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1、应力状态材料力学土体应力计算 补充一、力学基础知识材料力学研究物体受力后的内在表现， 即变形规律和破坏特征。 一、材料力学的研究对象 材料力学以“梁、杆”为主要研究对象。 二、材料力学的任务 材料力学的任务：在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料，而提供必要的理论基础和计算方法。 强度:杆件在外载作用下，抵抗断裂或过量塑性变形的能力。 刚度:杆件在外载作用下，抵抗弹性变形的能力。 稳定性:杆件在压力外载作用下，保持其原有平衡状态的能力。 如：自行车结构也有强度、刚度和稳定问题； 大型桥梁的强度、刚度、稳定问题 强度、刚度、稳定性 三、基本假
2、设 1、连续性假设：物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。 2、均匀性假设：物体内，各处的力学性质完全相同。 3、各向同性假设：组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。 4、小变形假设：材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其变形。 假设 四、杆件变形的基本形式 五、内力 截面法 轴力 1、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成。 2、截面法 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。 截面法的基本步骤： 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 代替：任取一部分，其弃去
3、部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力代替。 平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力 截面法 例如： 截面法求N 截开： 代替： 平衡： 3、轴力 轴向拉压杆的内力，用N 表示。 轴力的正负规定: N与外法线同向,为正轴力(拉力） N与外法线反向,为负轴力(压力) 六、截面上应力 1、应力的概念 定义：由外力引起的内力集度。 工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。 2、应力的表示 平均应力：全应力 垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress) 位于
4、截面内的应力称为“剪应力” 应力概念、支座约束类型(Shearing Stress)。 3、例题：下图为一等值杆，受力情况图示。试做轴力图 2，若横截面积为400mm，求最大工作应力。注：忽略杆自身重量。 40kN 55kN 25kN 20kN A B C D E 解：求支座反力，杆整体平衡； 求轴力，部分杆件平衡； 轴力图； 求最大轴力； 求最大工作应力。 “三最”,最危险断面,最危险点,最危险方向 七、拉压杆应变 1、杆的纵向总变形 2、线应变：单位长度的线变形。 3、平均线应变 4、x点处的纵向线应变： 5、杆的横向变形： 6、x点处的横向线应变： 应变概念八、拉压杆的弹性定律-胡克定律
5、 由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来 1、等内力拉压杆的弹性定律 “EA”称为杆的抗拉压刚度。 2、变内力拉压杆的弹性定律 N(x)dxdL=D(dx)= LLEA(x) 3、单向应力状态下的弹性定律 应力应变、虎克定律 “E”称为弹性模量 4、泊松比 九、剪切虎克定律 薄壁圆筒的扭转: 剪应力分布：轴受剪、圆柱受扭、薄壁圆筒的扭转 A。=r20：平均半径所作圆的面积。 剪切虎克定律 当剪应力不超过材料的剪切比例极限时： 十、安全系数、容许应力和强度条件 变形特点 低碳钢材料塑性破坏试验阶段： 1、弹性阶段-弹性变形 p点，线性，符号虎克定律，p，比例极限； 过p点后，达到弹性变
6、形最高点。 2、屈服阶段-塑性变形 荷载不变，杆件伸长； s，屈服极限。 3、强化阶段-塑性变形为主，荷载增大； b，强度极限，最高点。 4、局部变形阶段-颈缩破坏。 将材料在拉伸时两个强度指标屈服极限s和强度极限b统称为极限应力jx。要确保拉杆不致于因强度不足而破坏，应使其最大工作应力max不超过某一个极限值，这个极限值可规定为jx的若干分之一，并称为容许应力。 s=sjkK式中：K-大于1的系数，称为安全系数。 确保拉杆不致于因强度不足而破坏的条件是： max 这就是拉杆强度条件。 容许应力、安全系数 材料类型： 塑性材料，屈服破坏，如低碳钢； 脆性材料，断裂破坏，如铸铁、玻璃钢 。 1、
