|cosqrrrrrrrrab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影r|b|cosq的乘积。 uurrrraPb向量的数量积公式变形后，得到cos=rr，可以求两个向量的夹角。 ab3、平面向量的数量积的运算律 rrrr(1) ab = ba; rrrrrrrr(2)b= l=lab= a(结合律) rrrrrrr(3)c= ac +bc.
11、rrrrb=x1x2+y1y2(竖乘相加). (1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则aPr2rrr2rr22设a=(x,y)，则a=x+y ，a=aPa=a。 rrrr设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则abx1x2+y1y2=0 rrrr设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，q为向量a与b的夹角，则x1x2+y1y2 cosq=2222x1+y1x2+y2uuuruuuruuur22设A(x1,y1),B(x2,y2)， dA,B=|AB|=ABAB=(x2-x1)+(y2-y1)。 5、温馨提示 数量积不满足结合律，即a(bc)(ab)c 消去律不成立。即由ab=ac不能得到b=c 由ab=0不能得到a=0或b=0 乘法公式和完全平方和差仍然成立：(a+b)(a-b)=a-b=|a|2-|b|2 224、平面向量数量积的坐标表示
