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1、年级数学期末难题压轴题26 已知：在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在 矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2. 如图，当四边形EFGH为正方形时，求GFC的面积； 如图，当四边形EFGH为菱形，且BF = a时，求GFC的面积； A H A E G B F (第26题图2) D E G B F C (第26题图1) H D C 26解：如图，过点G作GMBC于M. 在正方形EFGH中， HEF=90,EH=E. F AEH+BEF=90.AEH+AHE=90, AHE=BEF. 又A=B=90， AHEBEF 同理可证：MFGBEF. GM=
2、BF=AE=2. FC=BC-BF=10. 如图，过点G作GMBC于M.连接HF. AD/BC,AHF=MFH.EH/FG,EHF=GFH. AHE=MFG. 又A=GMF=90,EH=GF, AHEMFG. GM=AE=2. S分） GFC11=FCGM=(12-a)=12-a. ，过点E分别作EFx轴于F，EBy轴于B.设运动t秒时，矩形EBOF与OPA重叠部分的面积为S.求S与t之间的函数关系式. yPyPBEOFAxO(备用图）Axy=3x+43x=2解： 解得： 1 y=23y=3x 点P的坐标为 1 当y=0时，x=4 点A的坐标为 1 OP=2+232()2=4 PA=(2-4)
3、2+(23-0)2=4 1 OA=OP=PA POA是等边三角形 1 当0t4时， 1 S=132OFEF=t 1 28当4t8时， 1 S=-332t+43t-831 825、已知直角坐标平面上点A(2,0)，P是函数y=x(x0)图像上一点，PQAP交y轴正半轴于点Q. 试证明：AP=PQ； 设点P的横坐标为a，点Q的纵坐标为b，那么b关于a的函数关系式是_； 当SDAOQ= y y=x P Q 2SDAPQ时，求点P的坐标. 3O A x 证：过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、T， 点P在函数y=x(x0)的图像上， PH=PT，PHPT，- 又APPQ， APH =QPT，又PHA
4、 =PTQ， PHAPTQ, - AP=PQ. - (2)b=2a-2. - 由、知，SDAOQ=SDAPQ2a-2=1OAOQ=2a-2， 21=AP2=a2-2a+2，- 222a-2a+2， 3()解得a=55，- 25-55-55+55+5所以点P的坐标是2,2与2,2.- 26小题6分，第小题4分） 已知点E是正方形ABCD外的一点，EA=ED，线段BE与对角线AC相交于点F， 如图1，当BF=EF时，线段AF与DE之间有怎样的数量关系？并证明； 如图2，当EAD为等边三角形时，写出线段AF、BF、EF之间的一个数量关系，并证明 E E D A D A F F B C B C 图1
5、图2 26解：AF=1DE， 2证明如下：联结BD交AC于点O， 四边形ABCD是正方形，BO=DO， BF=EF，OF=1DE，OF/DE 2BDAC，DEO=AOB =90， ODA=OAD=190=45，EA=ED， 2EAD=EDA=45，OAD=OED=AOD=90， 四边形AODE是正方形 OA=DE，OF=解：AF+BF=EF、AFEF=(2+2111AO，AF=AO=DE 222+EF2=2BF2等 AF+BF=EF的证明方法一： 联结BD交AC于O，在FE上截取FG=BF，联结DG 与第同理可证GDA=45， 四边形ABCD是正方形，ADE是等边三角形，GDE=6045=15
6、 AB=AD=AE，BAE=BAC+DAE=90+60=150， ABE=AEB=180-150=15，ABF=GDE 2又DEG=DEAAEB=6015=45=BAC，DE=AD=AB， ABFEDG， EG=AF，AF+BF=EG+FG=EF AF+BF=EF的证明方法二： 在FE上截取FG=AF，联结AG证得AFG为等边三角形 证得ABFAEG 证得AF+BF=EF AF+EF=2BF的证明方法： 作BGBF，且使BG=BF，联结CG、FG，证得BGCBFA 证得FC=FE，FG=2BE， 利用RtFCG中，得出AF+EF=2BF 27小题3分，第小题3分, 第小题4分） 如图，在平面直
