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1、,一、有限元方法解题分析,为了说明应用有限元方法的解题步骤，以及每一步骤中的要点，下面我们以两点边值问题为例进行具体分析。考虑两点边值问题,（一）从Ritz法出发建立有限元方程,1、写出Ritz形式的变分问题,由变分原理可知，与边值问题（1.1）（1.2）等价的变分问题是：求,其中,积分表达式（1.3）是应用有限元法求解（1.1）、（1.2）式的出发点。,2、区域剖分 剖分原则与差分法相同，即将求解区域剖分成若干个互相连接，且不重叠的子区域，这些子区域称为单元。单元的几何形状可以人为选取，一般是规则的，但形状与大小可以不同。对于一维情形最为简单：,单元在区间中分布的疏密程度或单元尺寸的大小，可
2、根据问题的物理性质来决定，一般来说，在物理量变 化剧烈的地方，单元尺寸要相对小一些，排列要密一些。,3、确定单元基函数 有限元法与Ritz-Galerkin方法的主要区别之一，就 在于有限元方法中的基函数是在单元中选取的。由于各,个单元具有规则的几何形状，而且可以不比考虑边界条件的影响，因此在单元中选取基函数可遵循一定的法则。,（1）、每个单元中的基函数的个数和单元中的节点数相同，每个节点分别对应一个基函数，本例中，单元 有两个节点，因此基函数有两个。,若取 为线性函数，则按上述原则，可将 中的基函数取为,显然，中任一函数 可以表示为基函数 的线性组合，即,（1.4）,其中，是 在节点上的值，
3、即,在单元 上，表示为,可见，单元中的近似函数由单元基函数线性组合产生，全区域的近似函数由各个单元的近似函数叠加而成。,从以上可以看出，是满足下列条件的所有函数 的集合：,故 是 的一个n维子空间，称为试探函数空间 称为试探函数。,4、有限元方程的形成,与Ritz法一样，以 代替，在 上解泛函数（1.3）的极小问题。,将（1.5）代入（1.3），得,令,下面分步分析具体的计算方法。第一步：单元分析。注意到,我们来计算单元 上的积分。为讨论方便，作变换,并引入记号,则在 上，可写成,这里，,称为单元刚度矩阵，其中,对（1.8）式右端第二项积分，同样有,式中，,称 为单元“荷载”向量。,根据以上分
4、析，便有,这样，我们就得到了单元有限元特征式的一般表示形式：,为了形成总刚度矩阵，我们令,于是有,从而（1.17）右端第一个和式为,这就是总刚度矩阵（未标明的元素均为0）。,对（1.17）右端第二个和式，有,其中，,这就是总荷载向量。,这样，就可以将（1.17）式写成,因此，有限元方程为,从总刚度矩阵和总荷载向量的形成过程可以看出，的计算，实际上是把 中四个元素在适当的位置上“对号入座”地叠加，的计算也是如此。我们引入，只是为了叙述方便，实际上，在编制程序时并不需要。,显然，方程组（1.20）的系数矩阵K是一个对称正定的对角矩阵，因此可采用追赶法求出u在节点上的近似值。如果我们认为这个近似解不
5、够精确，则可以使剖分更细，即节点取得更多。这样，就产生一个收敛性与误差估计的问题。由于此问题所用的数学工具较多，本课程不做讨论。另一方面，我们以上是在单元剖分的基础上，利用Lagrange型的分段线性插值函数构造出的n维子空间，这样自然想到，如果不采用分段的线性插值，而采用分段的高次插值，则会得到更好的近似。,注1、当第一边值条件非齐次时，例如，则需象其它单元一样形成 上的单元刚度矩阵。但形成总刚度矩阵K时，先把当作未知量，K扩大成 矩阵，然后去掉第一行（或者一开始就不计算第一行），把第一列的第j行元素 乘以 累加到第j个方程的右端后，再去掉第一列。最后仍然归结到方程（1.20），只不过右端向
6、量因第一边值作了修改。,它只是比齐次边值多了第二项。由于第二项只含有 的一次项，因此从上述泛函出发所形成的有限元方程不影响总刚度矩阵，唯一的改变量是第n个方程,的右端要累加,(二)、从Galerkin法出发建立有限元方程,从Galerkin法出发形成有限元方程的过程与前面完全一样，得到的结果也是一致的。但是从Galerkin法出发形成的有限元方程更具一般性，它不仅适用于对称正定的算子方程，而且也适用于非对称正定的算子方程。在实际问题中，主要是依据这一观点建立有限元方程。下面对这一问题作一简单陈述。,由变分原理可知，与边值问题,等价的Galerkin形式的变分问题是：,我们仍用分段线性函数构成的
7、试探函数空间代替,由（1.4）定义的分段线性函数是的一组基。和前面一样的方法，把,容易看出，方程组（1.22）的系数矩阵就是总刚度矩阵，在总刚度矩阵形成的过程中，注意到,而,从而有,即,故有,这就是有限元方程（1.20）。,由上述看出，按Galerkin法推导有限元方程更加直接方便。尤其重要的是。按这一观点推导的有限元方程，不仅适用于稳定问题，而且也适用于非稳定的问题，因此它具有广泛的适用性。,（三）、应用举例,用有限元方法解边值问题,将区间0,1等分成4个单元。,解、利用上述分析结果，我们只需构造出单元刚度矩阵和单元荷载向量，然后合成为总刚度矩阵和总荷载向量。,注意到（1.14）和（1.16）：,若将 取成单元 上的中点值 则不难得到,其中 单元 的中点为,于是有,如果把单元刚度矩阵 和单元荷载向量“扩大”，便得到 和 为,类似地，可写出,然后进行叠加，便得到总刚度矩阵和总荷载向量：,精品课件！,精品课件！,解之得：,
