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1、弹性力学与有限元分析复习题分析计算题 1、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。 sx=Ax+By，sy=Cx+Dy，txy=Ex+Fy； sx=A(x2+y2)，sy=B(x2+y2)，txy=Cxy； 其中，A，B，C，D，E，F为常数。 解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：在区域内的平衡微分方程sxtyx+=02xy2；在区域内的相容方程x2+y2styxy+=0yx(lsx+mtyx)=fs边界条件(msy+ltxy)s=fx(sx+sy)=0；在边界上的应力(s)(s)；对于多连体的位移单值条件。 y此组应力
2、分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须A=-F，D=-E。此外还应满足应力边界条件。 为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0；为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。 232C2xy，txy=-C2y-C3xy，体力不计，Q为2、已知应力分量sx=-Qxy2+C1x3，sy=-32常数。试利用平衡微分方程求系数C1，C2，C3。 解：将所给应力分量代入平衡微分方程 sxtyx+=0xy styxy+=0yx得 -Qy2+3C1x2-3C2y2-C3x2=0 -3Cxy-2Cxy=023即 (3C1-C3)x2-(Q+3C2)
3、y2=0(3C2+2C3)xy=0由x，y的任意性，得 1 3C1-C3=0Q+3C2=0 3C+2C=032由此解得，C1=Q6，C2=-Q3，C3=Q23、已知应力分量sx=-q，sy=-q，txy=0，判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。 解：将已知应力分量sx=-q，sy=-q，txy=0，代入平衡微分方程 +X=0xy sytxy+Y=0yxsx+tyx可知，已知应力分量sx=-q，sy=-q，txy=0一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。 按应力求解平面应力问题的相容方程： 22y(sx-nsy)+22x(sy-nsx)=2(1+n)txyxy2将已知应力分
4、量sx=-q，sy=-q，txy=0代入上式，可知满足相容方程。 按应力求解平面应变问题的相容方程： 22y(sx-n1-nsy)+22x(sy-n1-nsx)=2txy1-nxy2将已知应力分量sx=-q，sy=-q，txy=0代入上式，可知满足相容方程。 4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。 ex=Axy，ey=By3，gxy=C-Dy2； ex=Ay2，ey=Bx2y，gxy=Cxy； ex=0，ey=0，gxy=Cxy； 其中，A，B，C，D为常数。 解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即 2 exy22+eyx22=g2xy
5、xy将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知： 相容。 2A+2By=C；这组应力分量若存在，则须满足：B=0，2A=C。 0=C；这组应力分量若存在，则须满足：C=0，则ex=0，ey=0，gxy=0。 5、证明应力函数j=by2能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题。 h/2 O h/2 l/2 y l/2 x 解：将应力函数j=by2代入相容方程 jx44+2jxy224+jy44=0可知，所给应力函数j=by2能满足相容方程。 由于不计体力，对应的应力分量为 sx=jy22=2b，sy=jx22=0，txy=-jxy2=0 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发
6、生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为： 上边，y=-，l=0，m=-1，fx=-(txy)2hhy=-h2=0，fy=-(sy)y=-h2=0； 下边，y=，l=0，m=1，fx=(txy)2ly=h2=0，fy=(sy)y=h2=0； 左边，x=-，l=-1，m=0，fx=-(sx)2x=-l2=-2b，fy=-(txy)x=-l2=0； 右边，x=，l=1，m=0，fx=(sx)2lx=l2=2b，fy=(txy)x=l2=0。 3 可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此，应力函数j=by2能解决矩形板在x方向受均布拉力和均布压力的问题
