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1、平面向量概念方法题型易误点及应试技巧总结概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结 平面向量 一向量有关概念： 1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？。如： ruuur已知A，B，则把向量AB按向量a平移后得到的向量是_） 2零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； uuur3单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是uuurAB)； ruuu|AB|4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5平行向量：方向相同或相反的非零向量a、b
2、叫做平行向量，记作：ab，规定零向量和任何向量平行。 提醒： 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； r平行向量无传递性！若a=b，则a=b。两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。若AB=DC，则ABCD是平行四边形。若ABCD是平行四边形，rrrrrrrruuuruuurrrrr,=c，,/c，则AB=DC。若a=bb则a=c。若a/bb则a/c。其中正确的是_ ） 二向量的表示方法： 1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后； 2
3、符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等； 3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，rrrj为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=xi+yj=(x,y)，称(x,y)为向量a的坐标，a(x,y)叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 三平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数l1、l2，使a=l1e1l2e2。如 rrrr若a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则c=_ uuuruuur1r3r； 22下列向量组中，能
4、作为平面内所有向量基底的是 uruururuur A. e1=(0,0),e2=(1,-2) B. e1=(-1,2),e2=(5,7) C. e1=(3,5),e2=(6,10) D. e1=(2,-3),e2=(,-) uruururuur1234uuuruuuruuurruuurruuur已知AD,BE分别是DABC的边BC,AC上的中线,且AD=a,BE=b,则BC可用向量； rra,b表示为_ ； 已知DABC中，点D在BC边上，且CD=2DB，CD=rAB+sAC，则r+s的值是_ 四实数与向量的积：实数l与向量a的积是一个向量，记作la，它的长度和方向规定rr如下：(1)la=l
5、a,(2)当l0时，la的方向与a的方向相同，当l0是q为锐角的必时，abab；当q为锐角时，ab0，且a、rrrr要非充分条件；当q为钝角时，ab0，且a、 b不反向，ab0是q为钝角的必要非充分条件； rrrrrrab非零向量a，b夹角q的计算公式：cosq=rr；|ab|a|b|。如 ab已知a=(l,2l)，b=(3l,2)，如果a与b的夹角为锐角，则l的取值范围是_ 41； 3313已知DOFQ的面积为S，且OFFQ=1，若Skk表示ab；求ab的最小值，并求此时a与b的夹角q的大小 rrk2+11(k0)；最小值为，q=60o） 化简：AB+BC+CD=_；AB-AD-DC=_；u
6、uuruuuruuuruuur(AB-CD)-(AC-BD)=_ uuuruuurr； uuurruuurruuurrrrr若正方形ABCD的边长为1，AB=a,BC=b,AC=c，则|a+b+c|_ ； uuuruuuruuuruuuruuur若O是gABC所在平面内一点，且满足OB-OC=OB+OC-2OA，则gABC的形状为_ ； 若D为DABC的边BC的中点，DABC所在平面内有一点P，满足uuuruuuruuuruuurr|AP|r=l，则l的值为_ PA+BP+CP=0，设uuu|PD|； uuuruuuruuurr若点O是ABC的外心，且OA+OB+CO=0，则ABC的内角C为_
7、 ； rr2坐标运算：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则： rr向量的加减法运算：ab=(x1x2，y1y2)。如 uuuruuur已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若AP=AB+lAC(lR)，则当l_时，点P在第一、三象限的角平分线上 ； r1uuupp已知A(2,3),B(1,4),且AB=(sinx,cosy)，x,y(-,)，则x+y= 22212uuur26uuruuruururuuruuruur已知作用在点A(1,1)的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1)，则合力F=F1+F2+F3； 的终点坐标是 ） r实数与向量的积：la=l
8、(x1,y1)=(lx1,ly1)。 uuur若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB=(x2-x1,y2-y1)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如 设A(2,3),B(-1,5)，且AC=AB，AD=3AB，则C、D的坐标分别是_ ； 113uuurr1uuu3uuuruuurrr平面向量数量积：ab=x1x2+y1y2。如 已知向量a, b, c。若x求向量a、c的夹角；若x-p，33pp1,，函数f(x)=lab的最大值为，求l的值 8421； 2rrr2向量的模：|a|=x2+y2,a=|a|2=x2+y2。如 rruurro已知a,b均为单位向
