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1、强烈推荐高一数学必修1各章知识点总结 阳光家教网 高三数学学习资料 高一数学必修1各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y (3) 元素的无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (1) 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 u 注意：常用数集及其记法： 非负整数集 记作：N
2、 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1） 列举法：a,b,c 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-32 3） 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4） Venn图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2(3) 空集 不含任何元素的集合 例：x|x=5 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意：AB有两种可能A是B的一部分，；A与B是同一集合。 /B或B/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A2“相等”关系：A
3、=B (55，且55，则5=5) 2实例：设 A=x|x-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等” 即： 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作ABA) 如果 AB, BC ,那么 AC 如果AB 同时 BA 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 nn-1u 有n个元素的集合，含有2个子集，2个真子集 三、集合的运算 运算类型 交 集 并 集 由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B补 集 设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于
4、A的元素组成的集合，叫做S中子B(或定 由所有属于A且属义 于B的元素所组成的集合,叫做A,B的 金太阳新课标资源网 阳光家教网 高三数学学习资料 交集记作AIB 作A交B），即，记作CSA，即 AIB=x|xA，且即AUB =x|xA，xB 或xB) CSA=x|xS,且xA 韦 恩 ABABS 图 A 示 图1图2性 AIA=A AUA=A (CuA) I (CuB) AI= AU=A = Cu (A AIB=BIA AUB=BUA UB) AIBA AUB (CuA) U (CuB) 质 AIBB AUBB = Cu(AIB) AU (CuA)=U AI (CuA)= 例题： 1.下列四
5、组对象，能构成集合的是 A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合a，b，c 的真子集共有 个 3.若集合M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x0，则M与N的关系是 . 4.设集合A=x1x2，B=xxa，若AB，则a的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有人，化学实验做得正确得有31人， 两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点组成的集合M= . 7.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=
6、0, 若BC，AC=，求m的值 二、函数的有关概念 1函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域 注意： 1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； 金
7、太阳新课标资源网 40 阳光家教网 高三数学学习资料 (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. u 相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y
8、)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4区间的概念 区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 无穷区间 区间的数轴表示 5映射 一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”
9、 对于映射f：AB来说，则应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集 补充：复合函数 如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、g的复合函数。 二函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) 增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义
10、域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间 金太阳新课标资源网 阳光家教网 高三数学学习资料 D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质； 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下
11、降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取x1，x2D，且x1x2； 2 作差f(x1)f(x2)； 3 变形； 4 定号； 5 下结论 (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8函数的奇偶性 偶函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数 奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，
12、都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数 具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称 利用定义判断函数奇偶性的步骤： 1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； 2确定f(x)与f(x)的关系； 3作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)f(x)=0
13、或f(x)f(-x)=1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 .函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. 求函数的解析式的主要方法有： 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10函数最大值 金太阳新课标资源网 阳光家教网 高三数学学习资料 1 利用二次函数的性质求函数的最大值 2 利用图象求函数的最大值 3 利用函数单调性的判断函数的最大值： 如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果
14、函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 例题： 1.求下列函数的定义域： y=x-12 x2-2x-15 y=1-x+1x+3-32.设函数f(x)的定义域为0，1，则函数f(x2)的定义域为_ _ 3.若函数f(x+1)的定义域为-2，3，则函数f(2x-1)的定义域是 x+2(x-1)4.函数f(x)=x2(-1x1，*且nN u 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作n0=0。 当n是奇数时，nan=a，当n是偶数时，nan=|a|=2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： 金太阳新课标资源网na(a0)-a
15、(a0,m,nN*,n1)a-mnmn，=1armn=1nam(a0,m,nN*,n1) u 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 aa=a (a0,r,sR)； rsrs(a)=a rr+s(a0,r,sR)； rrs(ab)=aa (a0,r,sR) 指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数y=a(a0,且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1 2、指数函数的图象和性质 a1 0a0且a1)值域是f(a),f(b)或f(b),f(a)； 若x0，则f(x)1；f(x)取遍所有
16、正数当且仅当xR； 对于指数函数f(x)=a(a0且a1)，总有f(1)=a； 二、对数函数 对数 1对数的概念：一般地，如果a=N(a0,a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作：x=logaN 说明：1 注意底数的限制a0，且a1； 金太阳新课标资源网xx 阳光家教网 高三数学学习资料 2 ax=NlogaN=x； 3 注意对数的书写格式 两个重要对数： 1 常用对数：以10为底的对数lgN； u 指数式与对数式的互化 幂值 真数 logaN 2 自然对数：以无理数e=2.71828L为底的对数的对数lnN ab NlogaN b 底数 指数 对数 对数的运算性质 如果a0，且a1，M0
17、，N0，那么： 1 loga(MN)=logaMlogaN； M=logaMlogaN； N3 logaMn=nlogaM (nR) 2 loga注意：换底公式 logab=logcb logca1n logab；logab=mlogba利用换底公式推导下面的结论 logambn=对数函数 1、对数函数的概念：函数y=logax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：y=2log2x，y=log5x 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 52 对数函数对底数的限制：(a0，且a1) 2、对数函数的性质：
18、 a1 0a0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0,+)上是增函数特别地，当a1时，幂函数的图象下凸；当0a1时，幂函数的图象上凸； a0，a0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( ) log27+2log522.计算： log32= ;24+log3= ；2535= ; 21log2764130.064-17-4-(-)0+(-2)33+16-0.75+0.012 = 83.函数y=log1(2x-3x+1)的递减区间为 224.若函数f(x)=logax(0a0且a1)，求f(x)的定义域求使f(x)0的x的取值范围 a1-x第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点
19、1、函数零点的概念：对于函数y=f(x)(xD)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(xD)的零点。 2、函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。 即：方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点 3、函数零点的求法： 金太阳新课标资源网 阳光家教网 高三数学学习资料 1 求方程f(x)=0的实数根； 2 对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点： 二次函数y=ax2+bx+c(a0) ，方程ax+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点 ，方程ax+bx+c=0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点 ，方程ax+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点 5.函数的模型 收集数据 222画散点图 不符合实际选择函数模型 金太阳新课标资源网求函数模型 检验 符合实际 用函数模型解释实际问题