7、角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CBOA，OC=AB=4，BC=6，COA=45,动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为OABC，到达点C时停止作直线CP. 222222求梯形OABC的面积； 当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式； 当OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标 yCBOPAx27如图已知一次函数y=x+7与正比例函数y=4x的图象交于点A，且与x轴交于点B 3求点A和点B的坐标； 过点A作ACy轴于点C，过点B作直线ly轴动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在
8、平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒(tf0) 当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？ 是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是QA=QP的等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 解：一次函数yx+7与正比例函数y=4x的图象交于点A，且与x轴交于点B 3yx+7，0x+7，x7，B点坐标为：，-1分 yx+74；-1分 x，解得x3，y4，A点坐标为：3当0t4时，POt，PC4t，BRt，OR7t，-1分 过点A作AMx轴于点M 当以A、P、R为顶点的三角形的面积为8，
9、S梯形ACOBSACPSPORSARB8， 1111COACCPPOROAMBR8， 2222COACCPPOROAMBR16， 43t4t16，t28t+120. -1分 解得t12，t26. -1分 当4t7时，SAPR1APOC=28，t=3(舍去)；-1分 2当t2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8； 存在 当0t4时,直线l与AB相交于Q，一次函数yx+7与x轴交于B点，与y轴交于N点，NOOB，OBNONB45. 直线ly轴，RQRB=t，AM=BM=4QB=2t,AQ=42-2t-1分 RBOPQRt，PQ/OR,PQ=OR=7-t -1分 以A、P、Q为顶点的三角形是等腰
10、三角形，且QP=QA， 7-t=42-2t，t=1-32-1分 当4t7时，直线l与OA相交于Q， 若QPQA，则t4+23，解得t5；-1分 当t=5，存在以A、P、Q为顶点的三角形是PQAQ的等腰三角形 已知边长为1的正方形ABCD中， P是对角线AC上的一个动点， 过点P作 PEPB ，PE交射线DC于点E，过点E作EFAC，垂足为点F. 当点E落在线段CD上时， 求证：PB=PE； 在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值， 若变化，试说明理由； 当点E落在线段DC的延长线上时，在备用图上画出符合要求的大致图形，并判断 上述中的结论是否仍然成立； 在点P的
11、运动过程中，PEC能否为等腰三角形？如果能，试求出AP的长，如果 不能，试说明理由 27 证：过P作MNAB，交AB于点M，交CD于点N 正方形ABCD， PM=AM，MN=AB ， 从而 MB=PN PMBPNE，从而 PB=PE A P 。 E F B D A D C B C 解：PF的长度不会发生变化， 设O为AC中点，联结PO， 正方形ABCD， BOAC， 从而PBO=EPF， POBPEF， 从而 PF=BO=2 2图略，上述中的结论仍然成立； 当点E落在线段CD上时，PEC是钝角， 从而要使PEC为等腰三角形，只能EP=EC， 这时，PF=FC， PC=AC=2，点P与点A重合，
12、与已知不符。 当点E落在线段DC的延长线上时，PCE是钝角， 从而要使PEC为等腰三角形，只能CP=CE， 设AP=x，则PC=2-x，CF=PF-PC=x-2， 2又 CE=2CF，2-x=2(x-2)，解得x=1. 2综上，AP=1时，PEC为等腰三角形 五、27如图，已知在梯形ABCD中，AD / BC，AB = CD，BC = 8，B=60，点M是边BC的中点，点E、F分别是边AB、CD上的两个动点，且EMF=120 求证：ME = MF； 试判断当点E、F分别在边AB、CD上移动时，五边形AEMFD的面积的大小是否会改变，请证明你的结论； A D 如果点E、F恰好是边AB、CD的中点
