建立DTM的原理和方法.docx

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1、建立DTM的原理和方法学习情境七 建立DTM的原理和方法 学习单元7.1 DTM的认识 7.1.1学习目标 通过本单元的学习，对DTM有系统的认识。 7.1.2学习任务 能够理解DTM的概念，熟悉DTM的基本知识。 7.1.3任务分析 了解DTM的基本内容及系统的基本组成。对DTM有系统的认识。 7.1.4任务实施 7.1.4.1 DTM的概念分析 1.DTM的概念解读 DTM即数字地面模型，简称数模，是以数字的形式按一定的结构组织在一起，表示实际地形特征的空间分布，也就是地形形状大小和起伏的数字描述。只有在DTM的基础上才能绘制等高线。数字表示方式包括离散点的三位坐标、由离散点组成的规则或不

2、规则的格网结依据数模及一定的内插和拟合算法自动生成的等高线(图)、断面、坡度等等。 2.DTM的概念拓展 DTM的核心是地形表面特征点的三位坐标数据，和一套对地表提供连续描述的算法，最基本的DTM至少包含了相关区域内平面坐标(x,y)与高程z之间的映射关系，即 z=f(x,y) x,yDTM所在区域 在航片数据采集中，数据点往往呈现规则格网分布，其平面位臵可由起始点坐标和点间格网的边长确定，只提供点的行列号即可。这时所指的地形特征仅指地面点的高程，所以不少文献又将这种数字地形描述称为数字高程模型。 7.1.4.2 DTM基本知识解读 1.DTM应用分析 通过DTM可以得到有关区域中任一点的地形

3、情况，计算出任一点的高程并获得等高线。DTM还可以用于计算区域面积，划分土地，计算土方工程量，获取地形断面和坡度信息等。 2.DTM建立条件分析 建立DTM需要再有关区域内采集相当数量的地形数据，采样点的位臵和密度都可能影响DTM的精度，插值算法和数据结构的选择同样会影响DTM的精度和使用效率。目前，DTM已经成为地理信息系统(geographical information system,GIS)的重要组成部分。GIS的许多功能是以DTM为基础的，DTM的原理还适用于水文、海洋、气象的数据处理。 3.DTM系统分析 DTM系统主要是由计算机程序实现的，应用于各种类型计算机系统的DTM已经在许

4、多国家开发成功，尽管使用的方法不同，用户界面各异，但主要功能都是从离散数据够造出相互连接的网格结构，以此作为地形的数子模型基础。等高线、断面和三维地形图都是根据这个模型生成的。 综上所述，建立一个数字地面模型系统必须具有以下几个基本组成部分： 数据的获取； 数据的转换； 数据的预处理； 构网建模； 存储和管理； 数模的应用。 由于实际地形表面有连续变化，也有断裂，而构造时采集的数据量都是有限的，因此如何选择构造DTM的算法及应用时的插值算法，以利用有限的数据准确地表达实际的地形变化，是DTM研究的重要课题。评价DTM系统性能的主要参数有精度、计算速度、处理的数量、用户界面和数据采集工作量等。

5、学习单元7.2 数据的获取、转换及预处理 7.2.1学习目标 通过本单元的学习，掌握DTM数据的获取、转换及预处理。 7.2.2学习任务 了解DTM数据的获取、转换及预处理。 7.2.3任务分析 DTM数据的获取。DTM数据的转换。DTM数据的预处理。 7.2.4任务实施 7.2.4.1 数据获取 1. DTM数据获取概念分析 DTM的数据获取就是提取并测定地形的特征点，即将一个连续的地形表面转化成一个以一定数量的离散点表示的离散的地表。离散点数据的获取是建立数模最费工时而又最重要的一步，它影响着建模的正确性、精度、效率、成本。 2. DTM数据获取接口分析 完善的DTM系统应具有各种类型数据

6、输入的接口，它可以接受野外测量仪器直接传输的数据，还可以接受由人工键入的测量数据；也可以接受航测照片经立体坐标测量仪或解析测图仪等量测的三位地形数据；遥感图像经图像处理系统处理后也可得到地形数据。因此DTM数据获取部分应包括计算机与不同的设备，如全站仪、电子手簿、数字化仪进行数据传送的接口。 7.2.4.2 数据的转换 1. DTM数据转换的原因分析 不同来源的原始数据类型可以使各种各样的，例如三维坐标或距离、方位角等。数据中除了离散点的坐标信息，还包含离散点之间的地形关系及地物特征等信息。因此，DTM系统还要有数据格式转换的功能。 2. DTM数据转换格式说明 不同类型的原始数据经过处理之后

