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1、平面弯曲梁的强度与刚度计算第二十四讲 纯弯曲时梁的正应力 常用截面的二次矩 目的要求：掌握弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。 教学重点：弯曲梁正应力的计算和正应力分布规律。 教学难点：平行移轴定理及其应用。 教学内容： 第八章 平面弯曲梁的强度与刚度计算 8-1 纯弯曲时梁的正应力 一、 纯弯曲概念： 、纯弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力为零，该梁段称为纯弯曲梁段。 、剪切弯曲：平面弯曲中如果某梁段剪力不为零，该梁段称为剪切弯曲梁段。 二、纯弯曲时梁的正应力： 、中性层和中性轴的概念： 中性层：纯弯曲时梁的纤维层有的变长，有的变短。其中有一层既不伸长也不缩短，这一层称为中性层。 中性轴：中性层
2、与横截面的交线称为中性轴。 、纯弯曲时梁的正应力的分布规律： 以中性轴为分界线分为拉区和压区，正弯矩上压下拉，负弯矩下压上拉，正应力成线性规律分布，最大的正应力发生在上下边沿点。 、纯弯曲时梁的正应力的计算公式： 、任一点正应力的计算公式： 、最大正应力的计算公式： 其中：M-截面上的弯矩； IZ-截面对中性轴(z轴)的惯性矩； y-所求应力的点到中性轴的距离。 说明：以上纯弯曲时梁的正应力的计算公式均适用于剪切弯曲。 8-2 常用截面的二次矩 平行移轴定理 一、常用截面的二次矩和弯曲截面系数： 、矩形截面： 、圆形截面和圆环形截面： 圆形截面 圆环形截面 其中： 、型钢： 型钢的二次矩和弯曲
3、截面系数可以查表。 二、组合截面的二次矩 平行移轴定理 、平行移轴定理： 截面对任一轴的二次矩等于它对平行于该轴的形心轴的二次矩，加上截面面积与两轴之间的距离平方的乘积。 IZ1=IZ+aA 、例题： 例1：试求图示T形截面对其形心轴 的惯性矩。 解：1、求T形截面的形心座标yc 22、求截面对形心轴z轴的惯性矩 第二十五讲 弯曲正应力强度计算 目的要求：掌握塑性材料弯曲 正应力强度计算。 教学重点：弯曲正应力强度条件的应用。 教学难点：弯曲正应力强度条件的理解。 教学内容： 8-3 弯曲正应力强度计算 一、 弯曲正应力强度条件： 、 对于塑性材料，一般截面对中性轴上下对称，最大拉、压应力相等
4、，而塑性材料的抗拉、压强度又相等。所以塑性材料的弯曲正应力强度条件为： 、强度校核 、截面设计 、确定许可荷载 、 弯曲正应力强度计算的步为： ()、 画梁的弯矩图，找出最大弯矩。 ()、 利用弯曲正应力强度条件求解。 二、例题： 例1：简支矩形截面木梁如图所示，L=5m,承受均布载荷q=3.6kN/m，木材顺 纹许用应力10MPa，梁截面的高宽比h/b=2，试选择梁的截面尺寸。 解：画出梁的弯矩图如图，最大弯矩在梁中点。 由 得 矩形截面弯曲截面系数： h=2b=0.238m 最后取h=240mm,b=120mm 例2：悬臂梁AB如图，型号为No.18号式字钢。已知170MPa，L=1.2m
5、 不计梁的自重，试求自由端集中力F的最大许可值F。 解：画出梁的恋矩图如图。 由M图知：Mmax=FL=1.2F 查No.18号工字钢型钢表得 Wz=185cm3 由 得 MmaxWz 1.2F18510-6170106 F=26.2103N=26.2kN 第二十六讲 弯曲正应力强度计算 目的要求：掌握脆性材料的弯曲正应力强度计算。 教学重点：脆性材料的弯曲正应力强度计算。 教学难点：脆性材料的正应力分布规律及弯曲正应力强度条件的建立。 教学内容： 一、 脆性材料梁的弯曲正应力分析 1、脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，例如T字形截面梁。 2、脆性材料的弯曲正应力强度计算中，脆性材料的抗拉