7、。 6、证明应力函数j=axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题。 h/2 O h/2 l/2 y l/2 x 解：将应力函数j=axy代入相容方程 jx44+2jxy224+jy44=0可知，所给应力函数j=axy能满足相容方程。 由于不计体力，对应的应力分量为 sx=jy22=0，sy=jx22=0，txy=-jxy2=-a 对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为： 上边，y=-，l=0，m=-1，fx=-(txy)2hhy=-h2=a，fy=-(sy)y=-h2=0； 下边，y=，l=0，m=1，fx=(t
8、xy)2ly=h2=-a，fy=(sy)y=h2=0； 左边，x=-，l=-1，m=0，fx=-(sx)2x=-l2=0，fy=-(txy)x=-l2=a； 右边，x=，l=1，m=0，fx=(sx)2lx=l2=0，fy=(txy)x=l2=-a。 可见，在左右两边分别受有向下和向上的均布面力a，而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数j=axy能解决矩形板受均布剪力的问题。 7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为r，在一边侧面上受均布剪力，试求应力分4 量。 O x 解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压，b 即设sx=0。由此可知 q sx=jy22rg
9、 =0 将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式 j(x,y)=f1(x)y+f2(x) 将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得 y df1(x)df2(x)y+=0 44dxdx44这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解，可见它的系数和自由项都应该等于零，即 df1(x)dx44=0， df2(x)dx44=0 这两个方程要求 f1(x)=Ax+Bx+Cx+I32， f2(x)=Dx3+Ex2+Jx+K 代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，便得 3232j=y(Ax+Bx+Cx)+Dx+Ex 对应应力分量为 sx=jy22=0 sy=jx22=y(6A
10、x+2B)+6Dx+2E-rgy 2txy=-jxy=-3Ax-2Bx-C 2以上常数可以根据边界条件确定。 左边，x=0，l=-1，m=0，沿y方向无面力，所以有 -(txy)x=0=C=0右边，x=b，l=1，m=0，沿y方向的面力为q，所以有 (txy)x=b=-3Ab-2Bb=q 2上边，y=0，l=0，m=-1，没有水平面力，这就要求txy在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即 5 (t0bxy)y=0dx=0 将txy的表达式代入，并考虑到C=0，则有 (-3Ax0b2-2Bx)dx=-Ax-Bx32b032=-Ab-Bb=0 而(txy)y=00dx=0自然满足。又由于在这部
11、分边界上没有垂直面力，这就要求sy在这部0b分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即 (s0by)y=0dx=0， (s0by)y=0xdx=0 将sy的表达式代入，则有 由此可得 0b0(6Dx+2E)dx=3Dx+2Ex32b0=3Db+2Eb=0 =2Db+Eb=0 322b(6Dx+2E)xdx=2Dx+Ex2b0A=-qb2，B=，C=0，D=0，E=0 bq应力分量为 sx=0, sy=2q1-3-rgy, txy=q3-2 bbbbyxxx虽然上述结果并不严格满足上端面处的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。 8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势
12、的力，即体力分量可以表示为fx=-Vx2，fy=-Vy2，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，jxy2sx=jy2+V，sy=jx2+V，txy=-，试导出相应的相容方程。 证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量sx，sy，txy应当满足平衡微分方程 sxtyxV+-=0xyx stVyxy+-=0yxy还应满足相容方程 222+2xy(sx+sfxfy)=-(1+m)yx+y6 222+2xy(sx+s1fxfy)=-+y1-mxy 并在边界上满足应力边界条件。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。 首先考察平衡微分方程。将其改写为 tyx()s-V+
13、=0xyx txy(sy-V)+=0yx这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为 x(sx-V)=y(-t) yx根据微分方程理论，一定存在某一函数A，使得 sx-V=Ay，-tyx=Ax同样，将第二个方程改写为 y(s-V)=yx(-t) yx可见也一定存在某一函数B，使得 sy-V=Bx，-t=yxBy由此得 AB =xy因而又一定存在某一函数j(x,y)，使得 A=jy，B=jx代入以上各式，得应力分量 sx=jy22+V，sy=jx22+V，txy=-jxy2为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数j(x,y)必须满足一定的方程，将上述应力分量代入平面应力问题