7、，转换成DTM系统的标准格式数据，但不能影响原始数据精度。转换模块需对原始数据进行分类，把坐标数据、连接信息、地物特征等按标准格式分别存放。 7.2.4.3 数据的预处理 1. DTM坐标数据预处理分析 通过数据采集、数据转换得到一组的原始DTM数据，其中可能包含不符合建立数模要求的数据，甚至有错误的数据。为了顺利完成构网建模，首先要对原数据进行必要的预处理，如数据过滤，剔除几乎重合的数据，给定高程限值，剔除粗差数据，进行必要的数据加密等等，同时程序还应提供编辑数据的工具。 2. DTM特征数据预处理分析 除地面坐标数据之外，地形和地物的特征信息，如地性线、山谷线、断裂线等，是DTM不可缺少的

8、要读。为了便于计算机程序识别和提高工作效率，这些信息是由地形地物的特征代码及连接点关系代码表示的。从原始数据中提取地形地物特征信息的依据是数据记录中的特定编码，不同类型的原始数据可采用不同的编码方式，但在采集数据过程中要遵循测量软件规定的形影规则。 DTM系统的特征提取部分功能包括： 识别原始数据记录中的特征编码； 将地性线特征编码和相关的空间定位数据转换成DTM标准数据格式； 提取地性线、断裂线以及处理特殊地形； 数据编辑。 学习单元7.3 DTM的数据结构 7.3.1学习目标 通过本单元的学习，了解DTM数据结构。 7.3.2学习任务 了解常用的DTM数据结构。 7.3.3任务分析 DTM

9、的数据结构对DTM的应用有着重要的影响，不同的数据结构采用的算法不同，占用的存储空间大小不同，进行计算时的效率也不相同。要熟悉建立DTM的原理和方法，必须了解常用的DTM数据结构。 7.3.4任务实施 7.3.4.1 DTM数据结构类型的认识 1. DTM数据结构分析 DTM是由离散数据点构造出的，其最简单的结构是离散点结构。这种结构的DTM中只包含了分块、分类存储的离散点坐标和某些断裂线地物的连接信息。由于离散点结构不利于DTM的进一步应用，实际中很少采用。 2. DTM数据结构分类 DTM常用的数据结构是网格结构，即将离散点连接成为多边形格网。它分为规则和不规则格网。 7.3.4.2规则格

10、网结构的认识 1. 规则格网结构概念分析 规则格网结构是将离散的原始数据点，依据插值算法归算出规则形状格网的结点坐标，每个节点的坐标有规律的存放在DTM之中，最常用的结构是矩形网格）。航测内业一般是按规则格网结构采点。矩形格网的存储结构如图7-1所示。由于矩形格网中结点分布具有规律，各结点的坐标可以用它在格网中的位臵代替，因此矩形格网可以用一个二维数组进行存储，并且仅存储各结点的高程。 h0,0h1,0Mhm,0 h0,1h1,1MLh0,n-1Lh1,n-1MMhm,1Lhm,n-1h0,nh1,nMhm,n 矩形格网 存储结构 图7-1规则格网结构 2. 规则格网结构特点分析 规则格网结构

11、便于数据的检索，可以用统一的算法完成检索和插值计算。但它的建立过程中对原始数据进行归算时，所用的算法对数据精度有所影响。规则格网应用于不规则边界区域时，边界处需要特殊处理。 7.3.4.3不规则格网结构 1. 不规则格网结构概念分析 不规则格网是以原始数据的坐标位臵作为格网的结点，组成不规则形状格网。实际应用中主要采用的是不规则三角形格网，如图7-2所示。 2. 不规则格网结构特点分析 建立不规则格网的算法比较复杂，但具有如下特点：利用原始数据作为格网结点；不改变原始数据及其精度；保存了原有的关键地形特征；利用TIN追踪等高线的算法相对简单；TIN能够较好地适应不规则形状区域。 图7-2 不规

12、则三角形格网及其存储结构 3. 不规则格网结构概念 TIN结点坐标结构如图7-2所示数据结构中仅适用了点号，根据点号在坐标数据文件中查找坐标。这两部分的数据结构核心分别是坐标数组合三角形数组，结点用其在坐标数组中的存储位臵作为点号；三角形用其在三角形数组中的存储位臵作为三角形号。 三角形数组中也不允许重复存储，因此规定每个三角形的三个顶点按顺时针排列，并且以点号最小的顶点作为第一顶点；全部三角形按各自的第一题顶点的点号大小顺序排列），即 点号1点号2，点号1点号3， 当然，也可以采用其它规则。TIN的数据结构如图9-2所示。 7.3.4.4 小结 无论是规则格网或是不规则格网，因各有特点，所以

