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1、,3.1 非线性系统的最短时间控制问题,最短时间控制问题的提法：设受控系统状态方程为,给定终端约束条件为,寻求m维有界闭集中的最优控制u*(t)，满足不等式约束,使系统从已知初始状态 转移到目标集中某一状态 时，如下目标泛函取极小值，其中 未知,应用最小值原理，系统的哈密尔顿函数为：,在使J最小以实现最优控制的必要条件中，侧重分析极值条件,将（3-6）式中的矩阵表达式展开成分量形式,则极值条件可写为：,由式（3-8）可见，由于 是确定的，故使 取极小值的最优控制为,或简写为：,根据 是否为零，将系统分为两种情形：,（砰-砰控制）,平凡最短时间控制系统 只是在各个孤立的瞬刻才取零值，是有第一类间
2、断点的分段恒值函数。,奇异（非平凡）最短时间控制系统。并不意味着在该区间内最优控制不存在，仅表明，从必要条件不能推出确切关系式。,3.2 线性时不变系统的最短时间控制问题,线性时间最优调节器问题的提法：设受控系统状态方程为,给定终端约束条件为,寻求m维有界闭集中的最优控制u*(t)，满足不等式约束,使系统从以最短时间从初始状态 转移到状态空间原点。,根据上一节的结论，可得极值条件为：,对于线性时不变系统的最短时间控制问题，经过理论推导和证明，可得如下重要结论：（1）系统平凡的充要条件：当且仅当m个矩阵,中全部为非奇异矩阵时，系统是平凡的。（至少有一个为奇异矩阵时，系统是奇异的）,（2）系统最优
3、解存在的条件：常数矩阵A的特征值全部具有非正实部。,（3）最优解唯一性定理：系统是平凡的且最短时间控制存在，则最短时间控制必然是唯一的。,（4）开关次数定理：系统是平凡的且最短时间控制存在，则最优控制u*的任一分量 的切换次数最多为n-1次。（n为系统维数）,3.3 双积分模型的最短时间控制问题,双积分模型的物理意义：惯性负载在无阻力环境中运动,负载运动方程：,传递函数：,（由两个积分环节组成）,定义u(t)=f(t)/m,则（3-16）式变为：,取状态变量,则有,矩阵形式为：,双积分模型最短时间控制问题的提法：已知二阶系统的状态方程为,给定端点约束条件为,寻求有界闭集中的最优控制u*(t)，
4、满足不等式约束,使系统从以最短时间从任意初态转移到终态。,先判断该系统是否平凡？,由上节重要结论可知：（1）本系统为平凡最短时间控制系统（2）其时间最优控制必然存在且唯一（3）时间最优控制u(t)至多切换一次,最优控制表达式：,下面利用协态方程求解,由式（3-25）可知，为一直线，由于开关次数的限制，其四种可能的开关序列为：,下面通过图解法，在相平面上分析相轨迹转移的规律，从而寻找最优控制u*(t)。首先求解状态轨线的方程：,为抛物线,为开关曲线,双积分模型时间最优控制工程实现的闭环结构,求解状态转移最短时间t*：,(1)式带入（2）式即可解出结果参见P187(5-116),作业：秦寿康 教材
5、，第三章 习题1，3，4，5，6,通过对非线性系统的最短时间控制问题的分析，得到最优控制的一般形式(砰-砰控制）具体到线性时不变系统，得到最短时间控制问题的若干重要结论。（开关次数定理，非平凡判据）将上述结论应用于双积分模型的最短时间控制问题，求解过程为：1)应用最小值原理得出最优控制表达式 2)解协态方程，结合开关次数定理，列出最优控制的候选函数序列 3)在状态平面上分析状态转移轨线，寻找开关曲线，总结控制规律 4)计算状态转移的最短时间,最短时间控制问题 小结：,3.4 非线性系统的最少燃料控制问题,最少燃料控制问题的提法：设受控系统状态方程为,给定端点约束条件为,寻求m维有界闭集中的最优
