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1、最优化理论与最优控制,研究生学位课,最优控制，顾名思义，就是最好的控制，好的标准是什么？在最优控制中用一个综合的目标函数或性能指标来 衡量。,最优控制：静态最优控制 给定条件下，确定系统的一种 动态最优控制 最优控制规律，使系统 相应的性能指标为最优。,静态最优控制最优化问题的解 不随时间变化，通常又称为参数最优化问题。即：最优控制变量与时间t没关系或说 在 所研究的时间区域内为常数。目标函数：多元的普通函数。最优解：古典微分法对普通函数求极值方法完成。,静态最优化方法：,a.解 析法（间接法）无约束条件 有约束条件,黄金分割法（0.618法）b.数值计算法（直接法)区间消去法 插值法（一维搜
2、索）爬山法 步长加速法（多维搜索法）方向加速法 c.以梯度法为基础的方法d.网络最优化方法,动态最优控制最优化问题的解u（t）随时间变化 特点：受控对象：动态系统 所有变量：时间的函数 最优解：古典变分法求泛函的极值问题,a.动态最优控制绪论及最优控制问题的提法b.最优控制问题的变分法c.最小值原理及应用d.线性二次型最优控制问题e.动态规划及应用,课程参考教材：1 系统最优化及控制 付曦 著 机械工业出版社 电气自动化新丛书 2 最优控制理论及应用 解学书著 清华大学出 版社,第一章 绪论,最优控制属于现代控制技术的核心内容，是现代理论的一个研究热点和中心话题。,现代控制理论：以多变量系统控
3、制、最优控制、系统辩识为 主要内容，最优控制发展早。20世纪60年 代，现代控制理论才得以迅速发展。我国 著名学者：钱学森 1945年编著的工程控 制论直接促进了最优控制理论的发展和 形成。,世界上对控制理论发展有特殊贡献的学者：,美国著名学者：贝尔曼（R.E.Bellman）:动态规划1953-1957 原苏联著名学者：庞特里亚金：极小值原理1956-1958，之后 控制论得以迅速发展，发展和促进了许多新的理论学科。,最优化技术要解决的主要问题：研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优方案，其间包括以下任务 1）根据所提出的最优化问题，建立最优化问题数学模型。确定变量，列出约束条件，确定目标
4、函数（性能指标）2）模型分析，选择合适的最优化求解方法。3）根据选定的最优化算法，编程，求解。,最优化的基本问题：就是寻找一个最优的控制方案或控制规律，使所研究的对象（或系统）能最优地达到预期的目标。,例如：1 温度控制系统，如果出现干扰而产生偏差，用什么方 法最快消除偏差而使系统恢复到原来的平衡状态。2雷达高炮随动系统，当发现敌机后，如何以最快速度跟 踪目标而将敌击落？3电梯控制：如何以最快速度平稳到达地面 以上都涉及到：依据各种不同的研究对象以及人们预期达到的 目的，寻求一个最优控制规律u（t）的问题，这就是最优控制的基本问题的发展过程。,三、最优控制问题的发展过程：古典法 50年代以前，
5、自动控制系统设计有两种方法 解析法,这两种方法都是以传递函数为数学模型，来表征系统特征。在S域或Z域内用经典控制论进行设计，对简单的线性调节系统，方法有效。R（S）U（S）C（S）,一）古典法：（工程试操法）根据对象G（S），确定控制器GC（S），使系统满足各项 性能指标，如：超调量，上升时间，增益裕度，相位裕度。缺点：系统设计不是最优的，所得结果不是唯一解。改进：解析法：力求使设计的系统按一定指标要求来达到最 优，从这个意义上讲，解析法比古典法更前进一步。,二）解析法：核心：目标函数为最小。设计目标：求相应得目标函数，使误差的平方积分值Je为小。,局限性：系统设计仅限于单变量系统，线性定常系
6、统为控制对象，设计目标仅局限于使误差最小。50年代中期，随着最优控制在航空航天领域中的应用，使局限性有了突破最优控制论设计系统。,1）用状态空间法研究线性控制系统，提出了可控可观的概念。注意：若系统是不可控的，则最优控制问题的解是不存在的 2）动态规划法和最优化原理 3）极大值原理,总结：最优控制是现代控制理论的核心，它的主要内容是：在满足一定的约束条件下，根据控制系统的数学模型，寻求最优控制，使目标函数为极大或极小。用最优控制设计系统与传统解析法相比，特点如下：,1）适用于多变量，非线性，时变系统的设计 2）初始条件可任意3）可以满足多个目标函数的要求，并可用于多个约束的情况4）便于计算机求