13、都得到了广泛的使用。 DTM的数据结构还包括等高线结构和带状断面结构，由于等高线和断面都可以从格网结构中获得，后两种结构也可以看成是格网结构的应用。 学习单元7.4 TIN 及矩形格网的建立 7.4.1学习目标 通过本单元的学习，熟悉TIN 及矩形格网的建立。 7.4.2学习任务 了解TIN格网的算法，懂得TIN格网建立过程中特殊地貌和地物的处理，熟悉矩形格网建立的基本原理。 7.4.3任务分析 TIN是不规则格网中最简单的形态，而且在等高线追踪、三维显示及断面处理等应用中也是最常用和最简单的结构。 7.4.4任务实施 7.4.4.1 TIN的建立 1.TIN的概念 TIN，是直接利用测区内野

14、外实测的所有地形特征点，构造出邻接三角形组成的格网型结构。TIN的每个基本单元的核心是组成不规则三角形的三个顶点的三维坐标，这些坐标数据完全来自原始测量成果。由于观测采样时选取观测点是由地形决定的，一般是地形坡度的变换点或平面位臵的转折点，从而使得离散点在相关区域中非规则和非均匀分布。由这些点构成的三角形格网所包含的三角形，必然是不规则形状的三角形，网格中三角形的数目只有在格网形成之后才能确定。但根据计算机几何学，设区域中共有n个离散点，它们可构成的互不交叉的三角形的数目最多不超过2n-5。 在大比例尺数字测图的建模中，都是采用三角形格网法。它避免了内插方格网而牺牲原始测点的精度，从而保证了整

15、个数模的精度。 2.TIN格网的算法 建立TIN的基本过程是将最邻近的三个离散点连接成初始三角形，再以这个三角形的每一条边为基础连接临近离散点，组成新的三角形。新三角形的边又成为连接其它离散点的基础，如此继续下去，直到所有的三角形的边都无法再扩展成新的三角形，而且所有离散点都包含在三角网中。在生成TIN的过程中，还要考虑地性线，地物等对格网的影响。为了保证DTM格网最大限度地符合实际地形，应用中通常把地性线等地形特征线作为TIN中三角形的边，扩展TIN时，先从地形特征线开始。 构造TIN时，由于取相邻离散点的判断标准不同，就产生了生成TIN的不同算法。常用的有： 泰森多边形算法 泰森多边形的概

16、念是将分布在平面区域上的一组离散点用直线分割，使每个离散点都包含在一个多边形之内。进行分割的规则是：每个多边形内只包含一个离散点，而且包含离散点pi的多边形中的任意一点Q到pi的距离都小于Q点到任一其它离散点pj(ji)的距离。把每两个相邻的泰森多边形中的离散点用直线连结后生成的三角形称为泰森多边形的直线对偶，又称为Delaunay三角形。其特点是：每个Delaunay三角形的外接圆内不包含其它离散点，而且三角形的最小内角达到最大值。 图9-3 泰森多边形 可以通过构造泰森多边形产生Delaunay三角形格网，也可以根据Delaunay三角形的特点直接构成TIN。 文献19提出了通过泰森多边形

17、建立三角形格网的一种方法，分三步构造成一个泰森多边形。 建立离散点相邻数组 取一离散点A，并以A为圆心确定一个圆方向，使所有可能与A相邻的离散点都包括在圆方向内，并将圆方向内全部离散点按图9-4所示顺序存入数组x(N),y(N)中。 图9-4 A点周边离散点排序 图9-5 组构三角形 删除与A不相邻离散点 根据泰森多边形的性质，其顶点是Delaunay三角形外接圆的圆心，据此可删去x(N)和y(N)中的无关离散点，删除后留在数组中的即是组成三角网的顶点。 删除点的步骤是：从x(N)和y(N)中按顺序取出三点M1,M0和M2，过A，M1,M0作圆，若点M0位于圆外，即圆的半径r1小于M0到圆心距

