广东金融学院微积分练习题.docx

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1、广东金融学院微积分练习题广东金融学院微积分练习题 第一章 函数 一、单项选择题： 1、下列各组函数中表示是相同的函数是 Af(x)=x与xf(x)=3x； Bf(x)=lnx与f(x)=12lnx2； Cf(x)=10lge与f(x)=ex； Df(x)=x0与f(x)=1 1,(x0)2、符号函数定义是sgn(x)=0,(x=0)-1,(x0)，若g(x)=sgn(2x-1)112，则函数g(x)的定义域是 1212 Ax|x1 2 Bx|x3、如果函数f(x)=x2+bx+c对于任意tR都有f(3-t)=f(1+t)都成立，那么 Af(2)f(1)f(4) Bf(1)f(2)f(4) Cf

2、(2)f(4)f(1) Df(4)f(2)2f(x)都成三、计算题： 7、设f(x)=x , x01 , x0 求f(x-1)； 求f(x)+f(x-1)， 8、某厂准备投资100万元生产A，B两种新产品，据测算，投产后的年收益，A产品是投入数的2投入数开平方后的2倍，设投入B产品的数为x万元 15，B产品则是设两种产品的总收益为P(x)，求P(x)的解析式； 怎样分配投入数，使总收益P(x)最大 I 广东金融学院微积分练习题 9、设函数f(x)=xg1a 求函数的定义域A； + xa(a-1)2 判断函数的奇偶性，并给予证明； 10、已知函数f(x)= 若2x+4x-1-3，g(x)=x-2

3、x+a-a22 x4，求函数f(x)的最小值和最大值； 对于任意x12,4，总存在x02,4，使得f(x1)=g(x0)成立，求实数a的范围 11、某车间设计最大生产力为月生产100台机床，至少要完成40台方可保本，当生产x台时的总成本函数，按市场规律，价格为p=250-5x，可以销售完，试写出月利润函数。 c(x)=x+10x212、收音机每台售价为90元，成本为60元，厂商为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购100台售价就降低1元，但最低价为每台75元： 将每台的实际售价P表示为订购量X的函数； 将厂方所获的利润表示为订购量X的函数； 某一商行订购了1000台，

4、厂方可获利润多少？ II 广东金融学院微积分练习题 第二章 极限 一、单项选择题： 1、下列极限中正确的一个是 1111 A lim+ex=+ B lim-ex=- C limex= D limex=0 x0x0x0x2、设f(x)=x-1x1x-1A0 B1 C-1 D不存在 ,则limf(x)= 3、下列极限正确的是( ) A.limxsinx1x=1 B.limxsinx01x=1； C.limsinxxx=1； D.limsin2xxx0=1； x2+1，x0x-12( ) CA B -， 0 D x-1 A 连续点 B 可去间断点 C 跳跃间断点 D 无穷间断点 二、填空题： 16、

5、lim(1+3x)x 02x= ex7、如果函数f(x)=a+xx0x0在(-,+)上处处连续，则a的值为 8、limsin2xx(x+2)2x0= x-4的间断点个数是9、设f(x)=x-3x-410、当x0 时 ln(1+2x)与 ax 等价，则 a= 三、计算题： 11、 lim nn+1+2nn-12(2x-1)10(3x+2)20； 12、limx(5x+1)30； III 广东金融学院微积分练习题 13、lim 15、lim(x1xsinx1-cosx； 14、lim2x+1-3x-2-2x0x4； 2x-12-3x-13)； 16、 lim(x2x+12x-1)x+1； 17、l

6、im(1-x12x)x-2； 18、计算lim1+2nn+11n+22+ 2n+n1四、解答题： 19、定义f(0)的值，使f(x)=1+x-131+x-1 在x=0处连续。 五、证明题： 20、证明方程x3x=2至少有一个小于1的正根. IV 广东金融学院微积分练习题 第三章 导数 一、单项选择题： 1已知函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，且x0则limh0f(x0+h)-f(x0-h)h 的值为 A、f(x0) B、2f(x0) C、-2f(x0) D、0 2、曲线y=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x，则点P0的坐标是 A(0,1) B.(1,0) C.(-1,-4)或