13、，求边AD F 的长 E C B M A D F E B C M 27解：AF +CE = EF 在正方形ABCD中，CD = AD，ADC = 90， 即得 ADF +EDC = 90 AFEF，CEEF，AFD =DEC = 90 ADF +DAF = 90 DAF =EDC 又由AD = DC，AFD =DEC，得ADFDCE DF = CE，AF = DE AF +CE = EF 由的证明，可知ADFDCE DF = CE，AF = DE 由CE = x，AF = y，得DE = y 于是，在RtCDE中，CD = 2，利用勾股定理，得 CE2+DE2=CD2，即得 x2+y2=4 y
14、=4-x2 所求函数解析式为y=4-x2，函数定义域为0x2 当x =1时，得y=4-x2=4-1=3 即得 DE=3 又DF = CE = 1，EF = DE DF，EF=3-1 25已知：梯形ABCD中，AB/CD，BCAB，AB=AD，联结BD点P沿梯形的边,从点ABCDA移动，设点P移动的距离为x，BP=y. 求证：A=2CBD； 当点P从点A移动到点C时，y与x的函数关系如图2中的折线MNQ所示试求CD的长； 在的情况下，点P从点ABCDA移动的过程中，BDP是否可能为等腰三角形？若能，请求出所有能使BDP为等腰三角形的x的取值；若不能，请说明理由 四、25(1) 证明：AB=AD,
15、ADBABD,- -1分 又A+ABD+ADB=180, A=180-ABD-ADB=180-2ABD=2(90-ABD) -1分 A y 5 M O N Q 8 x D C B BCAB，ABD+CBD90，即CBD=90-ABD-1分 A=2CBD-1分 解：由点M得AB=5,-1分 由点Q点的横坐标是8，得AB+BC=8时，BC=3-1分 作DHAB于H，AD=5，DH=BC=3，AH=4， AH= AB-DC，DC=AB-AH=5-4=1-1分 (3)解：情况一：点P在AB边上，作DHAB,当PH=BH时，BDP是等腰三角 形，此时，PH=BH=DC=1，x=AB-AP=5-2=3-1
16、分 情况二：点P在BC边上，当DP=BP时BDP是等腰三角形， 此时，BP=x-5，CP=8-x,在RtDCP中，CD2+CP2=DP2, 即1+(8-x)=(x-5)，x=2220-1分 3 情况三：点P在CD边上时，BDP不可能为等腰三角形 情况四：点P在AD边上，有三种情况 1作BKAD,当DK=P1K时， BDP为等腰三角形， 此时，AB=AD,ADBABD, 又AB/DC,CDBABD ADBCDB,KBDCBD,KD =CD=1,DP1=2DK=2 x=AB+BC+CD+DP1=5+3+1+2=11-1分 2当DP2=DB时BDP为等腰三角形， 此时，x=AB+BC+CD+DP2=
17、9+10-1分 3当点P与点A重合时BDP为等腰三角形， 此时x=0或14-1分 C D D C D C D K P1 P P2 B A B A A B A P H 28、如图，直角梯形ABCD中，ADBC，A=90，AM=MB=4，AD=5，C B BC=11，点P在线段BC上，点P与B、C不重合，设BP=x，DMPD的面积为y 求梯形ABCD的面积 MBAD第28题图PCx为何值时，SDMPD=写出y与x的函数关系式，并指出x的取值范围 1S梯形ABCD 426直角梯形ABCD中，ABDC，D90，AD=CD=4，B45，点E为直线DC上一点，联接AE，作EFAE交直线CB于点F 若点E为
18、线段DC上一点， 求证：DAECEF ； 求证：AE=EF ； 联接AF ，若AEF的面积为 17，求线段CE的长(直接写出结果，不需要过程) 2 解：EFAE DEA+CEF=901 D90 DEA+DAE=901 DAECEF 1 在DA上截取DG=DE，联接EG , 1 AD=CD AG=CE D90 DGE45 AGE135 ABDC，B45ECF135 AGEECF DAECEF AGEECF AE=EF (3)求出CE=3 求出CE=5 G 2 1 1 2 27已知：如图，矩形纸片ABCD的边AD=3，CD=2，点P是边CD上的一个动点写出图中的全等三角形. 设CP=x，AM=y，
