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1、第一章 推理与证明,内容结构“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式推理一般包括合情推理和演绎推理在本章中，我们将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。,归 纳 推 理,哥德巴赫猜想,世界近代三大数学难题之一,1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和。如633，1257等等。猜
2、想,(a)任何一个6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。(b)任何一个9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。,有人对33108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。,目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理(Chens Theorem).“任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积”,通常都简称这个结果为大偶数可表示为“1+2”的形式。,1920年，挪威的布朗证明了“9+9”。1924年，德国的拉特马赫证明了“7+7”。1932年，英国的埃斯特曼证明了“6+6”。,200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇
3、冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。,1637年，法国数学家费马提出：“将一个立方数分为两个立方数的和，一个四次幂分为两个四次幂的和，或者一般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂的和，这是不可能的.”,费马猜想,数论中最著名的世界难题之一,300多年来，这个问题吸引了很多优秀数学家，法国科学院曾于1816年和1850年两次悬赏征解，德国也于1908年悬赏十万马克征解。,经过三百多年来历代数学家的不断努力，剑桥大学怀尔斯终于1995年正式彻底解决这一大难题.,1852年，弗南西斯格思里搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色
4、，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”,世界近代三大数学难题之一,四色猜想,1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。,不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种简捷明快的书面证明方法。,归纳推理的定义:,根据一类事物中的部分事物具有的某种属性,推断该类事物中的每一个事物都有这种属性,我们将这种推理方式称为归纳推理(简称归纳).,简言之,归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。,归纳推理的一般步骤：,检验猜想。,提出带有规律性的结论，即猜想；,对有限的资料进行观察、分析、归纳整
5、理；,例1.已知数列an的第1项a1=1，且（n=1,2,),试归纳出这个数列的通项公式.,分别把n=1,2,3,4代入 得:,归纳:,可用数学归纳法证明这个猜想是正确的.,取倒数得：,解法2、构造法,例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.,4,6,4,5,5,6,5,9,8,4,6,4,5,5,6,5,9,8,6,6,8,6,12,8,12,6,10,4,6,4,5,5,6,5,9,8,6,6,8,6,12,8,12,6,10,7,7,9,16,9,10,15,10,15,F+V-E=2,猜想,欧拉公式,例3(2007上海)根据图中5个图形
6、及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有 个点.,(1),(2),(3),(4),(5),n=1,n=2,n=3,画一画、猜一猜 根据下列图案中圆圈的排列规则，猜想第5个图形由多少个圆圈组成，是怎样排列的；第n个图形中共有多少个圆圈？,n=4,n=5,第n个图形中共有圆圈：n(n-1)+1个,例3(2004春季上海)根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第n个图形中有 个点.,(1),(2),(3),(4),(5),练一练：1、数列 1，3，7，15，X，63，中X的值为（）（A）21（B）27（C）31（D）57,2、猜想10条直线的交点最多有多少个？,3、数列an中，若a1
7、=1/2，an=1/(1-an-1),(n2,nN)则a2008的值为()(A)-1(B)1/2(C)1(D)2,观察下图,可以发现,1+3+(2n1)=n2（n,1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，1+3+1999=？,4.观察下图，你能提出一个猜想吗？,小结,2.归纳推理的一般步骤:,(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;,(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).,1.什么是归纳推理（简称归纳）?,部分整体,个别 一般,小结,2.归纳推理的一般步骤:,(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;,(2)从已
8、知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).,1.什么是归纳推理（简称归纳）?,部分整体,个别 一般,趣味题：有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上.1.每次只能移动一个金属片;2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测:把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?,n=1时,n=2时,n=1时,n=3时,n=2时,n=1时,n=2时,n=1时,n=3时,n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,n=4时,n=3时,n=2时,n=1时,归纳:,数列 满足,猜想此数列的通项公式,探索:,猜想:,有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。一个人的价值在于他的才华，而不在他的衣饰。生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。读一切好的书，就是和许多高尚的人说话。最聪明的人是最不愿浪费时间的人。,