7、 D.(-1,-4) 3、设函数f(x)=e2x-2x，则limx0f(x)e-1x= A.0 B.1 C.2 D.4 4、下列求导数运算正确的是 A. (x+)=1+x11x2 B.(log2x)=1xln2C. (3x)=3xlog3e D. (x2cosx)=-2xsinx 5、设 x2+1f(x)=1,-1x000，则 A f(x0)是函数f(x)的极大值 B f(x0)是函数f(x)的极小值 C f(x0)不是函数f(x)的极值 D 不能判定f(x0)是否为函数f(x)的极值 5设f(x)一阶可导, 且limf(x)=-1, 则f(0) x0A一定是f(x)的极大值 B一定是f(x)

8、的极小值 C一定不是f(x)的极值 D不一定是f(x)的极值 二、填空题： 6、函数y=ln(x+1)在0,1上满足拉格朗日定理的x= 7、函数f(x)=8、函数y=x+134xx-3x+9x32在闭区间0,4上的最大值点为x= 的单调减少区间是 9、f(x)0,x(a,b),是f(x)在(a,b)内单调增加的 条件。 10、函数y=lnx的凹区间是 。 11、曲线y=(x-1)(x-3)的拐点个数是 。 f(a+h)-f(a)2212、若函数f(x)在x=a二阶可导，则limhh-f(a)= h013、设某种商品的需求函数为Q=109-P，其中Q表示需求量，P表示产品单价， 当P=_时，该商

9、品可以获得最大收益，此时的需求的价格弹性Ep=14、若f(x)=-f(-x)，在(0,+)内f(x)0,f(x)0， VII 。 广东金融学院微积分练习题 则f(x)在(-,0)内f(x) 0，f(x) 0 15、设产量为q时的收益为R(q)，成本为C(q)，利润为L(q)。已知R(q),C(q),L(q)都是二阶可导的函数，若L(q0)为最大利润，则L(q0) 0. L(q0) 小于零。 三、计算题： 16、计算lim(-x011e-1xx) 17、计算limx0+xlnx 18、设lim 四、解答题： 19、 已知(2,4)是曲线y=x3+ax2+bx+c的拐点，且曲线在点x=3处取得极值

10、，求a,b,c。 20、求函数y= 21某化肥厂生产某类化肥，其总成本函数为 C(x)=1000+60x-0.3x+0.001x (元) 20销售该产品的需求函数为 x=800-p (吨), 问销售量为多少时, 可获最大利润, 此时的价格为多少? 3VIII 23ln(1+x)-(ax+bxx22)x0=2，求a,b的值。 x32(x-1)的单调区间、极值、凹凸区间、拐点、渐近线，并画出草图。 广东金融学院微积分练习题 五、证明题 22、设函数f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在x(a,b)，使得f(x)+f(x)g(x)=0 23、证明

11、：当x0时，x- 附加题： 1.设函数f(x)在x=0的邻域内具有三阶导数，且lim(1+x+x0x22ln(1+x)0) 14、xedxx 0 1xsinxdx 17、esinxdx 18、计算x 0 p2 + 0esintdt -t四、解答题： 19、求由曲线y=3-x2,y=2x所围成的图形的面积： 五应用题 20、已知边际收益为R(x)=60-2x，边际成本为C(x)=30+4x，求最大利润. XIV 广东金融学院微积分练习题 21、某地区居民购买商品房的消费支出W(x)的变化率是居民总收入x的函数，W(x)=1，当地居民的总收入由x=4亿增加到x=9亿元时，购买商品房的支出增加多少？

12、 XV 200x广东金融学院微积分练习题 第七章 空间向量与空间曲线 一、单项选择题： 1、下列命题，正确的是 A i+j+k是单位向量； B -j非单位向量； C a=|a|； D a(ab)=ab。 2、若直线x-11222l11A 1； B 32； C -54； D 54。 2=y+1=z-1和直线x+1=y-1=z相交，则l= 3、设有直线L:x+3y+2z+1=0,2x-y-10z+3=0,及平面p:4x-2y+z-2=0则直线L A 平行于p ； B 在p上； C 垂直于p； D 与p斜交。 4、设一平面经过原点及(6,-3,2)，且与平面4x-y+2z+8垂直，则此平面方程为 2

13、x+2y-3z=0； 2x-2y-3z=0； 2x+2y+3z=0； 2x+2y-3z=1。 5、已知向量a,b的模分别为|a|=4,|b|=2且ab=42，则|ab|= A 22； B 22； C 42； D 2。 二、填空题： 6、已知某向量b与a平行，方向相反，且b=2a，则b由a表示为_。 7、点A(-4,3,5)在XOY平面上的射影点是_，在X轴上的射影点是_。 -vvvvvv8、已知A(4，0，5)，B，则AB0=_ _。 vvvv9、已知a=2,b=3,a-b=vv7，则(a,b)=_. 10、过点且与平面3x-7y+5z=0平行的平面方程为_. 三、计算题： vvvvvv11、