19、写出y与x的函数关系式； 试判断BMP是否可能等于90. 如果可能，请求出此时CP的长；如果不可能，请说明理由. BNAMDPC 27 MBNMPN 1 MBNMPN MB=MP, MB2=MP2 矩形ABCD AD=CD (矩形的对边相等) A=D=90(矩形四个内角都是直角) 1 AD=3, CD=2, CP=x, AM=y DP=2-x, MD=3-y 1 RtABM中， MB2=AM2+AB2=y2+4 同理 MP=MD+PD=(3-y)+(2-x)1 22222y2+4=(3-y)2+(2-x)2 1 2x-4x+9 1 y=6BMP=90 1 当BMP=90时， 可证DABMDDM
20、P 1 AM=CP，AB=DM 2=3-y,y=1 1 1=2-x,x=1 1 当CM=1时，BMP=90 6如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，C=60，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. 求AD的长； 设CP=x，PDQ的面积为y，求出y与x的函数解析式，并求出函数的定义域； 探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由. 6、AD=5 (2) 3 2 y=-9 3 4x+4xBM=0.5 (0X5) 26已知
21、：如图，梯形ABCD中，ADBC，A=90o，C=45o，AB=AD=4E是直线AD上一点，联结BE，过点E作EFBE交直线CD于点F联结BF 若点E是线段AD上一点， 求证：BE=EF 设DE=x，BEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域 直线AD上是否存在一点E，使BEF是ABE面积的3倍，若存在，直接写出DE的长，若不存在，请说明理由 B BCAEDFADC26 证明：在AB上截取AG=AE，联结EG. AGE=AEG. 又A90，AAGEAEG180. AGE45. BGE135. ADBC. CD180. 又C45. D135. BGED. 1分 AB=AD，A
22、G=AE. BG=DE. 1分 EFBE. BEF90. 又AABEAEB180， AEBBEFDEF180， A90. ABEDEF. 1分 BGEEDF. 1分 BE=EF. x2-8x+32.1y关于x的函数解析式为：y=2分 此函数的定义域为：0x4.1分 存在.1分 当点E在线段AD上时，DE=-225. 1分 当点E在线段AD延长线上时，DE=225. 1分 当点E在线段DA延长线上时，DE=1025. 1分 DE的长为25-2、25+2或1025. 26如图，在直角梯形COAB中，CBOA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A、C，CB=4，D为OA中点，动点P自A点出
23、发沿ABCO的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒 求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上； 动点P在从A到B的移动过程中，设APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围； 几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1:3的两部分？求出此时点P的坐标. OD第26题图AxCyBP26点B坐标为 AB=(10-4)2+(0-8)2=10 1分 由 5+t=10+10+4+8，得t=11 1分 2此时点P在CB上 1分 证法一：作OFAB于F，BEOA于E，DHAB于H， 则 BE=OC=8 OABE=ABOF, OF=BE=8,DH
24、=4. 1分 S=14t=2t 1分 2SDAPDAPSt=，=1分 1SDABDAB10582证法二 即 S=2t 1分 点P只能在AB或OC上， 当点P在AB上时，设点P的坐标为 由SDAPD=得 1S梯形COAB 41285y=14，得y= 25由 2t=14，得t=7. 29282由 (10-x)+. =49，得x=55即在7秒时有点P1(5,5)；1分 当点P在OC上时，设点P的坐标为 由SDOPD=得 245351S梯形COAB 41285y=14，得y= 25282)=16. 此时t=14+(8-5523即在16秒时，有点P2(0,5).1分 554323(5,5)P(0,5)使
