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1、平面向量题型及方法平面向量方法、题型、及应试技巧总结 一向量有关概念： 1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？。如： ruuur已知A，B，则把向量AB按向量a平移后得到的向量是_） 2零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； uuur3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是uuurAB)； ruuu|AB|4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5平行向量：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：ab，规定零向量
2、和任何向量平行。 提醒： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； r平行向量无传递性！若a=b，则a=b。两个向量相等的充要条件是它们的起点相uuuruuur同，终点相同。若AB=DC，则ABCD是平行四边形。若ABCD是平行四边形，rrrrrrrruuuruuurrrrr,=c，,/c，则AB=DC。若a=bb则a=c。若a/bb则a/c。其中正确的是_ ） 二向量的表示方法： 1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后； 2符号表示法：用一个小
3、写的英文字母来表示，如a，b，c等； 3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，rrrj为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=xi+yj=(x,y)，称(x,y)为向量a的坐标，a(x,y)叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1、l2，使a=l1e1l2e2。如 rrrr若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则c=_ 1r3r； 22下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 uruu
4、ruruur A. e1=(0,0),e2=(1,-2) B. e1=(-1,2),e2=(5,7) uruururuur13 C. e1=(3,5),e2=(6,10) D. e1=(2,-3),e2=(,-) 24； uuuruuuruuurruuurruuur已知AD,BE分别是DABC的边BC,AC上的中线,且AD=a,BE=b,则BC可用向量rra,b表示为_ 2r4r； 33已知DABC中，点D在BC边上，且CD=2DB，CD=rAB+sAC，则r+s的值是_ 四实数与向量的积：实数l与向量a的积是一个向量，记作la，它的长度和方向规定rr如下：(1)la=la,(2)当l0时，l
5、a的方向与a的方向相同，当l0是q为锐角的必时，abab；当q为锐角时，ab0，且a、rrrr b不反向，ab0是q为钝角的必要非要非充分条件；当q为钝角时，ab0，且a、充分条件； rrrrrrab非零向量a，b夹角q的计算公式：cosq=rr；|ab|a|b|。如 ab已知a=(l,2l)，b=(3l,2)，如果a与b的夹角为锐角，则l的取值范围是_ ； 13已知DOFQ的面积为S，且OFFQ=1，若Skk表示ab；求ab的最小值，并求此时a与b的夹角43q的大小 rrk2+114k2六向量的运算： 1几何运算： 向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共uuu
6、ruuurruuurr线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB=a,BC=b，那么向量ACrruuuruuuruuurrr叫做a与b的和，即a+b=AB+BC=AC； uuurruuurrrruuuruuuruuur向量的减法：用“三角形法则”：设AB=a,AC=b,那么a-b=AB-AC=CA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如 uuuruuuruuuruuuruuuruuur化简：AB+BC+CD=_；AB-AD-DC=_；uuuruuuruuuruuur(AB-CD)-(AC-BD)=_ uuuruuurr； uuurruuurr
7、uuurrrrr若正方形ABCD的边长为1，AB=a,BC=b,AC=c，则|a+b+c|_ ； uuuruuuruuuruuuruuur若O是gABC所在平面内一点，且满足OB-OC=OB+OC-2OA，则gABC； 若D为DABC的边BC的中点，DABC所在平面内有一点P，满足的形状为_ uuuruuuruuuruuurr|AP|r=l，则l的值为_ PA+BP+CP=0，设uuu|PD|uuuruuuruuurr若点O是ABC的外心，且OA+OB+CO=0，则ABC的内角C为_ ； rr2坐标运算：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则： rr向量的加减法运算：ab=(x1x2，y
8、1y2)。如 ； uuuruuuruuur已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若AP=AB+lAC(lR)，则当l_时，点P在第一、三象限的角平分线上 1； 2r1uuupp已知A(2,3),B(1,4),且AB=(sinx,cosy)，x,y(-,)，则x+y= 222pp； 62uuruuruururuuruuruur已知作用在点A(1,1)的三个力F则合力F=F)，1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,11+F2+F3的终点坐标是 ） r实数与向量的积：la=l(x1,y1)=(lx1,ly1)。 uuury2-y1)，即一个向量的坐标等于表示这个向若A(x1,y
9、1),B(x2,y2)，则AB=(x2-x1,量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如 uuur1uuuruuuruuur设A(2,3),B(-1,5)，且AC=AB，AD=3AB，则C、D的坐标分别是_ 311； 3rr平面向量数量积：ab=x1x2+y1y2。如 已知向量a, b, c。若x求向量a、c的夹角；若x-3pp1,，函数f(x)=lab的最大值为，求l的值 8421； 2rr2r22222向量的模：|a|=x+y,a=|a|=x+y。如 rruurro已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a+3b|_ ； 两点间的距离：若A(x1,y1),B(x2,y2)，则|AB|=
