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1、年级数学全等三角形复习题及答案初二数学第十一章全等三角形综合复习 切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。 例1. 如图，A,F,E,B四点共线，ACCE，BDDF，AE=BF，AC=BD。求证：DACFDBDE。 例2. 如图，在DABC中，BE是ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：2=1+C。 例3. 如图，在DABC中，AB=BC，ABC=90。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE,EF和CF。求证：AE=CF。 o例4. 如图，AB/CD，AD/BC，求证：AB=CD。 例5. 如图，AP,CP分别是DABC外角M
2、AC和NCA的平分线，它们交于点P。求证：BP为MBN的平分线。 例6. 如图，D是DABC的边BC上的点，且CD=AB，ADB=BAD，AE是DABD的中线。求证：AC=2AE。 例7. 如图，在DABC中，ABAC，1=2，P为AD上任意一点。求证：AB-ACPB-PC。 同步练习 一、选择题： 1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) A. 两直角边对应相等 C. 两锐角对应相等 B. 一锐角对应相等 D. 斜边相等 oB. AB=4，BC=3，A=30 oD. C=90，AB=6 2. 根据下列条件，能画出唯一DABC的是( ) A. AB=3，BC=4，CA=8 ooC. C=60
3、，B=45，AB=4 3. 如图，已知1=2，AC=AD，增加下列条件：AB=AE；BC=ED；C=D；B=E。其中能使DABCDAED的条件有( ) A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4. 如图，1=2，C=D，AC,BD交于E点，下列不正确的是( ) A. DAE=CBE C. DDEA不全等于DCBE B. CE=DE D. DEAB是等腰三角形 5. 如图，已知AB=CD，BC=AD，B=23，则D等于( ) A. 67o B. 46o C. 23o oD. 无法确定 二、填空题： 6. 如图，在DABC中，C=90o，ABC的平分线BD交AC于点D，且CD:AD=2:3
4、，AC=10cm，则点D到AB的距离等于_cm； 7. 如图，已知AB=DC，AD=BC，E,F是BD上的两点，且BE=DF，若ooAEB=100，ADB=30，则BCF=_； 8. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC,BD为折痕，则CBD的大小为_； 9. 如图，在等腰RtDABC中，C=90，AC=BC，AD平分BAC交BC于D，DEAB于E，若AB=10，则DBDE的周长等于_； o10. 如图，点D,E,F,B在同一条直线上，AB/CD，AE/CF，且AE=CF，若BD=10，BF=2，则EF=_； 三、解答题： DABC为等边三角形，11. 如图，点M,N分别在BC,AC上，且B
5、M=CN，AM与BN交于Q点。求AQN的度数。 12. 如图，ACB=90o，AC=BC，D为AB上一点，AECD，BFCD，交CD延长线于F点。求证：BF=CE。 答案 例1. 思路分析：从结论DACFDBDE入手，全等条件只有AC=BD；由AE=BF两边同时减去EF得到AF=BE，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CF=DE，也可以是A=B。 由条件ACCE，BDDF可得ACE=BDF=90o，再加上AE=BF，AC=BD，可以证明DACEDBDF，从而得到A=B。 解答过程：QACCE，BDDF ACE=BDF=90o在RtDACE与RtDBDF中 AE=BF QAC=BDR
6、tDACERtDBDF(HL) A=B，即AF=BE QAE=BF AE-EF=BF-EF在DACF与DBDE中 AF=BEQA=B AC=BDDACFDBDE(SAS) 解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。 小结：本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路。 例2. 思路分析：直接证明2=1+C比较困难，我们可以间接证明，即找到a，证明2=a且a=1+C。也可
7、以看成将2“转移”到a。 那么a在哪里呢？角的对称性提示我们将AD延长交BC于F，则构造了FBD，可以通过证明三角形全等来证明2=DFB，可以由三角形外角定理得DFB=1+C。 解答过程：延长AD交BC于F 在DABD与DFBD中 ABD=FBDQBD=BDoADB=FDB=90DABDDFBD(ASA 2= DFB又QDFB=1+C 2=1+C。 解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。 例3. 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的DABE绕点B顺时针旋转90o到DCBF的位置，而线段CF正好是DC
8、BF的边，故只要证明它们全等即可。 解答过程：QABC=90o，F为AB延长线上一点 ABC=CBF=90o在DABE与DCBF中 AB=BCQABC=CBF BE=BFDABEDCBFAE=CF(SAS) 。 解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。 小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。 例4. 思路分析：关于四边形我们知之甚少，通过连接四边形的对角线，可以把原问题转化为全等三角形的问题。 解答过程：连接AC Q
9、AB/CD，AD/BC 1=2，3=4 在DABC与DCDA中 1=2QAC=CA 4=3DABCDCDAAB=CD(ASA) 。 解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。 例5. 思路分析：要证明“BP为MBN的平分线”，可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明，故应过点P向BM,BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“AP,CP分别是MAC和NCA的平分线”，也需要作出点P到两外角两边的距离。 解答过程：过P作PDBM于D，PEAC于E，PFBN于F QAP平分MAC，PDBM于D，PEAC于E PD=PEQCP平分NCA，PEAC于E，PFBN于F QPD=PE，P
10、E=PF PE=PFQPD=PF，且PDBM于D，PFBN于F BP为MBN的平分线。 PD=PF解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时，常过角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。 例6. 思路分析：要证明“AC=2AE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EF=AE。 解答过程：延长AE至点F，使EF=AE，连接DF 在DABE与DFDE中 AE=FEQAEB=FED BE=DEDABEDFDEB=EDF(SAS) QADF=ADB+EDF，ADC=BAD+B 又QADB=BAD ADF=A
11、DC QAB=DF，AB=CD DF=DC在DADF与DADC中 AD=ADQADF=ADC DF=DCDADFDADCAF=AC(SAS) 。 又QAF=2AE AC=2AE解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。 例7. 思路分析：欲证AB-ACPB-PC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB-AC。而构造AB-AC可以采用“截长”和“补短”两种方法。 解答过程：法一： 在AB上截取AN=AC，连接PN 在DAPN与DAPC中 AN=ACQ1=2 AP=A
12、PDAPNDAPCPN=PC(SAS) ，即ABACPBPC。 Q在DBPN中，PB-PNBN PB-PCPM-PC AB-ACPB-PC。 解题后的思考：当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。具体作法是：在较长的线段上截取一条线段等于一条较短线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。 小结：本题组总结了本章中常用辅助线的作法，以后随着学习的深入还要继续总结。我们不光要总结辅助线的作法，还要知道辅助线为什么要这样作，这样作有什么用处。 同步练习的答案
13、一、选择题： 1. A 2. C 3. B 4. C 5. C 二、填空题： 6. 4 7. 70o 8. 90o 9. 10 10. 6 三、解答题： 11. 解：QDABC为等边三角形 oAB=BC，ABC=C=60 在DABM与DBCN中 AB=BCQABC=C BM=CNDABMDBCN(SAS) NBC=BAM AQN=ABQ+BAM=ABQ+NBC=60。 o12. 证明：QAECD，BFCD oF=AEC=90 ACE+CAE=90 QACB=90 ACE+BCF=90 CAE=BCF 在DACE与DCBF中 oooF=AECQCAE=BCF AC=BCDACEDCBF(AAS) BF=CE。