25、PD将梯形COAB的面积分故在7秒时有点P、在16秒时，有点125555成1:3的两部分. 1分 五、 26菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，且EAF=B 如果B=60，求证：AE=AF； a90如果B=a，(1)中的结论：AE=AF是否依然成立，请说明理由； 如果AB长为5，菱形ABCD面积为20，设BE=x，AE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域 ADFBEC26(1)联结对角线AC， 在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA，B=D=60， ABC和ACD都是等边三角形， AB=AC, BAC=60，ACD=60 EAF=60，FAC=60-EAC 又BAE=60-E
26、AC，FAC=BAE 又B=ACD，AB=AC, ABEACF，AE=AF (2)过点A点作AGBC，作AHCD，垂足分别为G，H， 则AG=AH 在菱形ABCD中，ABCD，EAF=B=180-C， 又GAH=360-AGC-AHC-C=180-C， GAH=EAF GAE=HAF 又AGE=AHF，AG=AH, AGEAHF，AE=AF (3) 作法同，由面积公式可得，AG = 4, 在RtAGB中，BG2+AG2=AB2， BG = 3, EG=x-3， 在RtAGE中，AG2+EG2=AE2，即42+(x-3)2=y2 y=x2-6x+25 (1x5) 25.小题2分；第小题各3分；第
27、小题3分） 已知：如图7.四边形ABCD是菱形，AB=6，B=MAN=60.绕顶点A逆时针旋转MAN，边AM与射线BC相交于点E，边AN与射线CD相交于点F. 当点E在线段BC上时，求证：BE=CF； 设BE=x，ADF的面积为y.当点E在线段BC上时，求y与x之间的函数关系式，写出函数的定义域； 联结BD，如果以A、B、F、D为顶点的四边形是平行四边形，求线段BE的A A 长. B D B D E F M C C N 25.解：联结AC. 由四边形ABCD是菱形，B=60，易得： BA=BC，BAC=DAC=60, ACB=ACD=60. ABC是等边三角形. B AB=AC.1分 又BAE
28、+MAC=60， M CAF+MAC=60， BAE=CAF.1分 在ABE和ACF中， BAE=CAF，AB=AC，B=ACF， ABEACF. BE=CF.1分 过点A作AHCD，垂足为H 在RtADH中，D=60，DAH=90-60=30， DH=A D E F N C A 11AD=6=3. 222222B E M F N D H AH=AD-DH=6-3=33.1分 又CF=BE=x，DF=6-x， y=C 1(6-x)(33)， 233x+93.2分 2即 y=-如图3，联结BD，易得 ADB=1ADC=30. 2当四边形BDFA是平行四边形时，AFBD. FAD=ADC=30.1
29、分 DAE=60-30=30，BAE=120-30=90. 在RtABE中，B=60，BEA=30，AB=6. 易得：BE=2AB=26=12.1分 A F N B C D E M 27解：在正方形ABCD中，BC = CD，BCD =DCE = 90 BFDE， GFD = 90 即得 BGC =DEC，GAC =EDC 在BCG和DCE中， GBC=EDC, BC=DC,BGC=EDC, BCGDCE GC = EC 即得 CEG = 45 在RtBCG中，BC = 4，BG=25， 利用勾股定理，得 CG = 2 CE = 2，DG = 2，即得 BE = 6 =S四边形ABED-SD
30、SDAEGABED-S-ASDDG1111=4-64-24-22 2222= 2 由 AMBF，BFDE，易得 AM / DE 于是，由 AD / BC，可知四边形AMED是平行四边形 AD = ME = 4 由 CE = x，得 MC = 4 -x 11 y=S梯形AMCD=CD=4=-2x+16 22即 y=-2x+16 定义域为 0 0)图像上一点，PQAP交y轴正半轴于点Q. 试证明：AP=PQ； 设点P的横坐标为a，点Q的纵坐标为b，那么b关于a的函数关系式是_； 当SDAOQ= y y=x P Q 2SDAPQ时，求点P的坐标. 3O A x 25、证：过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、T， 点P在函数y=x(x0)的图像上， PH