14、已知a=3,5,4,b=-6,1,2,c=0,-3,-4，求2a-3b+4c及其单位向量。 12、一向量的起点为A，终点为B，求该向量在X轴、Z轴上的投影，并求AB。 13、已知两点M1(4,2,1),M2(3,0,2)，计算向量M1M2的模，方向余弦和方向角。 XVI 广东金融学院微积分练习题 14、求过点M0(2,9,-6)且与连接坐标原点及点M0的线段OM0垂直的平面方程. 15、求过点和点且与平面x+y+z=0相垂直的平面方程。 16、写出直线L:x-y+z=12x+y+z=4的对称式方程及参数方程 17、求过点且垂直于平面2x+3y+z+1=0的直线方程. 18、判断下列两直线L1:

15、x2=y+33=z4和L2:x-11=y+21=z-22是否在同一平面内，若是，则求两直线的交点；若不是，试求它们的最短距离。 XVII 广东金融学院微积分练习题 第八章 多元函数微分学 一、单项选择题： 1、下列极限存在的是 A limxx+yx0y0；B lim1x+y；C limx2x0y0x0y0x+y ；D limxsinx0y01x+y. 2、函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数是它在该点存在全微分的 A 必要而非充分条件； B 充分而非必要条件； C 充分必要条件 ； D 既非充分又非必要条件. zz3、设z=yx，则= x+y(2,1)A 2； B 1+ln2；

16、C 0 ； D 1. 4、已知fx0，则 Af(x,y)关于x为单调递增； Bf(x,y)0； C5、设函数z=f(x,y,z)，则fzxfx220 ； Df(x,y)=x(y+1). 2为 ff+fyA fx； B y； C fxx ； D xyx. ff1-1-zz二、填空题： 6、函数f(x,y)=4-x2-y2+ln(x2+y2-1)的定义域是D= ； 7、当 f(x,y)=5x2y3,则 fx(0,1)= ； 8、二元函数的极限(x,y)(0,2)limsin(xy)x=_； (p,1)9、已知z=f(x,y)=sin(xy)，则dz10、设u=xy+yx= _； ，则uxy2=_.

17、 三、计算题： 11、求极限lim 12、(x,y)(,xyxy+1-1x0y0. lim(x)2+y2)sinx32+y2; 13、求z=lnx+y22的一阶偏导数. XVIII 广东金融学院微积分练习题 14、求函数z=15、已知z=u2lnv,u=yx,v=x+y，求22yx当x=2,y=1,Dx=0.1,Dy=0.2时，Dz,dz. zz ,xy16、已知 设Z=(3x2+y2)4x+2y,求Zx和Zy四、解答题： zzz17、x+2y+3z+xy-z-9=0，在x=1,y=-2,z=1处的. ,xyxy222218、设 Z=Z(x,y) 由方程 eZ+x2y+lnZ=0 确定，求 d

18、Z 19、求函数z=x3+y3-3xy的极值 XIX 广东金融学院微积分练习题 第九章 二重积分 一、单项选择题： 1、函数f(x,y)在闭区域D连续，是其在D上的二重积分存在的条件 A 充分； B 必要 C 充要 D 无关 2、D1,D2,D3,D4分别为单位圆x2+y21在一、二、三、四象限的部分，则x2yds= D1A D22xyds； B D32xyds； C D42xyds；( D) 0. 3、设D是xOy平面上以(1，1)、(-1，1)、(-1，-1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则积分(xy+cosxsiny)dxdyDD1等于 A 2cosxsinydxdy；

19、B 2xydxdy； D1 C 4(xy+cosxsiny)dxdy； D 0 D14、二重积分I=A C D1-x0f(x,y)ds,其中D=(x,y)|x+y2221，则可将I化为累次积分 f(x,y)dy f(rcosq,rsinq)rdr 1-1dxf(x,y)dy B 21-12p0dx1-1101-1dx21-x2-1-yf(x,y)dy D dq5、计算z=x2+y2与平面z4所围立体的体积，下列式中正确的是 A 2(x+y-4)ds B 22x+y422(4+x+y)ds 2222x+y42C 24-x-yds D 222x+y42(4-x-y)ds x+y4二、填空题： 1x