18、离r2时，就删除M0，否则保留M0。若删除M0，则由A,M1和数组中的下一点构造三角形，判别M2是否在外接圆内。若保留M0，则下一次的比较是由A,M0和数组中的下一点构造三角形，判断M2是否在外接圆内。比较和删除在数组中循环进行，每循环一次，数组中剩下的离散点就重新排序。但所有点都不满足删除条件时，删除过程结束。图9-6为删除非相邻点程序流程框图，按图所示，将A与数组中的点连接形成的三角形即是构造出的Delaunay三角形。 避免重复记录 在构造DTM三角形格网时，每个离散点形成一个泰森多边形，连接多个Delaunay三角形。每一个Delaunay三角形会重复形成三次，记录时则只记一次。可规定

19、当离散点A是该三角形水平底边的左下角顶点或A点的纵坐标小于其它两顶点的纵坐标时，才记录这个三角形，这样可避免重复记录。 以区域内每个离散点为中心，按上述三步循环，即可构造出区域内的TIN。 上述方法可进一步优化，如将区域划分为较小的矩形格网，每次搜索只在中心离散点所在的特定网格内进行，以减少计算次数；还可以改变循环与记录方式，一次记录与泰森多边形相关的所有新构成的三角形，提高程序的效率。 图9-6 删除非相邻点程序流程 最近距离算法 用这种算法产生TIN时，先在离散点中找到两个距离最近的点，以两点连线为基础，寻找与此段连线最近的离散点构成三角形，然后再对这个三角形的三条边按同样准则进行扩展，构

20、成新的三角形。如此反复，直到没有可扩展的离散点或者所有的三角形的边都无法再构造出新的三角形为止。 判断选择最近离散点的依据是离散点与线段端点形成的角的大小。如图9-8所示, AB为构造三角形的基础线段，选择能构成最大角度的点C组成三角形。实际应用中的判别方法是判断cosa值的大小，cosa值较小者距离最近。 最小边长算法 图9-7 应记录的三角形 在构成三角形时，离散点的选择应当使构成三角形的三边边长之和达到最小值。 图9-8 最近距离法 图9-9 最小边长法 首先从离散点集合中选择两个距离最近的点A和B构成基础边AB；其次在其余的离散点中进行比较，选择到A和B的距离之和最小的一点作为三角形的

21、另一个顶点C，构成第一个三角形；再次用同样的方法对此三角形的每条边进行扩展，直到所有离散点都包含在三角形格网中时，构造三角格网的过程即结束。 3.TIN建立过程中特殊地貌和地物的处理 在建立TIN的过程中必须考虑特殊地貌和地物对TIN结构的影响，并进行特殊处理，以满足等高线和断面的生成、土方量计算、地图绘制等DTM应用的需要和正确性。 (1)断裂线的处理 对于坡度变化陡峭的地形，如陡坎、河岸等，其变化不连续处的地形边线称为断裂线，在建立TIN时，必须包含剧烈变化的地形断裂线的特征信息，才能使DTM最大限度地正确反映出实际地形。在输入数据及建立DTM之前进行数据预处理和分类的的过程中，把断裂线提

22、取出来并扩展成一个极窄的条形闭合区。如图9-10所示，陡坎的处：点17为实测的坎上点，而71各点的平面位臵是由17点向坎下方向平移1mm确定，其高程则根据外业量取的坎下比高程计算而得。坎上、坎下点合并连成一闭合折线，并分别扩连三角形，等高线遇闭合线断开。坎上、坎下之间则绘制坎子的图式符号）。绘制图式符号的处理方法是，根据断裂线的地物编码绘出地物的符号。 陡坎的处理 (b)坎子的图式符号 图9-10 在绘制地形图时，等高线与地物是分层处理的，等高线层中等高线绘到闭合线处断开，而在地物层闭合折线处正是坎子等地物符号绘制的地方，两层叠加输出，绘制的就是地形图。 (2)地物的处理 绘制地形图时，要求等

23、高线遇地物断开，如等高线遇房屋、道路等都需要断开，其处理的方法类似，也是将它们处理成闭合区，扩连三角形是由房屋边线向外扩展，等高线遇闭合区边界即终止。 三角形“悬空” 三角形“进入”地面 图 9-11 (3)地性线的处理 由于TIN结构的DTM是以三角形为基本单元表达实际地形的，山谷线、山脊线等地性线不应该通过TIN中的任一个三角形的内部，否则三角形就会“进入”或“悬空”于地面。图9-11为山谷线处三角形悬空的情形，1，4为山谷左侧边坡上的点，2，3为右侧边坡上的点。构网时，将1，2，3连成了三角形，则此三角形“悬空”于山谷线，意味着将山谷填平，与实际地形不符，数模有错。同理若将山脊线两侧边坡