6、强度和抗压强度不等，抗拉能力远小于抗压能力，弯曲正应力强度计算要分别早找出最大拉应力和最大压应力。 、 由于脆性材料的弯曲梁其截面一般上下不对称，上下边沿点到中性轴的距离不等，因此最大拉、压应力不一定发生在弯矩绝对值最大处，要全面竟进行分析。 三、 例题： 例1：如图所示的矩形截面外伸梁，b=100mm，h=200mm，P1=10kN， P2=20kN，=10MPa，试校核此梁的强度。 解：1、作梁的弯矩图如图 由梁的弯矩图可得： 2、强度校核 max 即：此梁的强度不够。 例2：T型截面铸铁梁如图，Iz=136104mm4,y1=30mm,y2=50mm,铁铸的抗拉许用应力t30MPa，抗压
7、许用应力c160MPa，F=2.5kN,q=2kN/m，试校核梁的强度。 解：求出梁的支座反力为 FA=0.75kN,FB=3.75kN 作梁的弯矩图如图 分别校核B、C截面 B截面 可见最大拉应力发生在C截 的下边缘。以上校核知：梁 的正应力强度满足。 C截面 可见最大拉应力发生在C截 的下边缘。以上校核知：梁 的正应力强度满足。 第二十七讲 弯曲切应力简介 目的要求：掌握弯曲切应力的强度计算。 教学重点：最大弯曲切应力的计算。 教学难点：弯曲切应力公式的理解。 教学内容： 8-4 弯曲切应力简介 一、 弯曲切应力： 、 梁横截面上的剪力由弯曲切应力组成。 、 梁横截面上的弯曲切应力成二次抛
8、物线规律分布，中性 轴处最大，上下边沿点为零。 三、 最大弯曲切应力的计算： 、 矩形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的1、5倍 、 圆形截面梁：最大弯曲切应力是平均应力的三分之四 、 工字钢：最大弯曲切应力有两种算法 、 公式： 、 认为最大弯曲切应力近似等于腹板的平均切应力。 四、 弯曲切应力的强度计算： 、 强度条件： max -梁所用材料的许用切应力 、 例题： 例：如图所示简支梁，许用正应力=140MPa，许用切应力=80MPa，试选择工字钢型号。 解： 由平衡方程求出支座反力 FA=6kN, FB=54kN 画出剪力图弯矩图 由正应力强度条件选择型号 查型钢表：选用No.12.6号
9、工字钢。 Wz=77.529cm3,h=126mm，=8.4mm, b=5mm 切应力校核 故需重选。 重选No.14号工字钢，h=140mm,=9.1mm,b=5.5mm。 虽然大于许用应力，但不超过，设计规范允许。故可选用No.14工字钢。 第二十八讲 梁的变形概述 提高梁的强度和刚度的措施 目的要求：掌握叠加法计算梁的变形。 教学重点：叠加法计算梁的变形。 教学难点：提高梁的强度和刚度的措施的理解。 教学内容： 8-5 梁的变形概述 概念： 、挠度和转角：梁变形后杆件的轴线由直线变为一条曲线。梁横截面的形心在铅垂方向的位移称为挠度。挠度向上为正，向下为负。梁横截面转动的角度称为转角，转角
10、逆时针转动为正，顺时针转动为负。 、挠曲线方程：梁各点的挠度若能表达成坐标的函数，其函数表达式称为挠曲线方程。 挠曲线方程 () 挠曲线方程对坐标的一阶导数等于转角方程。 8-6 用叠加法计算梁的变形 一、 叠加原理：在弹性范围内，多个载荷引起的某量值，等于每单个载荷引起的某量值的叠加。 二、 用叠加法计算梁的变形： 、步骤：将梁分为各个简单载荷作用下的几个梁，简单载荷作用下梁的变形可查表得到。然后再叠加。 、例题： 例1：用叠加法求(a)图所示梁的最大挠度yc和最大转角c。 解：图(a)可分解为(b)、两种情况的叠加，分别查表得 三、梁的刚度条件：梁的刚度计算以挠度为主 梁的刚度条件： max max 1、刚度校核 2、截面设计 3、确定许可荷载 在设计梁时，一般是先按强度条件选择截面或许可荷载，再用刚度条件校核，若不满足，再按刚度条件设计。 8-7 提高梁的强度和刚度的措施 一、 合理安排梁的支承： 例如剪支梁受均布载荷，若将两端的支座均向内移动0.2L，则最大弯矩只有原来最大弯矩的五分之一。 二、 合理布置载荷： 将集中力变为分布力将减小最大弯矩的值。 三、 选择合理的截面： 、截面的布置应该尽可能远离中性轴。工字形、槽形和箱形截面都是很好的选择。 、脆性材料的抗拉能力和抗压能力不等，应选择上下不对称的截面，例如T字形截面。