20、6、交换累次积分的顺序dx0f(x，y)dyx2= _ 7、设函数z=f(x,y)在闭区域D上连续，s是D的面积，则在D上至少存在一点(x,h)使得f(x,y)dsD=_ 8、计算xyds=_，其中 D是由直线y=1,x=2,y=x所围成的闭区域。 D9、把二重积分表示为极坐标形式的二次积分 x+y422210、将二重积分f(x,y)dd，其中D是由x轴及上半圆周x+y=r(y0)所围成的闭区域，化为先y后x的2(x+y)dxdy2=_； DXX 广东金融学院微积分练习题 积分，应为_ 三、计算题： 11、计算二重积分(x+y)dxdy，其中D是由y轴及圆周x2+y2=1所围成的在第一象限内的

21、区域 D2212、计算二重积分(x+y)dxdy ，其中D：x2+y22x D13、计算 2xD22ydxdy 其中D为y=x, y=x 围成的平面区域214、计算(x+y-x)dxdy，其中D是由抛物线y=x，y=2及直线y=2x所围成的闭区域. 2D15、计算二次积分 1 0dy 1 yyexdx 16、计算二重积分I=2ex+y22dxdy的值 x+y4217、求由平面x=0,y=0,x=1,y=1所围成的柱体被平面z=0及平面2x+3y+z=6截得的立体体积。 XXI 广东金融学院微积分练习题 第十章 微分方程 一、单项选择题： 1设y1(x),y2(x)是微分方程y+p(x)y=0的

22、两个不同特解，则该方程的通解为 D Ay=C1y1+C2y2; B y=y1+Cy2; C y=y1+C(y1+y2); D y=C(y2-y1) . 2设函数y=f(x)是微分方程y-2y+4y=0的一个解。若f(x0)0,f(x0)=0，则函数f(x)在点x0 A A 取到极大值; B 取到极小值; C 某个邻域内单调增加; D 某个邻域内单调减少. 3. 设y1,y2是二阶常系数线性齐次方程y+py+qy=0的两个特解，C1,C2是两个任意常数，则下列命题中正确的是 C A C1y1+C2y2一定是微分方程的通解； B C1y1+C2y2不可能是微分方程的通解； C C1y1+C2y2是

23、微分方程的解； D C1y1+C2y2不是微分方程的解. 4. 设y1=ex,y2=x是三阶线性常系数齐次微分方程y+ay+by+cy=0的两个特解，则a,b,c的值为 C A a=1,b=-1,c=0; B a=1,b=1,c=0; C a=-1,b=0,c=0; D a=1,b=0,c=0. 5. 微分方程y-2y=x的特解y*的形式为 D A ax； B ax+b； C ax2； D ax2+bx. 二、填空题： 6. 方程xy+2x2y2+x3y=x4+1是 3 阶微分方程。 7. 微分方程y+y-2y=0的通解y=C1e8. 设y1=3+x,y2=3+x+e22-x-2x+C2e。

24、x是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一-x个解为y3=x，则该微分方程的通解为y=c1x+c2eXXII +3+x 2广东金融学院微积分练习题 9. 函数y=C1cos2x+C2sin2x满足的二阶线性常系数齐次微分方程为 。 tf(02)dt+ln2，则f(x)= 。 三、计算题： 10. 若连续函数f(x)满足关系式 f(x)=dydx2x11. =ylny x+dydyx+c1ec1解：=ylny,变形可得：=dx,lnlny=x+c1,即lny=e,y=e;dxylny令ec1=c,则y=ecex12.dydx-yx=1解：p(x)=-y=Ce程1x,q(x)=1,

25、该微分方程为一阶线性非齐次微分方程，方程的通解为:13求微分方1Xdx+1x1+eXdxsinxxe(-X)dx1dx,解得y=Cx+xlnx。dydxy=的通解。 解：p(x)=y=Ce 142-11x,q(x)=-1sinxx,该方程的通解为y=Ce1-p(x)dx+e-p(x)dxq(x)ep(x)dxdx,xdxC-cosxxdxsinxxdx+exedx,y=x分2求微方程xy+xy=y22满足初始条件y(1)=1的特解。y解：x=yxd+xy=ldx,ud2n-1=uy=xdy，两边同时除以xy,可得：+2xd+1=yd=yx令,y1=u,xy+=xdy1u,udx1u,duu,x+