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1、年级数学下册 平面几何经典难题训练 沪科经典难题 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CDAB，EFAB，EGCO 求证：CDGF C E G A B D O F 02、已知：如图，P是正方形ABCD内一点，PADPDA15 A D 求证：PBC是正三角形 P C B 3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点 A D 求证：四边形A2B2C2D2是正方形 D2 A2 A1 D1 B1 C1 B2 C2 B C 4、已知：如图，在四边形ABCD中，ADBC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的
2、延长线交MN于E、F F 求证：DENF E N C D A B M 经典难题 用心 爱心 专心 1 1、已知：ABC中，H为垂心，O为外心，且OMBC于M A 求证：AH2OM； 0 若BAC60，求证：AHAO O H E B C M D 2、设MN是圆O外一直线，过O作OAMN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q G E 求证：APAQ O C B D M N Q P A 3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q E 求证：APAQ C A
3、Q M N P O B D 4、如图，分别以ABC的AC和BC为一边，在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点 D 求证：点P到边AB的距离等于AB的一半 G C E 经典难题 1、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，AEAC，AE与CD相交于F 用心 爱心 专心 2 P A Q B F D A F E B C 2、如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，且CECA，直线EC交DA延长线于F 求证：AEAF A D F B C E 3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCE 求证：PAPF A D F B P C E 4、如图，PC切圆O于
4、C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D求证：ABDC，BCAD A O D B P 经典难题 1、已知：ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA3，PB4，PC5 求：APB的度数 用心 爱心 专心 求证：CECF E C F A P 3 B C 2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且PBAPDA 求证：PABPCB A D P B C 3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：ABCDADBCACBD A D B C 4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且 AECF求证：DPADPC A D F P B E C 经典
5、难题 1、设P是边长为1的正ABC内任一点，LPAPBPC，求证： L2 A 用心 爱心 专心 P 4 B C 2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PAPBPC的最小值 B 3、P为正方形ABCD内的一点，并且PAa，PB2a，PC3a，求正方形的边长 0A D P C A P D B 0C 4、如图，ABC中，ABCACB80，D、E分别是AB、AC上的点，DCA30，EBA0A 20，求BED的度数 经典难题解答: 经典难题 1.如下图做GHAB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以GFHOEG, 即GHFOGE,可得D E B C EOGOCO=,又CO=EO，所以CD=G
6、F得证。 GFGHCD用心 爱心 专心 5 2. 如下图做DGC使与ADP全等，可得PDG为等边，从而可得 DGCAPDCGP,得出PC=AD=DC,和DCG=PCG150 所以DCP=300 ，从而得出PBC是正三角形 3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点， 由A02E=112A1B1=2B1C1= FB2 ，EB2=12AB=12BC=FC1 ，又GFQ+Q=90和 GEB02+Q=90,所以GEB2=GFQ又B2FC2=A2EB2 ， 可得B2FC2A2EB2 ，所以A2B2=B
7、2C2 ， 又GFQ+HB02F=90和GFQ=EB2A2 , 从而可得A0 2B2 C2=90， 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。 用心 爱心 专心 6 4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得QMF=F，QNM=DEN和QMN=QNM，从而得出DENF。 经典难题 1.(1)延长AD到F连BF，做OGAF, 又F=ACB=BHD， 可得BH=BF,从而可得HD=DF， 又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM 0(2)连接OB，OC,既得BOC=120， 0 从而可得BOM=60, 所以可得OB=2OM=AH=
8、AO, 得证。 用心 爱心 专心 7 3.作OFCD，OGBE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。 由于ADACCD2FDAB=AE=BE=2BG=FDBG， 由此可得ADFABG，从而可得AFC=AGE。 又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得AFC=AOP和AGE=AOQ， AOP=AOQ，从而可得AP=AQ。 4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=EG+FH2。 由EGAAIC，可得EG=AI，由BFHCBI，可得FH=BI。 从而可得PQ= AI+BIAB2= 2，从而得证。 用心 爱心 专心 8 经典难题 1.顺时针旋转ADE，到ABG，连接
9、CG. 由于ABG=ADE=900+450=1350 从而可得B，G，D在一条直线上，可得AGBCGB。 推出AE=AG=AC=GC，可得AGC为等边三角形。 AGB=300，既得EAC=300，从而可得A EC=750。 又EFC=DFA=450+300=750. 可证：CE=CF。 2.连接BD作CHDE，可得四边形CGDH是正方形。 由AC=CE=2GC=2CH， 可得CEH=300，所以CAE=CEA=AED=150， 又FAE=900+450+150=1500， 从而可知道F=150，从而得出AE=AF。 用心 爱心 专心 9 3.作FGCD，FEBE，可以得出GFEC为正方形。 令
10、AB=Y ，BP=X ,CE=Z ,可得PC=Y-X 。 tanBAP=tanEPF=ZX2=，可得YZ=XY-X+XZ， YY-X+Z 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出ABPPEF ， 得到PAPF ，得证 。 经典难题 1. 顺时针旋转ABP 600 ，连接PQ ，则PBQ是正三角形。 可得PQC是直角三角形。 0所以APB=150 。 用心 爱心 专心 10 2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AEDC，BEPC. 可以得出ABP=ADP=AEP，可得： AEBP共圆。 可得BAP=BEP=BCP，得证。 3.在BD取一点E，使BCE=ACD，既得BECADC，
11、可得： BEBC=ADAC，即ADBC=BEAC， 又ACB=DCE，可得ABCDEC，既得 ABAC=DEDC，即ABCD=DEAC， 由+可得: ABCD+ADBC=AC(BE+DE)= ACBD ，得证。 用心 爱心 专心 11 S4.过D作AQAE ，AGCF ，由SABCDVADE=V2=SVDFC，可得： AEVPQ2=AEVPQ2，由AE=FC。 可得DQ=DG，可得DPADPC。 经典难题 1.顺时针旋转BPC 600 ，可得PBE为等边三角形。 既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小L= 过P点作BC的平行线交AB,
12、AC与点D，F。 由于APDATP=ADP， 推出ADAP 又BP+DPBP 和PF+FCPC 又DF=AF 由可得：最大L 2 ； 由和既得：L2 。 用心 爱心 专心 12 2.顺时针旋转BPC 600 ，可得PBE为等边三角形。 既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上， 即如下图：可得最小PA+PB+PC=AF。 既得AF=14+(32+1)2 = 2+3= 4+232 = (3+1)222 = 2(3+1) = 6+22 。 用心 爱心 专心 13 3.顺时针旋转ABP 900 ，可得如下图： 既得正方形边长L = (2+22)2+(22)2Va = 5+22Va 。 用心 爱心 专心 14 4.在AB上找一点F，使BCF=600 ， 连接EF，DG，既得BGC为等边三角形， 可得DCF=100 , FCE=200 ,推出ABEACF ， 得到BE=CF ， FG=GE 。 推出 ： FGE为等边三角形 ，可得AFE=800 ， 既得：DFG=400 又BD=BC=BG ，既得BGD=800 ，既得DGF=400 推得：DF=DG ,得到：DFEDGE ， 从而推得：FED=BED=300 。 用心 爱心 专心 15