7、下图为一等值杆，受自重及集中力P作用，受力3见示意图，若杆重度为，横长度为L，截面积为A，试做轴力图， 并求最大工作应力。 作业: 重力 集中力P 补充二、 材料力学中的应力状态 一、 概念 1、一点的应力状态 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状态。 2、单元体： (1)单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 (2)单元体的性质平行面上，应力均布，应力相等。 3、剪应力互等定理：主面上的正应力。 (4)主应力排列规定：按代数值大小。 (5)三向应力状态： 三个主应力都不为零的应力状态。 (6)二向应力状态： 一个主应力
8、为零的应力状态。 (7)单向应力状态： 一个主应力不为零的应力状态。 平面应力状态分析 等价于二、 1、任意斜截面上的应力 得到： 2、极值应力 3、应力圆 应力圆难点，坐标体系，xy和n，面的位置外法线方向应力圆的画法-三种 应力圆的画法-三种： 1）方程法：利用方程计算圆心坐标和半径大小，圆心、半径画圆。 2）直径法：在应力圆中画出两点，两点连线为直径，直径与轴交点为圆心，由圆心、直径画圆。 3）弦垂直平分线法：在应力圆中画出两点，弦垂直平分线与轴交点为圆心，由圆心、半径画圆。 单元体与应力圆对应关系 在应力圆上标出极值应力 例题： 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa) 解
9、法1-应力圆法 1、主应力坐标系如图 2、在坐标系内画出点 3、AB的垂直平分线与sa 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆 主应力及主平面如图 解法2-解析法：分析建立坐标系如图 作业2 2、单元体应力如图所示，试利用应力圆求出主应力的数值，并在单元体上画出主平面的位置及主应力的方向 160 30 80 30 。4、主应力及其主应力迹线 主应力迹线 以梁的弯曲为例。 实线表示拉主应力迹线； 虚线表示压主应力迹线。 三、 三向应力状态 1、空间应力状态 四、 复杂应力状态下的应力-应变关系 1、单拉下的应力-应变关系 2、纯剪的应力-应变关系 3、复杂状态下的应力 - 应变关
10、系 4、平面应力状态下的应力-应变关系 平面应力状态：当弹性体某一轴的尺寸比其他两轴的尺寸小很多，例如薄版。单元体的与自由面平行的面上无应力。 x0 y0 z =0 xy0 yz=0 zx=0 x0 y0 z0 xy0 yz=0 zx=0 5、平面应变状态下的应力-应变关系 平面应变状态：弹性体某一轴的尺寸很长，且垂直于该轴的材料几何尺寸，应变，约束条件都相同，例如圆柱体、土坝、重力坝。与截面垂直的纵向无线应变，且纵向平面内无剪应力。 x0 y0 z0 xy0 yz=0 zx=0 x0 y0 z=0 xy0 yz=0 zx=0 6、平面应力状态与平面应变状态的对比 1）平面应力问题是对力分布的
11、研究； 平面应变问题是对表面变形的研究。 2）平面应力问题：弹性体某一轴的尺寸比其他两轴的尺寸小很多，例如薄版； 平面应变问题：弹性体某一轴的尺寸很长，且垂直于该轴的材料几何尺寸，应变，约束条件都相同，例如圆柱体、土坝、重力坝。 3）平面应力问题：所有应力都在一个平面内，Z向应力0,如薄板受与板平行且共面的力作用下一般是平面应力问题。 平面应变问题：所有应变都在一个平面内，Z向应变为0，如炮筒等，Z向尺寸远远大于另外两个方向的尺寸，而且不考虑沿Z向的外力，只考虑垂直Z向的外力。 4）平面应力就是说一个方向的应力可忽略， 平面应变就是一个方向的应变可以忽略. 如果某一方向在空间很长，那么在这个方向的应变就可以忽略不计，但是这个方向的应力不一定为零。这就是平面应变问题。长圆筒、水坝、长的边坡等等都属于平面应变问题。 如果研究对象z轴不是很长，且在z轴俩外表面上不受力，则在这个方向上应力可以忽略，但其应变不一定为零，这就是平面应力问题，板也可以看作属于平面应力问题。 对一般我门处理的问题，根据z轴的长短可简单判断其属于那个问题，长平面应变；短平面应力。 讲解材力学下册P13例7-3，将截面，力，危险截面，危险点、最多主应力串起来；讲作业题2。
