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1、庞加莱映射先对庞加莱映射作一简介，为了更清楚地了解运动的形态，庞加莱对连续运动的轨迹用一个截面将其横截，那么根据 轨迹在截面上穿过的情况，就可以简洁地判断运动的形态，由此所得图像叫庞加莱映像。在截面图上，轨迹下一次穿过截面的点 可 以看成前一次穿过的点 的 一种映射 这个映射就叫庞加莱映射。它把一个连续的运动化为简洁的离散映射来研究 在庞加莱映射中的不动点反映了相空 间的周期运动，如果运动是二倍周期的，则庞加莱映射是两个不动点，四倍周期则有四个不动点等 绘制庞加莱映射是在普通的相平面上进行，它不是像画相轨道那样随时间变化连续地画出相点，而是每隔一个外激励周期 取一个点，例如取样的时刻可以是t=
2、0,T,2T相应的相点记为 这些离散相点就构成了庞加莱映射 ， ， 自激振动 1.实验题目 研究范德波耳 方程 所描述的非线性有阻尼的自激振动系统，其中 耳方程为VDP方程 是 一个小的正的参量， 是 常数。下面简称范德波在VDP方程中，增加外驱动力 项 所得到的方程 称强迫VDP方程，其中外驱动力的振幅，角频率分别是V和 ，试研究强迫VDP方程的行为 2.实验目的和要求 演示VDP方程所描述的系统在非线性能源供给下，从任意初始条件出发都能产生稳 定的周期性运动 采用庞加莱映像，演示强迫VDP方程在不同参数下所存在四种吸引子，即周期1吸引子，周期2吸引子，不变环面吸引子和奇怪吸引子 对于强迫V
3、DP方程，在V和 为 定值条件下，逐渐增大 值， 将出现周期倍分岔和混浊现象 3.解题分析 自激系统是一个非线性有阻尼的振动系统，在运动过程中伴随有能量损耗，但系统存在一种机制，使能量能够由非振动的能源通过系统本身的反馈 调节，及时适量地得到补充，从而产生一个稳定的不衰减的周期运动，这样的振动称为自激振动 对VDP方程，可从机械振动角度理解， 是 阻尼系数，它是变化的，如果 ， 则阻尼系数为正，系统将受阻尼，能量将逐渐减少，但如果 ， 则发生负阻尼，意味着不仅不消耗系统的能量，反而给系统提供能量。此系统能通过自动的反馈调节，使得在一个振动过程中，补充的能量正好等于消耗的能量，从 而系统作稳定的
4、周期振动 取方程中的 ， ， 。给出任一初始条件，通过计算机数值求解可以证明它的相轨道都将趋向于一条闭合 曲线，这一条闭合曲线，成为极限环，极限环以外的相轨道向里盘旋，而极限环以内的相轨道则向外盘旋，都趋向极限环，说明不论初始情况如何，系统最终都到达以极限环描述的周期性运动。由于这段程序较简单，我们没 有专门编写，事实上，只要将下面编写的关于强迫VDP方程的程序中令V0， 现象 再 取不同的初始条件，就能看到这个下面研究强迫VDP方程的行为，我们同时采用时间历程图，相图，庞加莱映像图来研究系统在不同参数条件下的动力学行为，可以看到存在不同的吸引子，即周期1吸引子，周期2吸引子，不变环面吸引子和
5、奇怪吸引子 先对庞加莱映射作一简介，为了更清楚地了解运动的形态，庞加莱对连续运动的轨迹 用一个截面将其横截，那么根据轨迹在截面上穿过的情况，就可以简洁地判断运动的形态，由此所得图像叫庞加莱映像。在截面图上，轨迹下一次 穿过截面的点 可 以看成前一次穿过的点 的 一种映射 这个映射就叫庞加莱映射。它把一个连续的运动化为简洁的离散映射来研究 在庞加莱映射中的不动点反映了相空间的周期运动，如果运动是二倍周期的，则庞加莱映射是两个不动点，四倍周期则有四个不动点等 绘制庞加莱映射是在普通的相平面上进行，它不是像画相轨道那样随时间变化连续地画出相点，而是每隔一个外激励周期 取一个点，例如取样的时刻可以是t
6、=0,T,2T相应的相点记为 这些离散相点就构成了庞加莱映射 ， ， 设 ， ， 则式可 化为 取 ， ， 进行以下数值计算研究 在 ，V1， 条 件下，存在周期1吸引子，它的周期等于外激励的周期，代表主谐波运动，如图2.37所示 在 ，V1， 条 件下，存在周期2吸引子，它的周期等于外激励的整数倍， 代表次谐波运动，如图2.38所示 在 如图2.39所示 ，V1， 条 件下，存在不变环面吸引子，它代表准周期运动， ，V1， 条 件下，存在奇怪吸引子，它代表混浊运动，如图2.40所示 保持V和 为 定值，逐渐增大 ， 将显示系统状态演化过程全貌的图，如图2.41所示，而前四种由0.9连续变化到
7、1.2时，系统运动状态情况中，看到的只是 取4个值的片断情况，图形显示，当 逐渐由周期1过渡到周期2再过渡到混浊状态 在程序中，这几种过程的计算是相同的，所以用for循环来完成前面四种计算，这就 是程序zjzd.m 计算中在每个外激励周期内计算1000个相点，为了作出庞加莱映射，每隔1000个点保留一个点数据， 所以程序运行的时间较长，对第五种情况，由于计算量大，将它另外编写一个程序，这就是程序zjzd1.m 计 算中在每个周期内计算100个相点，庞加莱映射是每隔100个 点保留一个点数据，图2.41是在CPU为P4的计算机上运算约半小时所得到的结果 4.思考题 画出不同的吸引子的功率谱，观察
8、它们的差别 当 值 由0.6连续变化到0.9时，计算强迫VDP方程的庞加莱映射 将参考程序zjzd.m中 解微分方程的时间增加到足够长，在庞加莱映射图上可以看到一个更完整的奇怪吸引子形状，请试一试 5.参考程序 参考程序zjzd.m如 下： u=0.85, 1.02, 0.66, 1.08; x0=1; w0=1; v=1; w=0.44; T=2*pi/w; str1=庞加莱截面周期1吸引子; str2=庞加莱截面周期2吸引子; str3=庞加莱截面不变环面吸引子; str4=庞加莱截面奇怪吸引子; for j=1:4 t,y=ode23(zjzdfun,0:T/1000:50*T,4,4,
9、u(j),x0,w0,v,w); figure subplot(2,1,1) plot(t,y(:,1); title(位移曲线); xlabel(x);ylabel(v); subplot(2,2,3) plot(y(3000:end,1),y(3000:end,2); axis(-3 3 -4 4) xlabel(x);ylabel(v); title(相图); subplot(2,2,4) axis(-3 1 -1 1) hold on for i=7000:1000:14000 plot(y(i,1),y(i,2),r.); end title(strj); end 参考程序zjzd1
10、.m如下： u=0.8:0.001:1.2; v=1; x0=1;w0=1; w=0.44; T=2*pi/w; axis(0.9 1.2 -0.8 1) hold on for j=1:length(u) t,y=ode23(zjzdfun,0:T/100:70*T,4,4,u(j),x0,w0,v,w); plot(u(j),y(500:100:1400,2),linewidth,2); end 函数文件是一个独立的文件，文件名为zjzdfun.m function ydot=vdbfun(t,y,flag,u,x0,w0,v,w) ydot=y(2); u*(x02-y(1)2)*y(2)-y(1)*w02-v*cos(w*t);