6、控制u*(t)，满足不等式约束,使系统从已知初始状态 转移到目标集中某一状态 时，如下目标泛函取极小值，其中 未知,应用最小值原理，系统的哈密尔顿函数为：,在使J最小以实现最优控制的必要条件中，侧重分析极值条件,将（3-29）式中的矩阵表达式展开成分量形式,则极值条件可写为：,为使（3-30）右端取极小值，应与 符号相反，则有,再来确定 的幅值：,三位控制、离合控制,平凡最少燃料控制系统,奇异（非平凡）最少燃料控制系统。并不意味着在该区间内最优控制不存在，仅表明，利用常规公式无法求解,3.5 线性时不变系统的最少燃料控制问题,线性时间最优调节器问题的提法：设受控系统状态方程为,给定终端约束条件
7、为,寻求m维有界闭集中的最优控制u*(t)，满足不等式约束,使系统从从初始状态，在给定时间 内转移到预定终态，并使如下目标函数取极小值。,对于线性时不变系统的最短时间控制问题，经过理论推导和证明，可得如下重要结论：（1）平凡最少燃料控制的充分条件：,（至少有一个为零时，系统是奇异的）,（2）最优解唯一性定理：系统是平凡的且最少燃料控制存在，则最少燃料控制必然是唯一的。目标泛函的相对极小值也是唯一的。,对 j=1,2,m中每个值均成立。,双积分模型最少燃料控制问题的提法：已知二阶系统的状态方程为,寻求有界闭集中的最优控制u*(t)，满足不等式约束,3.6 双积分模型的最少燃料控制问题,使系统由任
8、意初始状态，转移到预定终态，并使如下目标函数取极小值。其中 自由。,给定端点约束条件为,由上节重要结论可知：该系统是奇异的。（则最少燃料控制不一定是唯一的。）,最优控制表达式：,下面利用协态方程求解,判断其平凡性：,先来分析在奇异区内的情况，此时,再来分析在平凡区内的情况，此时,得出9种可能的控制序列作为候选函数,下面通过图解法，在相平面上分析相轨迹转移的规律，从而从候选函数中寻找最优控制u*(t)。（前面已分析了 时的状态轨线，这里只分析 的情形。,等速直线,根据什么原则选取状态转移轨迹？,下面来计算在状态转移过程中燃料的消耗：,表示从初态转移到终态（原点）所需消耗的能量。,该关系式提供了燃
9、料消耗量的下限，所以，如果能找到一个控制，驱使状态从初态转移到原点的燃料消耗为，则该控制肯定是燃料最优控制。以此为依据来选择最优控制序列（最优轨线）,下面根据初始点的位置，分区讨论：（1）,平凡情况：只有+1序列可驱使系统状态到达原点。故为问题的解,非平凡情况：,因为v(t)1，则系统状态不可能到达原点。,结论：1）为最优解 2）消耗燃料,（2）,平凡情况：只有序列 0，+1和-1，0，+1可驱使系统状态到达原点。其中：0，+1控制下，燃料消耗为-1，0，+1，燃料消耗大于结论：0，+1为最优控制序列，且在各种情况下其响应时间最短，为,非平凡情况：,可以找到许多v(t)，使系统状态转移到原点。
10、且燃料消耗为，因而都是最优控制。,（3）,平凡情况：只有序列-1，0，+1可驱使系统状态到达原点。问题：B点如何选取使燃料消耗最少设B点纵坐标为,结论：燃料控制问题无解（燃料最优控制）,类似地，可对其它两个区间进行研究。综上所述，双积分装置最少燃料问题的控制规律如下：,最少燃料控制问题 作业：秦寿康 教材，P119 习题1，2，3，4，5,通过对非线性系统的最少燃料控制问题的分析，得到最优控制的一般形式（离合控制）具体到线性时不变系统，得到最短时间控制问题的若干重要结论。（非平凡判据）将上述结论应用于双积分模型的最少燃料控制问题，求解过程为：1)应用最小值原理得出最优控制表达式 2)解协态方程
11、，列出最优控制的候选函数序列（9个）3)燃料消耗量的下限为 4)在状态平面上分析状态转移轨线，寻找开关曲线，总结控制规律 5)计算状态转移的所需时间、消耗燃料,最少燃料控制问题 小结：,修正：习题1的控制序列为0，-1,第3章 结束语,最少燃料控制为三位式控制，存在（+1，0，-1）三种控制状态，与最短时间控制相比，多1个u=0的控制状态，这意味着：在状态转移的某些阶段，可借助系统中积存的能量来维持运动，根本不需要消耗能量。双积分装置最少燃料系统的最优解取决于初态的位置。即可无解，也可唯一解或多个解。这意味着，同一个问题，在某些初值下是平凡的，在另一些初值下是非平凡的。单考虑燃料最少，相应可能太慢，应与时间综合考虑。如：采用时间燃料综合最优的指标函数。,