9、量，它们的夹角为60，那么|a+3b|_ ； 两点间的距离：若A(x1,y1),B(x2,y2)，则|AB|=(x2-x1)+(y2-y1)22。如 如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy=60o，平面上任一点Puuururuururuur关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP=xe1+ye2，其中e1,e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(x,y)。若点P的斜坐标为，求P到O的距离PO；求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。 2；x2+y2+xy-1=0）； 七向量的运算律： rrrrrrrrrr1交换律：a+b=b+a，lma=(lm)a，ab=ba； rr
10、rrrrrrrrrrrrrrrr2结合律：a+b+c=a+b+c,a-b-c=a-b+c，lab=lab=alb； rrrrrrrrrrrrrr3分配律：(l+m)a=la+ma,la+b=la+lb，a+bc=ac+bc。 ()()()()()()如 下列命题中： a(b-c)=ab-ac； a(bc)=(ab)c； (a-b)=|a|2 rrrrrrr2r22-2|a|b|+|b|； 若ab=0，则a=0或b=0；若ab=cb,则a=c；a=a；2rrrrrr2r2rrr2rrr2abbr2=r；(ab)2=ab；(a-b)2=a-2ab+b。其中正确的是_ aa 提醒：向量运算和实数运算
11、有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；向量的“乘法”不满足结合律，即a(bc)(ab)c，为什么？ rrrrrrrr八向量平行(共线)的充要条件：a/ba=lb(ab)2=(|a|b|)2x1y2-y1x20。如 rrrr(1)若向量a=(x,1),b=(4,x)，当x_时a与b共线且方向相同 ； rrrrrrrrrr已知a=(1,1),b=(4,x)，u=a+2b，v=2a+b，且u/v，则x_ ； uuuruuuruuur设PA=(k,1
12、2),PB=(4,5),PC=(10,k)，则k_时，A,B,C共线 rrrrrrrr九向量垂直的充要条件：abab=0|a+b|=|a-b| x1x2+y1y2=0.特别地uuuruuuruuuruuurABACABAC。如 (uuur+uuur)(uuu-)ruuurABACABACuuuruuuruuuruuur(1)已知OA=(-1,2),OB=(3,m)，若OAOB，则m= 3）； 2以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B=90，则点B的坐标是_ ）； rurrururr已知n=(a,b),向量nm，且n=m，则m的坐标是_ 十线段的定比分点： 1定比分点的概念：
13、设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实uuuuruuuuruuuruuur数l ，使PP=lPP2，则l叫做点P分有向线段PP112所成的比，P点叫做有向线段PP12的以定比为l的定比分点； 2l的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 P1P2上时l0；当P点在线段 P1P2的延长线上时l1；当P点在线段P2P1的延长线上时-1l0；uuuuruuuur1l若点P分有向线段PP所成的比为，则点P分有向线段所成的比为。如 PP1221luuuruuur3ABBP若点P分所成的比为，则A分所成的比为_ 473uuuur3线段的定比分点公式：设P1(x1,y1)、P2(x
14、2,y2)，P(x,y)分有向线段PP12所成的比x1+x2x1+lx2x=x=21+l为l，则，特别地，当l1时，就得到线段P1P2的中点公式y1+y2。y+lyy=2y=121+l在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，(x1,y1)、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比l。如 -1-若M，N，且MP=-MN，则点P的坐标为_ 37； 3uuuuruuur1已知A(a,0),B(3,2+a)，直线y=ax与线段AB交于M，且AM=2MB，则a等2于_ rx=x+h十一平移公式：如果点P
15、(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x,y)，则；曲y=y+kr线f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移得曲线f(x-h,y-k)=0.注意：函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如 rr按向量a把(2,-3)平移到(1,-2)，则按向量a把点(-7,2)平移到点_ ）； 函数y=sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y=cos2x+1，则a_ 12、向量中一些常用的结论： 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； rrrrrrrrrrrrr|a|-|b|ab|a|+|b|，特别地，当a、 b同向或有0|a+b|=|a|+
16、|b| rrrrrrrrrrrrrrrrr b反向或有0|a-b|=|a|+|b|a|-|b|=|a+b|；当a、 b不共线|a|-|b|=|a-b|；当a、rrrrrr|a|-|b|ab|a|+|b|(这些和实数比较类似). 在DABC中，若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，则其重心的坐标为y+2y3x+x2+x3y+G1,1。如 33若ABC的三边的中点分别为、 ，则ABC的重心的坐标为_ 24； 33uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurrPG=1(PA+PB+PC)G为DABC的重心，特别地PA+PB+PC=0P为3DABC的重心； uuuruuu
17、ruuuruuuruuuruuurPAPB=PBPC=PCPAP为DABC的垂心； uuuruuurACABr+uuur)(l0)所在直线过DABC的内心(是BAC的角平分线所在直向量l(uuu|AB|AC|线)； uuuruuuruuuruuuruuuruuurr|AB|PC+|BC|PA+|CA|PB=0PDABC的内心； uuuuruuuuruuuuruuurMP+lMP2，l，若P分有向线段PP点M为平面内的任一点，则MP=112所成的比为1+luuuuruuuuruuurMP+MP12； 特别地P为PP的中点MP=122uuuruuuruuuruuuruuuruuur向量PA、 PB、 PC中三终点A、B、C共线存在实数a、b使得PA=aPB+bPC且a+b=1.如 平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足OC=l1OA+l2OB,其中l1,l2R且l1+l2=1,则点C的轨迹是_