14、的相容方程，得 222+2xy22jjy2+V+x2+V22=(1+m)2+2xyV 7 222+2xy2j2jy2+x222=-22+2xy22V+(1+m)2+2xyV 简写为 j=-(1-m)V42将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得 222+2xy222+2xy22jjy2+V+x2+V212=1-mx2+y2V V 2j2jy2+x222=-22+2xy221V+2+21-myx简写为 j=-41-2m1-m2V 9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为r，试用纯三次的应力函数求解。 O a x rg y 解：纯三次的应力函数为 j=ax+bxy+cxy+dy 32
15、23相应的应力分量表达式为 sx=jy22-xfx=2cx+6dy, sy=jx22-yfy=6ax+2by-rgy, txy=-jxy2=-2bx-2cy 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。 上边，y=0，l=0，m=-1，没有水平面力，所以有 -(txy)y=0=2bx=0 对上端面的任意x值都应成立，可见 b=0 同时，该边界上没有竖直面力，所以有 -(sy)y=0=6ax=0 8 对上端面的任意x值都应成立，可见 a=0因此，应力分量可以简化为 sx=2cx+6dy，sy=-rgy，txy=-2cy 斜面，y=xtan
16、a，l=cos-+a=-sina，m=cos(-a)=cosa，没有面力，所以有 2p(lsx+mtyx)y=xtana=0 ()ms+lt=0yxyy=xtana由第一个方程，得 -(2cx+6dxtana)sina-2cxtanacosa=-4cxsina-6dxtanasina=0 对斜面的任意x值都应成立，这就要求 -4c-6dtana=0 由第二个方程，得 2cxtanasina-rgxtanacosa=2cxtanasina-rgxsina=0 对斜面的任意x值都应成立，这就要求 2ctana-rg=0 1由此解得 1c=rgcota2，d=-rgcot2a 3从而应力分量为 2s
17、x=rgxcota-2rgycota, sy=-rgy, txy=-rgycota 设三角形悬臂梁的长为l，高为h，则tana=。根据力的平衡，固定端对梁的约束lh反力沿x方向的分量为0，沿y方向的分量为-rglh。因此，所求sx在这部分边界上21合成的主矢应为零，txy应当合成为反力-rglh。 2222()()sdy=rglcota-2rgycotady=rglhcota-rghcota=0 x00x=lhh1(t)0xyhh112dy=(-rgycota)dy=-rghcota=-rglhx=l022可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。 10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅
18、直面成角a，下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为r1，液体的密度为r2，试求应力分量。 O x a 解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意9 r2g r1g 一点，每一个应力分量都将由两部分组成：一部分由重力引起，应当与r1g成正比；另一部分由液体压力引起，应当与r2g成正比。此外，每一部分还与a，x，y有关。由于应力的量纲是L-1MT-2，-2-2r1g和r2g的量纲是LMT，a是量纲一的 量，而x和y的量纲是L，因此，如果应力分量具有多项式的解答，那么它们的表达式只可能是Ar1gx，Br1gy，Cr2gx，Dr2gy四
19、项的组合，而其中的A，B，C，D是量纲一的量，只与a有关。这就是说，各应力分量的表达式只可能是x和y的纯一次式。 其次，由应力函数与应力分量的关系式可知，应力函数比应力分量的长度量纲高二次，应该是x和y纯三次式，因此，假设 3223j=ax+bxy+cxy+dy 相应的应力分量表达式为 sx=jy22-xfx=2cx+6dy, sy=jx22-yfy=6ax+2by-r1gy, txy=-jxy2=-2bx-2cy 这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数，是否能满足应力边界条件。 左面，x=0，l=-1，m=0，作用有水平面力r2gy，所以有 -(sx)x
20、=0=-6dy=r2gy对左面的任意y值都应成立，可见 d=-r2g6同时，该边界上没有竖直面力，所以有 -(txy)x=0=2cy=0 对左面的任意y值都应成立，可见 c=0因此，应力分量可以简化为 sx=-r2gy，sy=6ax+2by-r1gy，txy=-2bx 斜面，x=ytana，l=cosa，m=cos+a=-sina，没有面力，所以有 2p(lsx+mtyx)x=ytana=0 ()ms+lt=0yxyx=ytana由第一个方程，得 10 -r2gycosa+2bytanasina=0 对斜面的任意y值都应成立，这就要求 -r2gcosa+2btanasina=0 由第二个方程，