10、p，3(x2-x1)2+(y2-y1)2。如 uuururuururuur关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP=xe1+ye2，其中e1,e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(x,y)。若点P的斜坐标为，求P到O的距离PO；求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。 2；x2+y2+xy-1=0）； 七向量的运算律： 如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy=60o，平面上任一点Prrrrrrrrrr1交换律：a+b=b+a，lma=(lm)a，ab=ba； rrrrrrrrrrrrrrrrrr2结合律：a+b+c=a+b+c,a-b-c=a-b+c，lab=lab
11、=alb； rrrrrrrrrrrrrr3分配律：(l+m)a=la+ma,la+b=la+lb，a+bc=ac+bc。 ()()()()()()()如 下列命题中： a(b-c)=ab-ac； a(bc)=(ab)c； (a-b)=|a|2 rrrrrrr2r22-2|a|b|+|b|； 若ab=0，则a=0或b=0；若ab=cb,则a=c；a=a；rrrrr2r2r2rr2r2rrr2abbr2=r；(ab)=ab；(a-b)=a-2ab+b。其中正确的是_ aa提醒：向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以
12、一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；向2量的“乘法”不满足结合律，即a(bc)(ab)c，为什么？ rrrrrr2rr2八向量平行(共线)的充要条件：a/ba=lb(ab)=(|a|b|)x1y2-y1x20。如 rrrr(1)若向量a=(x,1),b=(4,x)，当x_时a与b共线且方向相同 ； rrrrrrrrrr已知a=(1,1),b=(4,x)，u=a+2b，v=2a+b，且u/v，则x_ ； uuuruuuruuur设PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k)，则k_时，A,B,C共线 rrrrrrrr九向量垂直的充要
13、条件：abab=0|a+b|=|a-b| x1x2+y1y2=0.特别地uuurAB(uuur+ABuuuruuuruuuruuur(1)已知OA=(-1,2),OB=(3,m)，若OAOB，则m= uuurAC)(uuurACuuuruuurABAC。如 -)uuuruuurABAC； 2以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B=90，则点B的坐标是_ ）； rurrururr已知n=(a,b),向量nm，且n=m，则m的坐标是_ 十线段的定比分点： 1定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实uuuuruuuuruuuruuur数l ，使
14、PP1=lPP2，则l叫做点P分有向线段PP12所成的比，P点叫做有向线段PP12的以定比为l的定比分点； 2l的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 P1P2上时l0；当P点在线段 P1P2的延长线上时l1；当P点在线段P2P1的延长线上时-1l0；uuuuruuuur1l若点P分有向线段PP所成的比为，则点P分有向线段所成的比为。如 PP1221luuuruuur3若点P分AB所成的比为，则A分BP所成的比为_ 473uuuur3线段的定比分点公式：设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，P(x,y)分有向线段PP12所成的比x1+x2x1+lx2x=x=21+l为l，则，特别地，
15、当l1时，就得到线段P1P2的中点公式y1+y2。y=y=y1+ly221+l在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，(x1,y1)、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比l。如 1-若M，N，且MP=-MN，则点P的坐标为_ 3-； uuuuruuur1已知A(a,0),B(3,2+a)，直线y=ax与线段AB交于M，且AM=2MB，则a等2于_ 73rx=x+h；曲十一平移公式：如果点P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x,y)，则y=y+kr线f(x,y)=0按向量a=(h,k)
16、平移得曲线f(x-h,y-k)=0.注意：函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如 rr(2,-3)(1,-2)按向量a把平移到，则按向量a把点(-7,2)平移到点_ ）； 函数y=sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y=cos2x+1，则a_ p412、向量中一些常用的结论： 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； rrrrrrrrrrrrr b同向或有0|a+b|=|a|+|b| |a|-|b|ab|a|+|b|，特别地，当a、rrrrrrrrrrrrrrrrr b反向或有0|a-b|=|a|+|b|a|-|b|=|a+
17、b|；当a、 b不共线|a|-|b|=|a-b|；当a、rrrrrr|a|-|b|ab|a|+|b|(这些和实数比较类似). 在DABC中，若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则其重心的坐标为y+2yx+x2+x3y+G1,1333。如 2433若ABC的三边的中点分别为、 ，则ABC的重心的坐标为_ ； uuur1uuuruuuruuuruuuruuuruuurrPG=(PA+PB+PC)G为DABC的重心，特别地PA+PB+PC=0P为3DABC的重心； (三角形中四心的向量表示) uuuruuuruuuruuuruuuruuurPAPB=PBPC=PCPAP为DABC
18、的垂心； uuuruuurACABr+uuur)(l0)所在直线过DABC的内心(是BAC的角平分线所在直向量l(uuu|AB|AC|线)； uuuruuuruuuruuuruuuruuurr|AB|PC+|BC|PA+|CA|PB=0PDABC的内心； uuuuruuuuruuuuruuurMP+lMP2，若P分有向线段PP点M为平面内的任一点，则MP=112所成的比为l，1+luuuuruuuuruuurMP+MP2； 特别地P为PP的中点MP=1122uuuruuuruuuruuuruuuruuur、B、C共线存在实数a、b使得PA=aPB+bPC向量PA、 PB、 PC中三终点A且a+b=1.如 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC=l1OA+l2OB,其中l1,l2R且l1+l2=1,则点C的轨迹是_
