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1、第一节 直接计算DFT的问题及改进途径,1、问题的提出,设有限长序列x(n)，非零值长度为N，若对x(n)进行一次DFT运算，共需多大的运算工作量？,计算成本?计算速度?,2.DFT的运算量,回忆DFT和IDFT的变换式：,计算机运算时（编程实现）：,以DFT为例：,运算量,(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad),例：计算一个 N点DFT，共需N2次复乘。以做一次 复乘1s计，若N=4096，所需时间为,例：石油勘探，有24个通道的记录，每通道波形记 录长度为5秒，若每秒抽样500点/秒，1）每道总抽样点数：500*5=2500点 2）24道总抽样点数：24*2500=6万
2、点 3）DFT复乘运算时间：N2=(60000)2=36*108次,由于计算量大，且要求相当大的内存，难以实现实时处理，限制了DFT的应用。长期以来，人们一直在寻求一种能提高DFT运算速度的方法。,FFT便是 Cooley&Tukey 在1965 年提出的的快速算法，它可以使运算速度提高几百倍，从而使数字信号处理学科成为一个新兴的应用学科。,第二节 改善DFT运算效率的基本途径,1、利用DFT运算的系数 的固有对称性和周期 性，改善DFT的运算效率。1）对称性 2）周期性 3）可约性,2、将长序列DFT利用对称性和周期性分解为短 序列DFT的思路,因为DFT的运算量与N2成正比的，如果一个大点
3、数N的DFT能分解为若干小点数DFT的组合，则显然可以达到减少运算工作量的效果。,N点DFT,复乘：,FFT算法的基本思想：利用DFT系数的特性，合并DFT运算中的某些项 把长序列DFT短序列DFT，从而减少运算量。,FFT算法分类:,时间抽选法 DIT:Decimation-In-Time频率抽选法 DIF:Decimation-In-Frequency,第三节 按时间抽选的基2-FFT算法,1、算法原理,设输入序列长度为N=2M(M为正整数，将该序列按时间顺序的奇偶分解为越来越短的子序列，称为基2按时间抽取的FFT算法。也称为Coolkey-Tukey算法。,其中基2表示：N=2M，M为整
4、数.若不满足这个条件，可以人为地加上若干零值（加零补长）使其达到 N=2M。,先将x(n)按n的奇偶分为两组，作变量置换:当n=偶数时，令n=2r;当n=奇数时，令n=2r+1;,分组，变量置换,2、算法步骤,得到：,带入DFT中,所以,由于,?,X1(k)、X2(k)只有N/2个点，以N/2为周期；而X(k)却有N个点，以N为周期。要用X1(k)、X2(k)表达全部的X(k)值，还必须利用WN系数的周期特性。,又考虑到 的对称性：,有：,蝶形运算流图符号,说明：(1)左边两路为输入(2)右边两路为输出(3)中间以一个小圆表示加、减运算（右上路为相加 输出、右下路为相减输 出),1个蝶形运算需
5、要1次复乘，2次复加,运算量减少了近一半,分解后的运算量：,先将N=8点的DFT分解成2个4点DFT：可知：时域上：x(0),x(2),x(4),x(6)为偶子序列 x(1),x(3),x(5),x(7)为奇子序列 频域上：X(0)X(3)，由X(k)给出 X(4)X(7)，由X(k+N/2)给出,例子：求 N=23=8点FFT变换 按N=8N/2=4，做4点的DFT：,N=8点的直接DFT的计算量为：复乘：N2次=64次 复加：N(N-1)次=87=56次,此外，还有4个蝶形结，每个蝶形结需要1次复乘，2次复加。一共是：复乘4次，复加8次。,得到X1(k)和X2(k)需要：复乘：(N/2)2
6、+(N/2)2次=32次 复加：N/2(N/2-1)+N/2(N/2-1)=12+12=24次,用分解的方法得到X(k)需要：复乘：32+4=36次 复加：24+8=32次,N点DFT的一次时域抽取分解图(N=8),因为4点DFT还是比较麻烦，所以再继续分解。,若将N/2(4点)子序列按奇/偶分解成两个N/4点(2点)子序列。即对将x1(r)和x2(r)分解成奇、偶两个N/4点(2点)点的子序列。,那么，X1(k)又可表示为,X2(k)也可以进行相同的分解：,注意：通常我们会把 写成。,N点DFT的第二次时域抽取分解图(N=8),8,8,N点DITFFT运算流图(N=8),3、DITFFT算法
7、与直接计算DFT运算量的比较,1)、N=2M的DFT运算可分成M级，每一级有N/2个蝶形，每个蝶形有一次复乘两次复加。,2)、所以M级共有 次复乘和 次复加。,3)、若直接计算DFT，需N2次复乘和N(N-1)次复加。,显然，当N较大时，有：,FFT算法与直接计算DFT所需乘法次数的比较曲线,4、DITFFT的运算规律及编程思想,FFT的每级（列）计算都是由N个复数数据（输入）两两构成一个蝶型（共N/2个蝶形）运算而得到另外N个复数数据（输出）。,当数据输入到存储器以后，每一组运算的结果，仍然存放在这同一组存储器中直到最后输出。,例：将x(0)放在单元A(0)中，将x(4)放在单元A(1)中，