21、得 -(6aytana+2by-r1gy)sina-2bytanacosa=(-6atanasina-4bsina+r1gsina)y=0 对斜面的任意x值都应成立，这就要求 -6atana-4b+r1g=0 由此解得 113a=r1gcota-r2gcota63，b=r2gcot2a 21从而应力分量为 sx=-r2gy, sy=(r1gcota-2r2gcota)x+(r2gcota-r1g)y, txy=-r2gxcota 322例题1 平面问题中采用的四结点矩阵单元，如图所示。该单元的结点位移列阵是 采用的位移模式是 11 =(ijmp),eTymboiajPxu(x,y)=a1+a2
22、x+a3y+a4xy,v(x,y)=a5+a6x+a7y+a8xy。 其中的系数1 8,由四个结点处的位移值,应等于结点位移值i(i,j,m,p)的条件求出。 读者试检查其收敛性条件是否满足？并估计位移和应力的误差量级。 例题2 平面问题中采用的六结点三角形单元，如图所示。 该单元的结点位移列阵为 12 Pmbboa图6-10axjiy1j3m2ix图6-11o 其位移模式取为 =(ijm123),u(x,y)=a1+a2x+a3y+a4x+a5xy+a6y,22eT v(x,y)可以相似地表示。然后由六个结点处的条件求出1 6 读者试检查其位移模式的收敛性，并估计其位移和应力的误差量级。 例
23、题3 在空间问题中，采用的最简单的单元，是如图所示的四结点四面体单元，其位移模式是 试考虑如何求出其系数1 4,并检查位移模式的收敛性条件,并估计其位移和应力的误差量级。 例题4 图所示的深梁，在跨中受集中力F的作用 ，若取 = 0，t = 1， 13 u(x,y,z)=a1+ a2x+a3y +a4z。(u,v,w)zjmpio图6-12yx 试用有限单元法求解跨中的位移。 解： 1.将图(a)划分网格，化为离散化结构，如图所示。由于结构具有对称性， 可取 l/2 部分进行分析，如图所示。 421m31FF1m2m(a)1m1m(b)图6-13yj(3)i(3)m(1)IIIIIIxi(2)
24、m(4)j(2)(c)(d)(e) 2. 图中，只有两个未知结点位移 v1, v2, 其余的结点位移均为零。 未知的结点位移列阵是 = (v1 v2)T 对应的结点荷载列阵是 FL=(-F214 0)。T 3.下面我们直接来建立对应于未知结点位移的平衡方程式， v1:v2:Fe1y=FeL1y=-FFe2y=FeL2y2=0。,(a)(b) 4.对于三角形单元，按照结点的局部编号(i,j,m),结点力一般公式是 FixFiyFjxFjyFmxFmyuiviuj=k。vjumvm(c)i=2,j=3,m=4,图(d)。 当t = 1， = 0,且结点的局部编号如图(d),(e)时，单元，的单元劲
25、度矩阵均如 书中P.124式所示。 对于单元，结点的局部编号与整体编号的关系是i = 2,j = 3,m = 4,图(d)将书中P.124 式的k和结点编号代入式，有 15 j(3)i(3)IIIm(1)m(4)(d)i(2)j(2)(e) F2x0.5F2y0 0F3x F=E03y-0.5 F4xF0 4y00.250.250-0.25-0.2500.250.250-0.25-0.250000.50-0.5-0.5-0.25-0.2500.750.25u2-0.25v2-0.25u3,-0.5v30.25u40.75v40 其中u2 = u3 = v3 = u4 = v4 = 0。由上式，
26、得出I单元中FIy不存在，而 F2y = 0.25Ev2 (d) 对于单元，结点的局部编号与整体编号的关系是 i = 3, j = 2, m = 1,图。再将书中P.124式的 k 代入式，得 F3x0.5F3y00F2x=EF2y0F1x-0.50F1y00.250.250-0.25-0.2500.250.250-0.25-0.250000.50-0.5-0.5-0.25-0.2500.750.25u3-0.25v3-0.25u2,-0.5v20.25u10.75v10 其中u3 = v3 = u2 = u1 = 0。由上式，可得单元的结点力 F1y=-0.5Ev2+0.75Ev1,F2y=
27、0.5Ev2-0.5Ev1。(e)(f)5.将各单元的结点力代入式(a),(b)得 从上两式解出结点位移值， -0.5Ev2+0.75Ev1=-0.75Ev2-0.5Ev1=0。F2,v1=-16 6F5E4F5E,。v2=- 显然，位移v1 v2 第六章用有限单元法解平面问题例题某等腰直角三角形单元ijm如图所示,已知在所选取的坐标系中,单元结点坐标分别为:xi=axj=0xm=0yi=0yj=aym=0应用可得bi=abj=0bm=-aa2ci=0cj=acm=-a A=.2可得该单元的应力转换矩阵为应用公式 17 第六章用有限单元法解平面问题可得该单元的应力转换矩阵为应用教材式(6-37)及式(6-38)可得该单元的单元刚度矩阵为第六章用有限单元法解平面问题现考察结点力与单元中的应力之间的关系。为了简单起见，假定只有结点i发生位移ui，如右图(a)所示。由上面的单元刚度矩阵得相应的结点力为：其中，如上图(b)中单元的两直角面所示。根据单元的平衡条件,还可得出斜点位移及结点力如图所示面上的应力,如图所示。若将这三另一方面，由于发生了位移ui,个面上的应力分别按静力等效原则根据上面得到的应力转换矩则积铢累寸到结点上去，可以得到图(a)中相同的结点力。阵，可得应力分量为。相应的结 18