24、上的点也连成三角形，则三角形“进入”地面）,削平了山脊，数模也产生了错误。因此构造TIN时应使地性线包含在三角网的三角形边的集合中，以山谷线，山脊线为起始边，即需要在原始数据中包含地性线的信息。生成TIN的程序时，以组成地性线的线段为基础，向两侧扩展出三角形格网，这样就保证了三角形格网数字地模与实际地形相符，图9-12为沿山谷线的正确构网。 图9-12正确构网 在数字测图的数据采集时，必须记录地性线的编码信息，以保证建立数字地面模型的绘制等高线的正确性。 (4)影响三角形格网结构的其他因素 如不规则区域边界可能使程序在无数据地区构造出三角形格网，或构造出与实际地形特征不相符的部分三角形格网，从

25、而影响了三角形格网结构。为了解决这些问题，需要在构造三角形格网过程中加入对区域边界的识别，不允许TIN向区域边界外扩展，同时检查边界附近的三角形格网中是否有异常的三角形。 7.4.4.2 矩形格网的建立 矩形格网是将区域平面划分为大小相同的矩形单元，以每个矩形单元顶点作为DTM的数据结构的基础。矩形格网是DTM数据结构中规则形状格网类型中最为常用的，正方形格网是其特例，它还可以构造出三角形格网。 建立矩形格网的原始数据，若是利用航测仪器采集，一般是在航测的立体模型上按等间隔直接采集矩形格网的顶点坐标，构建规则格网数字地面模型；若是野外测量获得的离散点坐标，其分布一般是不规则的。为了建立矩形格网

26、，必须通过数字方法计算出新的规则格网结点的坐标。格网结点的坐标时DTM构成和应用的基础，其精度将影响DTM的精度。因此，从离散点生成格网结点的插值算法必须最大可能地保持原始数据的精度，同时保持原始数据中地形特征的信息。在实际应用中，由于地形变化的趋势和幅度的复杂情况，不可能用明确的函数关系表达出来，只能根据有限数量的离散点和适当的内插法来进行近似的描述，此外还要考虑到处理的效率、可靠性、内插数据的用途等诸因素来选用不同的计算方法，而不能孤立地说哪种计算方法最好。 学习单元7.5 高程插值算法 7.5.1学习目标 通过本单元的学习，掌握高程插值算法。 7.5.2学习任务 了解线性插值、高次多项式

27、插值、曲面重叠插值和最小二乘法插值等方法，进而懂得如何进行高程插值。 7.5.3任务分析 高程插值的过程就是根据给定的平面坐标P(x,y),利用临近的已知高程的离散点作为参考点，计算出P点的高程。其算法有线性插值、高次多项式插值、曲面重叠插值和最小二乘法插值等。 需要注意的是，高程插值除了用于建立矩形格网，还用在DTM的应用方面，如等高线、断面的获取、土方量的计算等。 7.5.4任务实施 7.5.4.1 线性插值法分析 用被插值点P最邻近的3个点，其测量值为P1(x1,y1,e1),P2(x2,y2,e2),P3(x3,y3,e3)构成一平面，作为插值的基础，计算出P的相应高程z。 z=a0+

28、a1x+a2y 系数a0,a1,a2可以利用3个临近的已知点求得。 这是最简单、也是精度较低的一种算法。地形表面一般不会是绝对平坦的，但在地势平坦、数据点间隔较密且均匀的大比例尺测量情况下，一般都采用线性插值，可以很快得到计算结果。 7.5.4.2 多项式插值法分析 多项式插值是利用z=f(x,y)表示的曲面拟合被插值点P附近的地形表面。由于计算量的原因，以及在参考点较少的情况下，三次以上的多项式往往会引起较大的误差，一些实验研究表明，二次曲面不仅是最简单的，而且是逼近不规则表面最有效的。所以f(x,y)的次数一般不大于3，多采用二次多项式。以二次曲面为例，设二次曲面方程为 22z=a+ax+

29、ay+axy+ax+ay012345 (9-2) 为了确定式中的各项待定系数，可以利用被插值点附近的已知高程的离散点坐标，即可以认为二次曲面通过这些已知点，至少需要6个离散点数据才能确定未知的系数。为了保证曲面的一致性以及与相邻曲面之间的连续性，还可设定其一阶和二阶导数及边界条件，这样的得到的方程组可通过线性代数的矩阵运算，求得各项系数。 a01x0y0x0y0M=MMMM1x5y5x5y5a5 用矩阵符号表示系数A，得 -1 A=FZ xM2x520yM2y520-1z0Mz5 (x0,y0,z0),L,(x5,y5,z5)是被插入点P(x,y)附近的6个离散点的坐标数据。 某些算法对二次曲