8、W80 放在一个暂存器中。,将x(0)+W80 x(4)送回A(0)单元,将x(0)-W80 x(4)送回A(1)单元,1）原位运算(亦称同址计算),回顾：N点DITFFT运算流图(N=8),如上所述，N点DITFFT运算流图中，每级都有N/2个蝶形。每个蝶形都要乘以因子WNP，称其为旋转因子，p称为旋转因子的指数。,2)旋转因子的变化规律,观察FFT运算流图发现，第L级共有2L-1个不同的旋转因子。N=23=8时的各级旋转因子表示如下：,L=1时，WNp=WN/4J，N/4=21=2L，J=0L=2时，WNp=WN/2J，N/2=22=2L，J=0，1L=3时，WNp=WNJ，N=23=2L
9、，J=0，1，2，3,对N=2M的一般情况，第L级的旋转因子为：,设序列x(n)经时域抽选(倒序)后，存入数组X中。如果蝶形运算的两个输入数据相距B个点(B=2L-1)，应用原位计算，则蝶形运算可表示成如下形式：,下标L表示第L级运算，XL(J)则表示第L级运算后数组元素X(J)的值。,3)编程思想及流程图,4）码位倒序,由N=8蝶形图看出：原位计算时，FFT输出的X(k)的次序正好是顺序排列的，即X(0)X(7),但输入x(n)都不能按自然顺序存入到存储单元中，而是按x(0),x(4),x(2),x(6),x(1),x(5),x(3),x(7)的顺序存入存储单元，即为乱序输入，顺序输出。这种
10、顺序看起来相当杂乱，然而它是有规律的。即码位倒读规则。,以N=8为例：,看出：码位倒读后的顺序刚好是数据送入计算机内的顺序。,倒序规律,对于数N，在其二进制最高位加1，等于加N/2。,若已知某个反序号为J，为求下一个反序号，可先判J的最高位：1)若为0，则把该位变成1（即加N/2）就得到下 一个反序号，2)若为1，则需判断次高位：若次高位为0，则把最高位变0（相当减去 N/2）后，再把次高位变1（即加N/4）。若次高位为1，则需判断次次高位,分析：,倒序排列算法的流程图,第四节 按频率抽选的基2-FFT算法,在基2快速算法中，频域抽取法FFT也是一种常用的快速算法，简称DIFFFT。,设序列x
11、(n)长度为N=2M，首先将x(n)前后对半分开，得到两个子序列，其DFT可表示为如下形式,DIFFFT一次分解运算流图(N=8),DIFFFT二次分解运算流图(N=8),DIFFFT运算流图(N=8),时间抽取算法与频率抽取算法的比较,1)频率抽选法和时间抽选法总的计算量是相同的,2)频率抽取法和时间抽取法一样，都适用于原位运 算，即蝶形的输入和输出占用同一个存储单元。,3)均存在码位倒序问题。,4)频率抽选法和时间抽选法一样，基本运算也是蝶形 运算。但两者的蝶形形式略有不同。,第五节 IDFT的快速算法IFFT,上述FFT算法流图也可以用于离散傅里叶逆变换(Inverse Discrete
12、 Fourier Transform，简称IDFT)。,比较DFT和IDFT的运算公式：,1)旋转因子：,2)系数：,DITIFFT运算流图,DITIFFT运算流图(防止溢出),如果希望直接调用FFT子程序计算IFFT，则可用下面的方法：,对上式两边同时取共轭，得：,例1、如果通用计算机的速度为平均每次复乘需要 5s，每次复加需要0.5s，用它来计算512点 的DFTx(n)，问：,1）直接计算需要多少时间？2）用FFT需要多少时间？,解：1）用DFT进行运算：,复乘：T1=N2510-6=1.31072秒,复加：T2=N(N-1)0.510-6=0.130816秒,总共：T=T1+T2=1.
13、441536秒,2）用FFT进行运算：,复乘：T1=(N/2)log2N510-6=0.01152秒,复加：T2=Nlog2N 0.510-6=0.002304秒,总共：T=T1+T2=0.013824秒,例2、对一个连续时间信号xa(t)采样1秒得到4096个采 样点的序列，求：,1）若采样后没有发生混叠现象，xa(t)的最高频率是 多少？,解：1秒内采样4096个点，说明采样频率是4096Hz。,2）若计算采样信号的4096点DFT，DFT系数之间 的频率间隔是多少？,解：(要求解的是频谱分辨的间隔F),例3、长度为240点的序列x(n)与长度为N点的h(n)卷 积。当N=10和240时，直接进行卷积 x(n)*h(n)和用 IFFTX(K)H(K)的方法相比，那种方法求 解y(n)的效率更高？,LN1+N2-1,直接进行卷积（N=10）：,乘法次数：24010=2400次,用FFT的方法（N=10）：添零到256点，L=256,乘法次数：,3(L/2)log2LL=31288256=3328次,直接进行卷积（N=240）：,乘法次数：240240=57600次,用FFT的方法（N=240）：添零到512点，L=512,乘法次数：,3(L/2)log2LL=32569512=7424次,