7、解,1、无约束与有约束的最优化问题 若系统控制变量的取值范围不受限制，则为无约束的 最优化问题，反之为有约束的最优化问题。实际系统大多为有约束的最优化问题,等式约束 约束条件 不等式约束,2、确定性和随机性最优化问题,确定性：每个变量的取值是确定的，可知的。随机性：某些变量的取值是不确定的，但可根据大量的数 据统计，知道变量服从一定的概率分布。,3、线性和非线性的最优化问题,线性：目标函数和所有的约束条件式均为线性（即它们是变量的 线性函数）称为线性最优化。非线性：目标函数或约束式中有一个是变量的非线性函数，称为 非线性最优化。,4、静态最优化和动态最优化:前面已论述。,建立数学模型是求解最优
8、控制问题的第一步,建模过程包括：确定变量（输入变量，输出变量，控制变量）列出约束条件 建立目标函数,数学模型表征了受控动态系统在运动过程中所遵循的物理或化学 规律。,状态变量 控制变量,通常又表征为（线性系统）,线性时变系统,线性时不变系统,A(t)，B(t)：时变矩阵 A，B：定常矩阵,1）数学模型的表征：状态方程表达式：,2)有关数学模型中变量的边界条件，即系统的初态和终态，即 确定：，。,一个动态过程，归根到底，是状态空间中的状态由初态,转移到,的过程,目标函数(性能指标，性能泛函，目标泛函)：是衡量“控制作用”效果的性能指标。为了实现动态过程中状态从,可以通过不同的控制来完成，控制效果
9、的好坏，可通过能否达到所规定的目标函数来判别。目标函数对不同的问题，有不同的表征：如：时间最短，燃料最少，成本最低等。,3）容许控制,实际系统，都有规定的取值范围，它对应于M维控制空间 中的某一个集合，的每一个取值对应于 中的一个 元素 容许控制 即u(t)受约束：极小值原理求解,可任意取值 经典变分法求解。,有不同的控制作用可以完成。为了评价各种控制作用的优劣，需用性能指标评价。性能指标中的形式取决于最优控制问题要完成的任务，不 同的最优控制问题。不同的性能指标，采用不同的控制作用,性能指标J不同。J是控制u(t)的函数，通常表示为：,的几种形式：积分型性能指标：,末值型性能指标：,综合型性
10、能指标：,特殊情况，二次型性能指标：,最优控制问题的提法 数学描述,如下：,1.给定系统状态方程：,或,式中：为n维状态向量；：m 维状态向量(),为n维状态向量函数，且对 连续可微,容许控制u(t)在m维的有界闭集U中取值，即：,2.给定初始条件：3.明确终端条件：,x(t)满足目标集：S：,P 1 维向量函数,4 给定性能指标：,问题提出：确定一个最优控制，使系统从初始状态 转移到终端状态，并使性能指标Ju 为极大（小)值，此时，称为最优控制作用，记为。代入 所得 为最优状态轨线。J 为最优性能指标。,例题分析：数学描述 登月火箭到达月球表面时的软着陆问题：火箭飞行的最后阶段，进入了月球的
11、引力范围,当火箭 垂直自由降落到距离月球表面为h的地方时，要求火箭 速度为0，并且燃料消耗为最小。,t=t,火箭,F(制动力),月球表面,分析：在火箭速度降为0之前，,制动力,与燃料消耗成正比,其中：K：常数，m：火箭（包括燃料的质量）火箭从 开始减速，到 时速度为0，,即 x:垂直距离,过程运动方程为：,mg：月球引力,边界条件：时：,时：,自由，自由,约束条件：燃料消耗率约束：,燃料消耗有限制，不能太多,问题提出：,确定，即确定系统的制动力规律，使火箭 制动阶段燃料消耗最少,最优控制问题数学描述：首先选一组状态变量，将微分方程化为状态方程，并 确定相应的初始状态和末端状态.,由：,令：,则
12、：,u,目标函数：,求取最优控制，使得受控系统由初始状态转移到末端状态，所消耗的燃料最小，即J最小。,注意：1）J是u的函数 2）有约束，是容许控制 最优控制问题的提法很多，实例很多，不再讲述，不论什么样的问题，其分析思路都是一样的，给出问题的描述方法也是相同的。根据系统初态，末端的不同，最优控制有以下特例：,最优控制的几个特例：,1)终端状态给定 固定端点的最 1.给定 优控制问题 2)终端状态自由，可任意取值 自由端 点的最优控制问题,1）终端时刻 已知 固定端点时间的 2.若初始时刻t 已知 最优控制问题 2）终端时刻 未知 自由端点时间 的最优控制问题,以后将分别进行讨论。,动态最优控
13、制系统的结构形式：,开环,闭环,两种,一、开环：,控制器,Xd u（t）x(t),X,特点：根据被控对象的特性（状态方程或数学模型），以及控制器的初始状态，设计，存于计算机中。随时间变化，由计算机发出控制信息，作用于被控过程从而使 按理想设计状态变化 程序控制。,不足或存在问题：当系统受到干扰，使被控过程数学模型与理想模型发生偏离时，仍用，则x（t）不沿理想轨线变化。解决办法：闭环控制,二 闭环：,xd x*（t）x(t),特点：u*(t)是时变状态x(t)函数，在闭环结构中，若系统出现干扰，通过x(t)反映出来送入控制器，为控制器输出，从而可使系统修正，使系统状态仍保持在最优轨线上,END THE CHAPTER 1,