30、面得表达式进行了简化，删去其中的若干项，即用抛物面或双曲面进行插值，使运算更加简单。移动曲面拟合算法就是这种方法的应用，移动曲面法是将被插值点P作为原点，在四个象限的限定范围之内寻找离散点数据，用多项式进行插值，插值多项式的形式与找到的参考点数目有关。根据Sima的建议，多项式函数形式的选取可按以下规则： 当参考点数大于8时 22f(x,y)=a+ax+ay+axy+ax+ay012345 当参考点数为6或7时 22f(x,y)=a+ax+ay+ax+ay01234 当参考点数为4或5时 f(x,y)=a0+a1x+a2y+a3xy 7.5.4.3最小二乘插值法分析 最小二乘拟合插值也是利用曲

31、面进行插值，但附加条件为最小二乘准则。 设z=f(x,y)，f(x,y)为n次多项式，一般采用二次多项式。在确定f(x,y)中的各项系数时，应满足 mm(ee)=f(x,y)-ziiii=1i=12 达到极小 式中 ee残差的平方； ，i=1,L,m待插值点P附近一组参考点的坐标。 用计算出的系数代入f(x,y)，以此多项式对P点进行插值。具体过程如下。 n次多项式曲面插值的误差方程组为 e11x1M=MM1xmem (9-4) 设 y1MLx1n-1MMy1n-1Mn-1ymx1nMnxmn-1ymLxmy1na1z1-MMMnymamzm E=e1LemTTTZ=z1Lzm1Lx1nF=M

32、MMn1LxmA=a1Lam 则可写为 y1nMnym E=FA-Z 即E+Z=FA 问题转化为求A。根据最小二乘原理使其满足(ee)i=1m为极小值，按数学上求函数自由极值的理论求解，并根据矩阵代数变换得到 TT A=FFFZ -1由A作为f(x,y)的系数，得到插值曲面的方程，把被插值点P的平面坐标(x,y)代入，就可得到P点的高程。 矩阵求逆的计算量很大，可以用分解方法把求解过程简化。同时可以选择次数较低的曲面以进一步减少计算量。 7.5.4.4距离加权平均插值法分析 离散点插值不利于任何曲面插值函数，直接使用被差值点P附近参考点的坐标数据根据参考点距P点的距离，计算该点对插值结果的影响

33、。具体方法如下： 设(xi,yi,zi)，i=1,L,n为被差值点P(x,y,z)附近的一组参考点坐标，P的高程插值计算公式为 Z=(cizi)/cii=1i=1nnci是距离加权函数，常用的形式是 222c=1/d=1/(x-x)+(y-y)iii i为了避免计算时的异常，可修改为 2c=1/(d+e) e为一很小的常数。 ii 对应不同形式的权函数，同一距离处的参考点对插值结果的影响不同。随距离变化较快的权函数适用于变化较快大的地形，而坡度较缓和的地形用缓慢变化的权函数则效果较好。常用的其它形式的权函数及其变化曲线如图9-13所示。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) 图9-1

34、3 图中 b) ci=1/di22c) ci=e-did) ci=1-kdi2,k=0.5, di2e) ci=1/din,n=3f) ci=(1-di2)/di2 di1 22di=(x-xi)+(y-yi) (9-10) a) ci=1/di7.5.4.5多层曲面插值法分析 多层曲面插值是用多个曲面叠加进行插值，叠加的每个曲面一般是较简单的二次多项式曲面。通过地形测量等实验研究，证明二次曲面不仅是最简单的，而且是逼近不规则表面最有效的。设 Qi(x,y,xi,yi)，i=1,2Ln 为插值区域上的一简单曲面，则多层曲面插值可表示为 z=(CiQi(x,y,xi,yi)i=1nCi为各个简单曲面在叠加时的影响系数，n为叠加的曲面层数。Qi(x,y,xi,yi)也称为核函数。 多层曲面插值通常使用同一类型的核函数进行叠加，核函数的选择及系数Ci是多层曲面插值要确定的因素。目前作为多层曲面叠加的核函数有锥面、双曲面等，大多数是实验性的结果，尚未形成完备的经验公式。